Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh
bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. Lý do thực hiện đề tài:
1, Cơ sở lý luận:
Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình
toán phổ thông. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số,
Lượng giác và Giải tích. Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn
mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng. Chính vì thế bất đẳng
thức là chuyên đề được mọi người quan tâm đến rất nhiều.
Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức
không hề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn
phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học kết hợp với kỹ
năng biến đổi, suy luận, dự đoán,
2, Cơ sở thực tiễn:
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, cho
rằng bất đẳng thức là một phần rất khó không thể giải được. Nguyên nhân là học
sinh không biết cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải. Vì vậy một bài
toán đơn giản cũng trở nên “vô cùng khó” đối với các em.
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học về bất
đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứu
đề tài:
“Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh bất đẳng thức
và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”.
II. Phương pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận; 2. Phương pháp điều tra thực tiễn;
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm; 4. Phương pháp thông kê.
III. Đối tượng nghiên cứu:
Các bài toán chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của biểu thức sử dụng bất đẳng thức Schwartz (Svácxơ)
Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công

x x x x
x x
a a a a a a
+ + +
+ + + ≥
+ + +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2
1 2

n
n
x
x x
a a a
= = =
B. Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh BĐT và bài
toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Bài toán 1: Với a, b, c là ba số dương, CMR:
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
Lời giải:
Vì a, b, c là các số dương, áp dụng BĐT Schwartz ta có:
2 2 2 2 2
( ) ( )

 
+ + = + + + + +
 ÷
+ + +
 
 
⇒ + + ≤ + + + + + + +
 ÷
+ + +
 
 
⇒ + + ≤ + + + +
 ÷
+ + +
 
 
+ +
⇒ + + ≥
 ÷
+ + +
 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Với lời giải bằng BĐT Bunhiacốpxki như trên đã sử dụng kỹ thuật tách
biểu thức (a + b+ c)
2
do đó lời giải dài và không dễ hiểu bằng lời giải áp dụng
BĐT Schwartz.
Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công
2
Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh

1
2
x y
= =
.
Phân tích: Bài toán 2 có thể giải bằng việc áp dụng BĐT Côsi như sau:
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương
2 2
2 ,xy x y
+

2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 2 2 ( ) 1 4.2 ( )
2 1 2
2 4.2 ( ) 8 8
( )
xy x y xy x y xy x y
xy x y
xy x y xy x y P
xy x y xy x y
= + + ≥ + ⇒ ≥ +
+ +
⇒ + + ≥ + ⇒ ≥ ⇒ = + ≥
+ +

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1

.
Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công
3
Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh
bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”
Giải: Áp dụng BĐT Schwartz 2 lần ta có:
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 4
( ) 1 1 ( ) ( )
1 1 2 2 1 1 2 2 8
a b a b a b a b a b
   
+ + +
+ ≥ = + ≥ =
 ÷
 
   
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Bài toán 4: Cho x, y, z dương thoả mãn: x + y + z =1 .
CMR:
2 2 2
3 2
14
xy yz zx x y z
+ >
+ + + +
Giải: Áp dụng BĐT Schwartz ta có:
( ) ( )
( )
2 2

+ + ≤
+ + + + + +
Phân tích: để vận dụng giả thiết
1 1 1
4
x y z
+ + =
ta cần so sánh các biểu thức
1 1 1
, ,
2 2 2x y z x y z x y z+ + + + + +
với
1 1 1
, ,
x y z
Giải: Áp dụng BĐT Schwartz 2 lần ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 4 4 4 4
2 2 16x y z x y z x y x z x y x z x y x z
         
+ + +
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
 
         
= ≤ + = + ≤ + + +
 ÷
+ + + + + + + +
 

=>
1 4 4 4 1
.4 1
16 4
VT
x y z
 
≤ + + = =
 ÷
 
(đpcm).
Dấu “=” xảy ra khi
3
4
x y z
= = =
.
Bài toán 6(BĐT Nasơbit): Cho 3 số dương a, b, c.
CMR:
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Giải: Ta có:
2 2 2
( ) ( ) ( )
a b c a b c
VT

đúng). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Phân tích: BĐT Nasơbit có thể còn được chứng minh bằng việc sử dụng BĐT
Côsi, tuy nhiên lời giải sử dụng BĐT Schwartz hay ở sự biến đổi
2
( )
a a
b c a b c
=
+ +
,
sự biến đổi này còn phát huy hiệu quả trong các bài toán phức tạp hơn sau đây.
Bài toán 7 (HSG Thái Nguyên-lớp 11-2007):
Cho 4 số dương a, b, c. CMR:
2
a b c d
b c c d d a a b
+ + + ≥
+ + + +
(1)
Giải: Ta có:
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
a b c d
VT
a b c b c d c d a d a b
= + + +
+ + + +
Áp dụng BĐT Schwartz, ta có:
Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công
5

+ +
+ + ≥
+ + +
(2).
Giải: Ta có:
6 6 6
2 2 2
( ) ( ) ( )
a b c
VT
a b c b c a c a b
= + +
+ + +
Áp dụng BĐT Schwartz, ta có:.
3 3 3 2
2 2 2
( )
( ) ( ) ( )
a b c
VT
a b c b c a c a b
+ +
≥
+ + + + +
. Để chứng minh BĐT (2), ta phải chứng
minh:
3 3 3 2 3 3 3
2 2 2
( )
( ) ( ) ( ) 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c a b c a b c b c a c a b
VT
a b c b a c c a b a b c b a c c a b
= + + = + +
+ + + + + +
Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công
6
Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh
bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”
Áp dụng BĐT Schwartz, ta có:
2
( ) 1
( )
2( ) 2
ab bc ca
VT ab bc ca
ab bc ca
+ +
≥ = + +
+ +
Để chứng minh (3) ta phải chứng minh
( ) 3ab bc ca
+ + ≥
(luôn đúng vì theo BĐT
Côsi có:
3 2 2 2
( ) 3 3ab bc ca a b c
+ + ≥ =
). Dấu “=” xảy ra khi a= b= c= 1.


, Áp dụng BĐT Schwartz, ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
2 2
8
2 1 2 2 1 2 2 1 2
Q
x x x x x x
+
= + = + ≥ =
− − + −
,
8Q
=
khi
1
2 1 2
4
x x x
= − ⇔ =
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 8 khi
1
4
x
=
.
Bài toán 11: Cho 4 số dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của

+ +
≥ + + +
 ÷  ÷
+ + + + + +
   
⇒ ≥ + + + = + + + =
+ + + + + + + + +
4R
=
khi a= b = c = d =1.Vậy: giá trị nhỏ nhất của R là 4 khi a=b = c = d=1.
Bài toán 12: Cho các số thực dương a, b, c.
Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công
7
Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh
bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”
Tìm giá trị lớn nhất của:
2 2 2
2 2 2
bc ca ab
B
a bc b ca c ab
= + +
+ + +
Giải: Áp dụng BĐT Schwartz với các số thực dương a, b, c có:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
( )
2 2 2 2 2 2

≤
.
1B
=
khi a = b = c =1.
Vậy giá trị lớn nhất của B là 1 khi a = b = c =1.
Bài toán 13: Cho tam giác ABC có ba cạnh có độ dài là a, b, c thỏa mãn điều
kiện: 30ab + 4bc + 1977ca = 2012.abc
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2007 34 1981
Q
p a p b p c
= + +
− − −
Với
2
a b c
p
+ +
=
Giải: Ta có:
1 1 1 1 1 1
30 4 1977Q
p a p b p b p c p c p a
     
 ÷  ÷  ÷
     
= + + + + +
− − − − − −
Áp dụng BĐT Schwartz ta có:

ab bc ca abc
Q
c a b abc abc
 
 ÷
 
+ +
≥ + + = = =
Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công
8
Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh
bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”
Vậy min Q = 8048 đạt được khi và chỉ khi:
2011
2012
a b c= = =
Bài toán 14: Cho
∆
ABC. Điểm M nằm trong
∆
ABC.
Kẻ
1
MA BC⊥
,
1
MB CA⊥
,
1
MC AB⊥

+ 2S
MAC
+ 2S
MAB
= 2S
ABC
Mặt khác:
1 1 1
BC CA AB
MA MB MC
+ +
=
2 2 2
1 1 1
. . .
BC CA AB
MA BC MB CA MC AB
+ +
Áp dụng BĐT Schwartz ta có:
( ) ( )
2 2
1 1 1 1 1 1
. . . 2
ABC
BC CA AB BC CA AB
BC CA AB
Const
MA MB MC MA BC MB CA MC AB S
∆
+ + + +

a b c
T
a bc b ca c ab
= + +
+ + +
Giải: Ta có:
( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
8 8 8 24
a b c
a b c
T
a abc b abc c abc a b c abc
+ +
= + + ≥
+ + + + + +
(a + b + c)
3

≥
a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a + b + c)(ab + bc + ca) - 3abc
≥

A
1
CB
C
1
B
1
Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh
bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”
Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 1 khi: a = b = c =
1
2
C. Một số bài tập tương tự:
Bài toán 16: (HSG Thái Nguyên-lớp 10-2010): Cho 3 số dương a, b, c thoả
mãn:
3 2 1
1
a b c
+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = a + b + c .
Bài toán 17: Cho a, b, c dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2006 2007 2006 2007 2006 2007
a b c
M
b c c a a b
= + +
+ + +
Bài toán 18: Cho 2 số dương a, b thoả mãn: a + b = 1. Tìm GTLN của:
1 2 1 2

4
a b b c c a
a b c
h h h h h h S
+ +
+ + ≤
+ + +
.
Bài toán 22: Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi và
S là diện tích. CMR:
3 3 3
2 2 2
( )
1 1 1 1
a b b c c a abc a b c
ab bc ca abc
+ +
+ + ≥
+ + + +
.
Bài toán 23(Olimpic 30/04): Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công
10
Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh
bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”
CMR:
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0a b a b b c b c c a c a
− + − + − ≥
.

Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh
bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. C¸c trang Web to¸n häc: http://diendantoanhoc.net, http://mathlinks.ro.
2. Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, Nhà xuất bản Giáo dục – 1995.
3. Vũ Đình Hòa, Bất đẳng thức hình học, Nhà xuất bản Giáo dục – 2006.
4. Phan Huy Khải, 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức, Nhà xuất bản Hà Nội
– 1997.
5. Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh đại số 10, Nhà xuất bản Đại học
Quốc gia Hà Nội – 1998.
6. Sở giáo dục và đào tạo TP. Hồ Chí Minh, trường THPT chuyên Lê Hồng
Phong, Tuyển tập đề thi Olympic 30-4 Toán 10 lần thứ VIII - 2002, Nhà xuất
bản Giáo dục – 2002.
Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công
12