SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ"
1

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
A.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.Cơ sở lí luận.
Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khoá vạn
năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh tế, Quân sự
trong cuộc sống .
Toán học là một môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học,là một môn học khó,
đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho
mình. Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại
có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những nắm chắc lý
thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để
giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng
bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn.
Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc của
mình một cách sáng tạo. Người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng độc lập suy
nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo. Vì vậy đòi hỏi người thầy một sự lao động sáng tạo biết
tìm tòi ra những phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư duy lô gic giải các bài toán.
Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chương
trình THCS không chỉ đưn giản là đảm bảo kiến thức trong sách giáo khoa , đó mới chỉ là
những điều kiện cần nhưng chưa đủ . Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua
2

việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn , tỉ mỉ , để
tự tìm ra đáp số của chúng
Muốn vậy người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác

thích môn Toán
- Giúp học sinh biết hướng khai thác kết quả một bài toán để giải quyết vấn đề linh hoạt
hơn.
- Trao đổi với giáo viên hướng khai thác một bài toán trong chương trình bồi dưỡng học
sinh khá giỏi lớp 9
PHẦN II: NỘI DUNG
I. Bất đẳng thức Coossi với 2 số a, b không âm
a+b
ab2≥
(1)
Chứng minh:
Do a, b
0
≥
nên
a
và
b
xác định
Ta có :
( )
0
2
≥− ba

02 ≥+−⇔ baba

02 ≥−+⇔ abba
4


321321
≥++++
Dấu “=” xảy ra
n
aaaa ====⇔
321
III. HỆ QUẢ
1. Với 2 số không âm a, b từ BĐT (1) ta suy ra:
• Nếu ab=k (không đổi) thì Min(a+b)= 2
k
(khi và chỉ khi a=b)
• Nếu a+b = k (không đổi) thì Max (ab) =
4
2
k
(khi và chỉ khi a=b)
2. Kết quả trên được mở rộng với:
5

• Ba số a, b, c không âm:
+ Nếu abc =k (không đổi) thì Min (a+b+c) =3
3
k
(khi và chỉ khi a=b=c)
+Nếu a+b+c=k (không đổi) thì Max (abc)=
3
3




=
321
(không đổi ) thì
Min (
n
n
knaaaa =++++ )
321
(khi và chỉ khi
n
aaaa ====
321
)
+ Nếu
kaaaa
n
=++++
321
(không đổi ) thì
Max(
n
n
n
k
aaaa






1
Ta có : a+
a
a
a
1
.2
1
≥
=2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=
a
1
⇔
11
2
=⇔= aa
(vì a > 0)
Vậy Min A
12
1
=⇔= a
Nhận xét: Hai số dương a và
a
1
có tích là một hằng số
Bài toán 2: Với mọi số thực a, tìm GTNN của biểu thức:
A
2
=

2
+
++
=
+
+
=
a
a
a
a
=
1
1
1
2
2
+
++
a
a
Vì
01
2
>+a
với mọi a nên
Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương
1
2
+a

+a
=
1
1
2
+a
0=⇔ a
Vậy Min A
02
2
=⇔= a
• Nhận xét: Phân tích
(
)
11112
2
222
++=++=+ aaa
để có tích hai số dương
1
2
+a
với
1
1
2
+a
là một hằng số

Bài toán 3: Với x không âm , tìm GTNN của biểu thức

1
9
1
1
9
1
+
++=
+
+
x
x
x
x
Vì x
0

nên
x
đợc xác định và
01 >+x
,
0
1
9
>
+x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng
1+x
và

x
x
4= x
Vậy Min A
44
3
== x

Bài toán 4: Cho x>0 Tìm GTNN của biểu thức
A
2
3
4
272
x
x +
=
Giải : Ta có A
222
3
4
2727
2
272
x
xx
x
x
x
x

Vậy Min A
39
4
== x
Nhận xét: Hai số dơng 2x và
2
27
x
có tích không phải là một hằng số.
Muốn khử đợc x
2
thì tử phải có x
xx.
2
=
do đó phải biểu diễn
2x=x +x rồi dùng bất đẳng thức côsi với 3 số dơng
Bài toán 5 : Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức
A
x
x 2000
3
5
+
=
Giải: A
xx
x
x
x 100010002000

3
22
5
==++=
xx
x
xx
x
Dấu = xảy ra
101000
10001000
32
==== xx
xx
x

Vậy Min A
10300
5
== x

Bài toán 6: Với x > 0 Tìm GTNN của biểu thức
A
x
xx
2
562
2
6
+

x

áp dụng bấtđẳng thức côsi cho 2 số dơng x và
x2
5
ta có:
A
3103
2
5
23
2
5
.23
2
5
6
==+=
x
x
x
x
Dấu = xảy ra
2
10
2
5
== x
x
x

++
x
xx
=
( )
( )
1
8
2
1
12
161
2
+
+
+
=
+
++
x
x
x
x
Vì x
0

nên
0
1
8

7
==
+
+

+
+
+
=
x
x
x
x
11

Dấu = xảy ra
3
1
8
2
1
=
+
=
+
x
x
x
Vậy Min A
34

=
x
x
x
xx
=
( )
3
25
3
+
++
x
x
Vì
0

x
nên
x
đợc xác định và
03 >+x
;
3
25
+x
>0
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng
3+x
và

x
x
Vậy Min A
410
8
== x
12

Bài toán 9: Cho x>1 . Tìm GTNN của biểu thức
A
1
25
4
9

+=
x
x
Giải: Ta có A
( )
4
1
25
14
1
25
4
9
+


+=
x
x
x
x
Dấu = xảy ra
( )
2
7
1
25
14 =

= x
x
x
Vậy Min A
2
7
24
9
== x
Bài toán 10 : Cho x>y và x.y = 5 . Tìm GTNN của biểu thức
A
yx
yxyx

++
=
22

yx
16
ta có:
13

A
( )
84.2
16
.2
16
10
==



+=
yx
yx
yx
yx
Dấu = xảy ra
4
16
=

= yx
yx
yx
kết hợp với điều kiện x.y=5

4
16
16
2
2
33
33
11
==
+
=
xx
xxA
Dấu = xảy ra
2816
333
=== xxxx
Vậy Max
264
11
== xA
Bài toán12 : Tìm GTLN của biểu thức :
2
12
9 xxA =
( với
33

x
)

Vậy Max
2
23
2
9
12
== xA
Bài toán 13: Tìm GTLN của biểu thức :
( )( )
121
13
= xxA

Với
1
2
1
x
Giải: Vì
1
2
1
x
nên 1-x
012;0 x
áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có:

( )( ) ( )( )
( ) ( )
[ ]

13
== xA
Bài toán 14: Cho 0<x<2 . Tìm GTNN của biểu thức
A
xx
x 2
2
9
14
+

=
Giải: Ta có: A
xx
x 2
2
9
14
+

=
=
1
2
2
9
+

+
x

713.21
2
.
2
9
21
2
2
9
14
=+=+


+

+

=
x
x
x
x
x
x
x
x
Dấu = xảy ra
2
12
2

x
x
2
nên khi vận dụng BĐT Côsi ta đợc tích của chúng là
một hằng số
Bài toán 15: Cho 0 < x < 1 Tìm GTNN của biểu thức
A
xx
4
1
3
15
+

=
Giải: A
xx
4
1
3
15
+

=
=
( )
7
14
1
3

x
x14
ta có:
A
( ) ( )
347732.27
14
.
1
3
27
14
1
3
15
+=+=+


+

+

=
x
x
x
x
x
x
x


( )
7
14
1
34
1
3
+

+

=+
x
x
x
x
xx
?
Ta đặt
( )
c
x
xb
x
ax
xx
+

+

x
xxx
x
+++=
Vì x>0 nên
0
16
3
>
x
.
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 4 số dơng x, x, x,
3
16
x
ta có:
A
82.416.4
16
4
16
4
4
33
16
===+++=
x
xxx
x
xxx

=
( )
ba
x
ab
x +++
Vì a,b,x>0 nên
0>
x
ab
. áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng x và
x
ab
Ta có: A
( ) ( )
ba
x
ab
xba
x
ab
x +++++= .2
17
=
( )
2
2 babaab +=++
Dấu = xảy ra
abxabx
x

18

áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số không âm 3x-5 và 7-3x tacó:
A
( ) ( )
xx 37.5322
2
18
+=

( ) ( )
xx 37532 ++
=4
Dấu = xảy ra
23753 == xxx
Vậy Max A
2
18
=4
22
18
== xMaxA
Nhận xét : Biểu thức A
18
đợc cho dới dạng tổng của hai căn thức .Hai biểu thức
lấy căn có tổng không đổi (bằng 2) . Vì vậy nếu ta bình phơng hai vế biểu thức A
18
thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn thức. Đến đây ta có thể vận dụng
BĐT Côsi : 2
baab +

2
=== xMaxA
Bài toán 20: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
A
15
20
+= xx
Giải: ĐKXĐ: 1
5

x
19

Ta có A
0
20

và A
( )( )
15215
20
2
++= xxxx
=4+2
( )( )
415 xx
mà A
0
20


C. Ph ơng pháp 3:
Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác 0
Bài toán 21: Tìm GTLN của biểu thức : A
x
x
5
9
21

=
Giải: ĐKXĐ : x
9
A
30
1
10
3
99
5
3
3
9
2
1
5
3.
3
9
5
9


x
x
Vậy MaxA
18
30
1
21
== x
20

Nhận xét: Trong cách giải trên, x-9 đợc biểu diễn thành
3.
3
9x
và ta đã gặp ở chỗ
khi vận dụng BĐT Côsi , tích
3.
3
9x
đợc làm trội thành nửa tổng
x
x
3
1
3
3
9
=+



Giải: áp dụng BĐT Côsi với 2 số dơng
zy
x
+
2
và
4
zy +

ta đợc:

x
xzy
zy
xzy
zy
x
==
+
+

+
+
+ 2
.2
4
.2
4
22

z
xz
y
zy
x
++
++
+
+
+
+
+
+ 2
222
A
( )
1
22
23
=
++
=
++
++
zyxzyx
zyx
( vì x+y+z=2)
Dấu = xảy ra

3

b
a
Giải:
Vì a,b,c>1 nên
01,1,1 > cba
áp dụng bất đẳng thức CÔSI với 2 số dơng ta có

( )
ab
b
a
414
1
+


( )
bc
c
b
414
1
+

22( )
ca
a

1
102
26
+
++
=
x
xx
Bài toán 27: Với x>0.Tìm GTNN của biểu thức : A
x
xx
+
++
=
1
20001992
27
Bài toán 28: Với x,y,z >0 Tìm GTNN của biểu thức : A
x
z
z
y
y
x
++=
28
Bài toán 29: Với x,y,z là các số không âm và thỏa mãn: x+y+z =1
Tìm GTLN của biểu thức : A
29
=xyz(x+y)(y+z)(z+x)

1
1
2
30
+
−
=
Bµi to¸n 31: Cho x.y=1 vµ x >y > T×m GTNN cña biÓu thøc
A
yx
yx
−
+
=
22
31
Bµi to¸n 32: Cho a,b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c .
T×m GTLN cña biÓu thøc : A
( )( )( )
abc
bacacbcba
3
32
−+−+−+
=
Gîi ý: a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c nªn a,b,c >0
Ta cã a+b >c , b+c>a, c+a>b
Do ®ã a+b-c >0, b+c-a >0, c+a-b >0
¸p dông B§T C«si víi hai sè d¬ng , ta cã:



A
yx
yx
46
23
34
+++=
Gợi ý: A
yx
yx
46
23
34
+++=
=
( )
y
y
x
x
yx
8
2
6
2
3
2
3
+++++

5
1
108108
5
33322






++++
yxyxyyyxx
Bài toán 36:Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z
12
Tìm GTNN của biểu thức: A
x
z
z
y
y
x
++=
36
Gợi ý: A
36
y
xz
x
zy


yx
x
zy
x
zy
z
y
4
2
+++

zz
y
xz
y
xz
x
z
4
2
+++
Do đó A
( ) ( ) ( )
zyxzyxzyx ++=++++ 34
2
36
25