Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương
=================================================
chuyªn ®Ò
vËn dông bÊt ®¼ng thøc
c« si ®Ó t×m cùc trÞ
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
A.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.Cơ sở lí luận.
Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc
chìa khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành
khoa học, kinh tế, Quân sự trong cuộc sống .
Toán học là một môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc
học,là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực
rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chương trình toán rất
rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối
quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những nắm
chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của
mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài
toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm
ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn.
Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách
tổ chức công việc của mình một cách sáng tạo. Người thầy cần rèn
luyện cho học sinh kỹ năng độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng
tạo. Vì vậy đòi hỏi người thầy một sự lao động sáng tạo biết tìm tòi ra
những phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư duy lô gic giải các
bài toán.
Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giải
các bài toán ở chương trình THCS không chỉ đưn giản là đảm bảo kiến
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”
1

T nhng thn li , khú khn v yờu cu thc tin ging dy . Tụi chn
ti

vận dụng bất đẳng thức côsi để tìm cực trị
B.PHM VI V MC CH CA TI
1. Phm vi ca ti:
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
2
Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương
=================================================
- Áp dụng với đối tượng học sinh khá – giỏi lớp 9
2. Mục đích của đề tài:
-Nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh giải bài toán Tìm cực trị và tạo
niềm tin cho giáo viên trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài toán Tìm
cực trị. Giúp cho thầy và trò trong dạy và học đạt được kết quả cao .Giúp
cho học sinh có hứng thú học và yêu thích môn Toán
- Giúp học sinh biết hướng khai thác kết quả một bài toán để giải quyết vấn
đề linh hoạt hơn.
- Trao đổi với giáo viên hướng khai thác một bài toán trong chương trình bồi
dưỡng học sinh khá giỏi lớp 9
PHẦN II: NỘI DUNG
I. Bất đẳng thức Coossi với 2 số a, b không âm
a+b
ab2≥
(1)
Chứng minh:
Do a, b
0≥
nên

dcba ===⇔
3. Đối với n số không âm: a
1
,
n
aaa , ,,
32
0
≥
Ta có:
n
nn
aaaanaaaa
321321
≥++++
Dấu “=” xảy ra
n
aaaa ====⇔
321
III. HỆ QUẢ
1. Với 2 số không âm a, b từ BĐT (1) ta suy ra:
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”
3
Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương
=================================================
• Nếu ab=k (không đổi) thì Min(a+b)= 2
k
(khi và chỉ khi a=b)
• Nếu a+b = k (không đổi) thì Max (ab) =







k
( khi và chỉ khi a=b=c=d )
*Với n số không âm :
0, ,,,
321
≥
n
aaaa
+ Nếu
kaaaa
n
=
321
(không đổi ) thì
Min (
n
n
knaaaa =++++ )
321
(khi và chỉ khi
n
aaaa ====
321
)

GTLN

Bài toán 1: Cho a > 0 Tìm GTNN của biểu thức:
A
1
= a+
a
1
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”
4
Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương
=================================================
Giải: Vì a > 0 nên
0
1
>
a
,
Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương a và
a
1
Ta có : a+
a
a
a
1
.2
1
≥

(
)
112
2
22
++=+ a
nên:
A
(
)
1
11
1
2
2
2
2
2
2
2
+
++
=
+
+
=
a
a
a
a

2
+
++
a
a
2
1
1
.12
2
2
=
+
+≥
a
a
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2
+a
=
1
1
2
+a
0
=⇔
a
Vậy Min A
02

x
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”
5
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
Giải: Ta có : A
1
8
3
+
+
=
x
x
=
1
9)1(
2
+
+
x
x
=
2
1
9
1
1
9

=
3
( )
2
1
9
.122
1
9
1
+
+
+
++
x
x
x
x
=2.3 2=4
Dấu = xảy ra
1
9
1
+
=+
x
x
4
=
x

Vì x>0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dơng x, x,
2
27
x
ta có:
x+x+
93.3
27
3
27
3
22
==
x
xx
x
Dấu = xảy ra
2
27
x
xx ==

327
3
== xx
Vậy Min A
39
4
== x
Nhận xét : Hai số dơng 2x và

=
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
6
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
Vì x>0 nên x
0
2
>
;
0
1000
>
x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dơng x
xx
1000
;
1000
;
2
ta có:
A
300100.3
1000
.
1000
.3
10001000

=

Giải: ta có A
x
xx
2
562
2
6
+
=
=
3
2
5
2
5
3 +=+
x
x
x
x

Vì x > 0 nên
0
2
5
>
x


10
310
6
== x

Bài toán 7 : Cho x
0

Tìm GTNN của biểu thức
A
=
7
( )
12
172
2
+
++
x
xx
Giải: Ta có: A
=
7
( )
12
172
2
+
++
x

1
>
+
>
+
x
x

áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng
2
1+x
và
1
8
+x
ta có:
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
7
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
A
42.2
1
8
.
2
1
2
1

34
7
== x

Bài toán 8 : Cho
0

x
Tìm GTNN của biểu thức
A
3
346
8
+
++
=
x
xx
Giải: Ta có A
( )
3
253
3
346
2
8
+
++
=
+

25
+x
ta có:
A
( ) ( )
105.2
3
25
.32
3
25
3
8
==
+
+
+
++=
x
x
x
x
Dấu = xảy ra
4
3
25
3 =
+
=+ x
x

x
x
x
x
Vì x>1 nên x-1 >0 .
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng 4
( )
1x
và
1
25
x
ta có:
A
( ) ( )
24410.24
1
25
.1424
1
25
14
9
=+=+

+

+=
x
x

=
22
10
2,1
Giải: Ta có : A
yx
yxyx

++
=
22
10
2,1
=
( )
( )
yx
yx
yx
xyyx

+=

+ 162,3
2
( vì x.y = 5 )
Vì x>y nên x-y>0 ;
0
16
>

ta đợc x=5,y=1 và x=-1,y=-5
Vậy Min A
1,58
10
=== yx
hoặc x=-1,y=-5
Bài toán 11 : Tìm GTLN của biểu thức :
( )
33
11
16 xxA =

( với
3
220 x
)
Giải : Vì
3
220 x
nên
016;0
33
xx
áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có :
( )
( )
[ ]
64
4
16

Giải: Vì
33 x
nên
09;0
2
> xx
áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có:

( )
2
9
2
9
99
22
222
12
=
+
==
xx
xxxxA
Dấu = xảy ra
2
23
9
22
== xxx
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr

( )( ) ( )( )
( ) ( )
[ ]
8
1
1.
8
1
4
1222
.
2
1
1222
2
1
121
2
13
==
+
==
xx
xxxxA
Dấu = xảy ra
4
3
1222 == xxx
Vậy Max
4


+
x
x
x
x
Vì 0<x<2 nên 2-x>0
0
2
;0
2
9
>

>


x
x
x
x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng
x
x
2
9
và
x
x2
ta có:

2
9
=

=

x
x
x
x
x
Vậy Min A
2
1
7
14
== x
Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tách
x
2
thành tổng
1
2
+

x
x
hạng tử
x
x2

=
( )
7
14
1
3
+

+
x
x
x
x
Vì 0<x<1 nên 1-x > 0
( )
0
14
;0
1
3
>

>


x
x
x
x
áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số dơng

x
x
x
x
x
x
x
=
( )
2
32 +
Dấu = xảy ra
( )
( )
2
13
14
1
3
=

=

x
x
x
x
x
Vậy Min A
( ) ( )

xx
+

+

=+

14
1
34
1
3
Sau đó sử dụng phơng pháp đồng nhất hệ số ta tìm đợc:
a=b=1 ; c=7
Bài toán 16: Cho x>0 Tìm GTNN của biểu thức
A
3
4
16
163
x
x +
=
Giải: Ta có A
3
4
16
163
x
x +

x
xxx
x
xxx
Dấu = xảy ra
3
16
x
xxx ===
216
4
== xx
(vì x>0)
Vậy Min A
28
16
== x
Bài toán 17 :Cho a,b,x>0 . Tìm GTNN của biểu thức
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
11
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
A
( ) ( )
x
bxax ++
=
.
17

=
( )
2
2 babaab +=++
Dấu = xảy ra
abxabx
x
ab
x ===
2
Vậy Min A
( )
abxba =+=
2
17
B . ph ơng pháp 2 :
Để tìm cực của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó
Bài toán 18 : Tìm GTLN của biểu thức : A
xx 3753
18
+=
Giải: ĐKXĐ
3
7
3
5
x
Ta có:
A
( ) ( ) ( ) ( )

biểu thức lấy căn có tổng không đổi (bằng 2) . Vì vậy nếu ta bình phơng
hai vế biểu thức A
18
thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn
thức. Đến đây ta có thể vận dụng BĐT Côsi : 2
baab +
Bài toán 19: Tìm GTLN của biểu thức A
xx += 235
19
Giải : ĐKXĐ : 5
23 x
ta có A
( )( )
xxxx ++= 2352235
19
2
=
( )( )
xx + 235218
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x-5 và 23-x ta có:
A
( )( ) ( ) ( )
3623518235218
19
2
=+++= xxxx
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
12
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng

415 xx
mà A
0
20

nên A
2
20

áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm 5-x và x-1 , ta có
2
( )( )
41515 =+ xxxx
Do đó A
8
2
20

mà A
0
20

nên A
22
20

Vậy Min A
52
20
== x

5
3.
3
9
5
9
21
=
+
=






+



=

=
x
x
x
x
x
x
x

3
9
=+

có dạng kx có thể rút gọn cho x ở dới mẫu, kết quả là một
hằng số . Còn số 3 ở trên tìm đợc bằng cách lấy căn bậc hai của 9 , số 9 này
có trong đề bài
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
13
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
Bài toán 22: Tìm GTLN của biểu thức : A
x
x
2
4
22

=

D. ph ơng pháp 4 :
Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho
Bài toán 23 : Cho ba số x, y , z >0 thỏa mãn x+y+z=2
Tìm GTNN của biểu thức : A
yx
z
xz
y
zy


+
+
+ 2
.2
4
.2
4
22
(1)
Tơng tự ta có :
y
xz
xz
y

+
+
+ 4
2
(2)

z
yx
yx
z

+
+
+ 4

++
zyxzyx
zyx
( vì x+y+z=2)
Dấu = xảy ra

3
2
=== zyx
Vậy Min A
3
2
1
23
==== zyx
Nhận xét : Ta đã thêm
4
zy +
vào hạng tử thứ nhất
zy
x
+
2
có trong đề bài , để
khi vận dụng BĐT Côsi có thể khử đợc (y+z) cũng nh vậy đối với hạng tử
thứ hai và thứ ba
Bài toán 24: Cho a, b, c >1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
A
24
=

bc
c
b
414
1
+


( )
ca
a
c
414
1
+

Cộng vế với vế các BĐT trên rồi thu gọn ta có A
24
===
cba12
4
Vậy Min A
24
=12
4
===
cba
Bài toán 25: Cho a,b>1 . Tìm GTNN của biểu thức : A
11
22

Bài toán 28: Với x,y,z >0 Tìm GTNN của biểu thức : A
x
z
z
y
y
x
++=
28
Bài toán 29: Với x,y,z là các số không âm và thỏa mãn: x+y+z =1
Tìm GTLN của biểu thức : A
29
=xyz(x+y)(y+z)(z+x)
Gợi ý: áp dụng BĐT côsi với 3 số không âm ta đợc
1=x+y+z
3
3 xyz
(1)
2=(x+y)+(y+z)+(z+x)
( )( )( )
3
3 xzzyyx +++
(2)
Nhân từng vế (1) và (2) (do hai vế đều không âm ) đợc:
2
3
29
9 A
3
29

abc
bacacbcba
3
32
+++
=
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
15
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
Gợi ý: a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên a,b,c >0
Ta có a+b >c , b+c>a, c+a>b
Do đó a+b-c >0, b+c-a >0, c+a-b >0
áp dụng BĐT Côsi với hai số dơng , ta có:

( )( )
b
acbcba
acbcba =
+++
++
2
(1)
Tơng tự
( )( )
)2(cbacacb ++

( )( )
acbabac ++

( )
y
y
x
x
yx
8
2
6
2
3
2
3
+++++

19469
8
.
2
2
6
.
2
3
26.
2
3
=++=++
y
y

x
z
z
y
y
x
++=
36
Gợi ý: A
36
y
xz
x
zy
z
yx
x
z
z
y
y
x 22
2
222
2
+++++=
áp dụng BĐT Côsi cho bốn số dơng ta đợc:

x
yz


zz
y
xz
y
xz
x
z
4
2
+++
Do đó A
( ) ( ) ( )
zyxzyxzyx ++=++++ 34
2
36
A
43612.3
2
36
==== zyx
Bài toán 37: Cho a,b,c,d >0 và thỏa mãn a+b+c+d=1
Tìm GTNN của biểu thức
A
ad
d
dc
c
cb
b

2
38
====++ xxxMaxAxx
Bài toán 39: Tìm GTLN của biểu thức:
( )( )
22
39
212 xxA =
Bài toán 40: Tìm GTLN của biểu thức: A
2
40
25 xx =
( với
55

x
)
Bi toỏn 41 :Cho x, y, z, t > 0
Tìm GTNN của A
41
=
t
yx
yx
t
y
xt
xt
y
x

x
)(2
2
)(22)(2
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
P=








+
+
+
+
+




+
+
+ t
tx
y
xt
x
ty
t
yx
yx
t
y
xt
xt
y
x
ty
ty
x
2
3
2
2
2
2
2


+
+
+
+








+
+
+ t
y
t
x
y
x
y
t
x
t
x
y
t
yx
yx

2
15
⇔ x = y = t
Vậy Min A
41
=
2
15
⇔ x = y = t
Bài toán 42: Cho x, y > 0 vµ 7x + 9y = 63 T×m GTLN cña A
42
= x.y
Gợi ý :
§Æt : P = 63.A
42
ta cã :
P = 63xy = 7x.9y ≤
2
2
97






+ yx
(theo c«si)
P ≤
2

2
9
y
x
⇒Max A
42
=
4
3969
: 63 =
4
63
⇔



=
=
5,3
5,4
y
x
Bài toán 43:
Tìm GTNN của A
43
= 3a + 4
2
1 a−
với -1
1a≤ ≤

×
+ −
 ÷
 
× × + × − ≤ × + ×
=> A
43

2 2
9 25 41 25
5 5
2 25
a a
 
+ + −
≤ × =
 ÷
×
 
=> Do đó A
43
5
≤
và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi.
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”
18
Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương
=================================================
2

2
4 16 56 80 356
2 5
x x x x
x x
+ + + +
+ +
Gợi ý:
Biểu diễn A
44
= 4
2
2
256
( 2 5) 64
2 5
x x
x x
× + + + ≥
+ +
(áp dụng BĐT Côsi)
=> Min A
44
= 64 khi x = 1 hoặc x = -3
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”
19
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
* Kết quả thực hiện.

=================================================
Tµi liÖu tham kh¶o
************
1- BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
-nxb gi¸o dôc
T¸c gi¶ : Bùi Văn Tuyên

2- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 9
-nxb gi¸o dôc
T¸c gi¶ : Vũ Hữu Bình

3 – CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG CÁC KÌ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
VÀ THI TUYỂN VÀO LỚP 10 CHUYÊN
-nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc
T¸c gi¶ : Nguyễn Đức Tấn
4 – ÔN LUYỆN KIẾN THỨC TOÁN TRUNG HỌC CƠ
SỞ
( DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN, CHỌN)
-nxb gi¸o dôc
T¸c gi¶ : Phạm Minh Phương- Trần Văn Tấn

&&&
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”
21
Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương
=================================================
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”