Bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị
1. Định nghĩa: a > b Û a – b > 0 Û b – a < 0 a ³ b
Û a – b ³ 0 Û b – a Ê 0
2. Một số tính chất:
1/
A B
A C
B C


 



2/ A > B Û A + C > B +
C
3/
AC BC,C 0
A B
AC BC,C 0
 

 

 

4/
A B
A C B C
C D


víi AB 0
A B
A B
1 1
víi AB 0
A B

 

 


 



9/
*
n,m N
n m





ị
n m
n m
A A ,A 1
A A ,0 A 1

 
2
a b 4ab
 

a a


a b a b
  

a b a b
  

1 1 4
a b a b
 

(với a, b > 0)
1 1 1 9
a b c a b c
  
 
(với a, b, c > 0)
2
1 2 n 1 2 n
1 1 1 n

a a a a a a
   

  

Dạng 2:
n
1 2 n
1 2 n
a a a
a a a
n
  
 

 
 

Đẳng thức xảy ra Û a
1
= a
2
= … = a
n

Hệ quả: * Nếu a
1
+ a
2
+ + a
n
= S (const) thì
 

1 2 n
Min a a a n P
   
xảy ra Û
a
1
= a
2
= … = a
n
=
n
P

Bất đẳng thức CauChy suy rộng: Cho n số dơng a
1
, a
2
, …, a
n
(n ³ 2) và
n số dơng a
1
, a
2
, … a
n
sao cho a
1
+ a

n
khi đó:




 
2
2 2 2 2 2 2
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
a a a b b b a b a b a b
         

Dấu đẳng thức xảy ra Û
1 2 n
1 2 n
a a a

b b b
  

Hệ quả: * Nếu a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ + a

2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n
Max a x a x a x c . a a a
       

1 2 n
1 2 n
x x x
0
a a a
   

 
2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n
Min a x a x a x c . a a a
        
1 2 n
1 2 n
x x x
0
a a a
   

Dạng khác của CBS:
 
2
2 2 2
1 2 n
1 2 n