SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
SỞ GIÁO
DỤC
VÀ ĐÀO
TẠO
Đơn vị
Trường
THPT
NgôĐỒNG
QuyềnNAI
Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền
Mã số: ................................
Mã số: ................................

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

DỰ
ĐOÁN
ÁP
DỤNG
DẤU BẰNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

KĨ GTNN,
THUẬT
TÌM
ĐIỂM MINH
RƠI BẤT
ĐỂ TÌM
GTLN
VÀ CHỨNG

khác:

Phương pháp giáo dục


Có đính kèm: Lĩnh vực khác: ......................................................... 
 Mô hình
 Phần mềm
 Phim ảnh
 Hiện vật khác
Có đính kèm:
 Mô hình
 Phần mềm
 Phim ảnh
Năm học: 2012-2013

-1-

 Hiện vật khác


SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: ĐỖ TẤT THẮNG
2. Ngày tháng năm sinh: 06/09/1981
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 149/7 Khu phố 2 phường Trung Dũng, BH-Đồng Nai.
5. Điện thoại:

0918.306.113

hệ bất phương trình, các bài toán cực trị . . . Đa số học sinh (HS) khi gặp BĐT
thường hay lúng túng, không biết nên xuất phát từ đâu? Phương pháp giải như thế
nào? Với vai trò là giáo viên dạy Toán 10, tôi muốn HS lớp 10 được tiếp cận một số
đề thi cao đẳng, đại học, đề thi học sinh giỏi, bài BĐT hay từ những kiến thức bình
thường, dễ hiểu nhất.
- Chứng minh BĐT hoặc tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) của
một biểu thức thực ra là một dãy hữu hạn các bước biến đổi, đánh giá thông qua các
BĐT mà đảm bảo dấu “=” BĐT luôn đúng tại mọi thời điểm. Các sai lầm và khó
khăn HS hay gặp phải là :
 Theo thói quen làm BĐT trong chương trình, HS thường không kiểm tra dấu

“=” của BĐT có xảy ra hay không? Như thế, HS dễ mắc sai lầm khi áp dụng
“vô tư” các BĐT mà không xảy ra dấu “=”.
 HS sẽ lúng túng không biết xuất phát từ đâu? Làm cách nào để suy luận ra

các BĐT cần dùng trong bài toán.
Dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cô-si là một kĩ thuật “suy ngược” nhưng rất
logic. Từ giá trị của các biến số trong BĐT tại dấu “=” ở dự đoán ban đầu, suy ra các
giá trị của các biến số trong BĐT tại các thời điểm dùng các BĐT để đánh giá, suy
ra các BĐT phù hợp sẽ được sử dụng trong bài toán. Hơn nữa, giúp chúng ta có thể
kiểm chứng lại cách làm bài toán có đúng không? từ đó hạn chế, khắc phục sai lầm.
Tóm lại, kĩ thuật trên cho phép ta dự đoán, tránh sai lầm và định hướng cách giải
bài toán.
- Dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cô-si để chứng minh BĐT hoặc tìm GTLN,
GTNN là một trong các phương pháp đơn giản, dễ hiểu hơn so với đa số các phương
pháp khác, phù hợp với HS lớp 10. Cho phép HS giải quyết được nhiều bài toán
BĐT mà không cần huy động tới kiến thức về đạo hàm của lớp 12.

-3-



 (a  b)     4 với a, b  0
a b


1
a

1
b

  




4
với a, b  0
( a  b)

1
1 1 1
    với a, b  0
a  b 4 a b 

Dấu “=” xảy ra  a=b
 Bất đẳng thức Cô-si 3 số không âm

a b c 3
 abc . Dấu "=" xảy ra  a = b = c.

Cho f ( x1, x2 ,..., xn ) là một hàm n biến thực trên D  ¡ n : f : D  ¡
 f ( x1, x2 ,..., x n )  M ( x1, x2 ,..., xn )  D

 Max f  M  

0 0
0
0 0
0
( x1 , x2 ,..., xn )  D : f ( x1 , x2 ,..., xn )  M
 f ( x1, x2 ,..., x n )  m ( x1, x2 ,..., xn )  D
 Min f  m  
0 0
0
0 0
0
D
( x1 , x2 ,..., xn )  D : f ( x1 , x2 ,..., xn )  M
D

 Nhận xét:
 Dấu hiệu để dùng BĐT Cô-si và các hệ quả là các biến trong BĐT luôn không
âm hoặc dương. Điều này giúp ta nhận định nhanh bài toán có nên dùng BĐT Cô-si
hay không.
 Trung bình cộng của các số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân
của chúng. Do đó:
+Để tìm GTNN của biểu thức thường ta sẽ biến đổi tổng thành tích.
+Để tìm GTLN của biểu thức thường ta sẽ biến đổi tích thành tổng.
 Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp kiểm tra tính đúng
đắn của chứng minh, định hướng cách giải. Đặc biệt, khi áp dụng nhiều lần bất

3

1  130 
1  130 
 130 
 (80  2 x)(50  2 x)4 x  
 V  
 . Vậy MaxV  

4 3 
4 3 
 3 

3

Nguyên nhân sai lầm:
+Theo thói quen, HS không kiểm chứng lại dấu”=” của BĐT xảy ra khi nào?
3

1  130 
MaxV  
 khi 80  2x  50  2x  80  50 (Vô lý). Do đó, dấu “=” không xảy ra.
4 3 

Bài 2. Cho x  2 . Tìm GTNN của A  x 

1
x

Sai lầm HS thường gặp:


x
2

Áp dụng BĐT Cô-si 3 số không âm ta có A   
Vậy MinA 

3

3
4

-6-

1
xx 1
1
3
 33
 33  3 .
2
2
x
22x
4
4


Nguyên nhân sai lầm:
Cách giải trên mắc sai lầm do dấu bằng của bất đẳng thức không xảy ra. Bởi vì, dấu

m n
m n
m n
m n
Mặt khác OM  ON  m  n  2 mn  2 24  4 6 .

Áp dụng BĐT Cô-si 2 số

Do đó, Min  OM  ON   4 6
Nguyên nhân sai lầm:

Theo thói quen, HS không kiểm chứng lại dấu”=” của BĐT xẩy ra khi nào? Cụ thể
2 3

Dấu “=” xẩy ra khi  m n  m  n  0 (Vô lý). Do đó dấu “=” không xẩy ra.

m  n

2) Khắc phục sai lầm, phân tích và định hướng cách giải
Kỹ thuật dự đoán dấu bằng để tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
B1: Dự đoán dấu “=” xầy ra:

Dấu hiệu:
+Nếu biểu thức có điều kiện ràng buộc thì GTLN, GTNN của biểu thức thường đạt
được tại vị trí biên.
+Nếu biểu thức có tính đối xứng thì dấu “=” thường xảy ra khi các biến bằng nhau.
+Nếu biểu thức không có tính đối xứng thì tuỳ theo bài toán mà linh hoạt áp dụng.

Mục đích: Xác định giá trị các biến và GTLN, GTNN của biểu thức tại dấu “=” ở
dự đoán ban đầu.

1
 f ( x1 )  f ( x2 )   x1   -  x2     x1  x2   1 2   0  f ( x1 )  f ( x2 )
x1  
x2 

 x1.x2 

Do đó x càng nhỏ thì A càng nhỏ. Dự đoán dấu “=” xảy ra tại x  2 và Min A=
B2:Định hướng cách giải: Biểu thức A có chứa tổng x và

5
.
2

1
, để tìm GTNN của A
x

ta phải dùng BĐT nào mà khi đánh giá các biến x phải triệt tiêu. Do đó, nghĩ ngay
đến phép đánh giá tổng thành tích BĐT Cô-si 2 số không âm.
+Không thể áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm x và

1
vì dấu “=” không xảy ra
x

(nguyên tắc dấu “=” không đảm bảo).

1


x





1

x1

1

x  2
1

(nguyên tắc dấu “=” vẫn đảm bảo). Gía trị của x=2 tại dấu “=” ở
x
  4

dự đoán ban đầu xảy ra cũng không thay đổi so với khi sử dụng BĐT Cô-si 2 số
không

âm.

Để

tiện

hơn



‘=’
A

xảy
như

ra:
sau:

1
x 3x 1  x 1  3x
      
và ta có lời giải tương ứng.
x
4 4 x 4 x 4

Lời giải đúng
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương
A x

x 1
, 0
4 x

1
x 1 3x
3.2 5
 x 1  3x
   


 x 

Bài 2. Cho x, y  0 thỏa x  y  1 . Tìm GTNN của A  x  y 

1
1

x
y

B1 : Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra
Do A là biểu thức đối xứng theo x, y nên dự đoán GTNN của A tại x  y 
B2: Định hướng cách giải
-9-

1
2


+ Từ ‎Bài 1 và dấu “= “ xảy ra tại x  y 

1
1 
1
, ta phân tích A   x     y  
2
x 
y


Áp dụng BĐT Cô-si 2 số không âm
1 
1
1
1

A   4 x     4 y    3  x  y   2 4 x.  2 4 y.  3  x  y   8  3  5
x 
y
x
y


Vậy MinA  5 . Dấu “=” xảy ra  x  y 

1
2

Nhận xét: Để giải bài toán trên có thể dùng BĐT Cô-si 4 số không âm, nhưng do
giới hạn chương trình nên chúng tôi chỉ dùng BĐT Cô-si 2 và 3 số không âm.
3
2

Bài 3. Cho x, y, z  0 : x  y  z  . Tìm GTNN của A  x  y  z 

1
1 1
 
x
y z

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm
1 
1 
1
1
1
1

A   4 x     4 y     4 z    3  x  y  z   2 4 x.  2 4 y.  2 4 z.  3  x  y  z 
x 
y 
z
x
y
z

9 13
 12  
2 2

- 10 -


Vậy MinA 

13
1
khi x  y  z 
2
2

Bài 4. Cho số thực x  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A  x 

1
x2

B1: Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra:
Hàm số f ( x)  x 

1
x2

đồng biến trên  2; . Thật vậy x1 , x2  (2; ) : x1  x2  2


 x12  x2 2 
1  
1 
 f ( x1 )  f ( x2 )   x1  2  -  x2  2    x1  x2    2 2 
x1  
x2 

 x1 x2 
 x x 
 x 2x 2  x  x 
  x1  x2  1  1 2 22    x1  x2   1 2 2 12 2   0  f ( x1 )  f ( x2 )
x1 x2 
x1 x2




x
2 2

để khi áp dụng BĐT Cô-si 3 số thì dấu “=” xảy ra .

x x 1
x x 1
+Sử dụng BĐT Cô-si cho bộ số  , , 2  sao cho tại x  2 thì   2 .
  x
  x 

- 11 -


x x 1
    x 2
2 1
   8
Ta có sơ đồ dấu ‘=’ : x  2  
 4
1 1
2
 x
4
x
8

x
8


A    x1  x2  x3  ...  xn     2  2  2  ...  2  với   2 n3  0 (  ,  ,   0 là
xn 

 x1 x2 x3

hằng số cho trước, n  N * ) thì MinA 

 3   n3

khi x1  x2  x3  ...  xn 
2
n


Bài 5. Cho số thực x  6 . Tìm GTNN của A  x 2 

18
x

B1: Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra
Do hàm số f ( x)  x 2 

18
đồng biến trên  6;   nên x càng nhỏ thì A càng nhỏ. Ta
x

dự đoán MinA  39 khi x  6 .
B2: Định hướng cách giải
 x 2 36
   

Dấu “=” xảy ra 

x2 9
  x  6 . Vậy GTNN của A là 39
24 x
3
2

Bài 6. Cho x, y, z  0 thỏa x  y  z  . Tìm GTNN của A  x 2  y 2  z 2 

1
1 1
 
x
y z

B1: Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra
Do A là biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán MinA đạt tại x  y  z 

1
2

B2: Định hướng cách giải
Sơ đồ :

1
 2
x  y2  z2 

1 


  x2      y 2 
    z2        
8x 8x  
8y 8y  
8z 8z  8  x y z 

 3 3 x2

1 1
1 1
1 1 3
9
9 27 2 27
 33 y2
 33 z2

 

8x 8x
8y 8y
8z 8z 4  x  y  z  4 4 3 4

Dấu “=” xảy ra  x  y  z 

1
27
. Vậy MinA 
2
4

  4 .
x y z

Tìm GTLN

1
1
1
Đề thi Đại học khối A năm 2005


2x  y  z x  2 y  z x  y  2z

B1: Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra
Do P là biểu thức đối xứng với x, y, z nên dự đoán Min P đạt tại x  y  z 

3
4

B2: Định hướng cách giải
Nhận thấy để P có thể sử dụng giả thuyết

1 1 1
   4 thì
x y z

1
1
1
1

4

ban đầu xảy ra (Đảm bảo nguyên tắc dấu “=” xảy ra)
Lời Giải:
Áp dụng Hệ quả  của BĐT Cô-si 2 số không âm
1
1
1 1
1  1  1 1   1 1 

 

        
2 x  y  z  x  y    x  z  4   x  y   x  z   16  x y   z x 

Tương tự:

1
1 1 1 1 1
     
x  2 y  z 16  x y y z 
1
1 1 1 1 1
     
x  y  2 z 16  x y z z 

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
- 14 -





(  ,  ,   N * hằng số cho trước)
 x   y   z  x   y  z  x  y   z

thì MaxP 

4

   

khi x  y  z 

3
4

Thậm chí đối với các bài toán BĐT mà dấu bằng không xảy ra khi các biến
bằng nhau. Nếu dự đoán được dấu bằng xảy ra, vẫn làm được
 xy  12
 1
1 1  8 121

. Cmr:  x  y  z   2   

 yz  8
 xy yz zx  xyz 12

Bài 8. Cho x, y, z  0 : 

B1: Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra

x z y 8
4
  
 44 . . .

9 6 12 xyz
9 6 12 xyz 3

- 15 -


13x 13 y
13x 13 y
13 13
13

2
.
2
. .12 
18
24
18 24
18 24
3
13 y 13z
13 y 13z
13 13
13



(80  2 x). (50  2 x). x 

(80  2 x)   (50  2 x)   x 80  50     2  2  x

thoả :
3
3

+Một là,   2  2  0    2  2
+Hai là, dấu “=” xảy ra khi (80  2x)   (50  2 x)   x  (80  2 x)   (50  2 x)   2  2  x
Do đó:

  2(n)
  2
25
40



2  1 2  
  40(l )    6

Lời Giải:
Gọi x (cm), 0  x  25 là độ dài hình vuông được cắt.
1
(80  2 x)(100  4 x)6 x 
12
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số 80  2 x  0,100  4 x  0, 6 x  0
(80  2 x)  (100  4 x)  6 x

n3
2n
6
 6 
n
n2
Mặt khác OM  ON  m  n 
   n  3  5 .
n3
n3
 n3

Do Q  2;3   

6 
 6 
 6 
Áp dụng BĐT Cô-si 2 số 
  n  3  2 
 ,  n  3  0 : 

 .  n  3  2 6
 n3
 n3
 n3

 n  3  6(n) 
m  2  6
6 
2

2 xy
2

B1: Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra: Do A là biểu thức đối xứng theo x,y nên dự đoán dấu
bằng xảy ra khi

x y

1
 MinA=4
2

B2: Định hướng cách giải: Sơ đồ :

 1
2
2
2
1  x  y
x y 
 2  2    1
2  
2
 2 xy

- 17 -


Lời Giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương

2
2

 x 2  y 2  2 xy
1
 x  y  . Vậy MinA  4 .
2
x  y  1

Dấu “=” xảy ra  

Ta có thể thay đổi Bài 11 dưới dạng chứng minh BĐT ta được Bài 12, phương pháp
giải cũng tương tự.
1
1

4
2
x y
2 xy

Bài 12. Cho x, y  0 : x  y  1 . Cmr : A 

2

Bài tập luyện tập
 Chứng minh BĐT
Bài 1. Cho số thực x  4 . Chứng minh rằng x 
Bài 2. Cho x, y  0 : x  y  2 . Cmr x  y 
Bài 3. Cho x, y  0 . Cmr

x

Bài 5. Cho x, y, z, t  0 : x  y  z  t  1 . Cmr 2  x  y  z  t   3 
Bài 6. Cho x1 , x2 , x3 ,...xn  0 : x1  x2  x3  ...  xn   .

1 1 1
1   2   n2
   ...   
xn 

 x1 x2 x3

Cmr:   x1  x2  x3  ...  xn    

 n2
với (   2  0; ,  ,   0 là hằng số cho trước, n  N * )

x
y
z
yz
z  x x  y 15






yz zx x y
x


1 1 1
1   3   n3
Cmr   x  x2  x3  ...  xn        ...   
xn 
n
 x1 x2 x3
2
1

2

2

với (  

2

2 3
 0 ;  ,  ,   0 là hằng số cho trước, n  N * )
n3
1

Bài 12. Cho x, y  0 thỏa x  y  1 . Cmr



1
8



(Đại học khối D năm 2005)
Bài 16. Cho

x, y  0: x  y  2 .

Cmr:

P

x3  y2
2



x2  y3

x

Cmr

1
2x  y  z

3
3

7
2x 2y



y
z x
2

2



1
x  y  2z

z
x y
2

2



1



22

3 3
2

Cho


- 19 -


 Tìm GTNN, GTLN
Bài 22. Cho số thực x  4 . Tìm GTNN của A  x 

1
x

Bài 23. Cho x, y  0 : x  y  2 . Tìm GTNN của A  x  y 
Bài 24. Cho x, y  0 . Tìm GTNN của A 

1
1

x
y

xy
x y

x y
xy

Bài 25. Cho x, y  0 : x  y  1 . Tìm GTNN của A  xy 

1
xy
1

y
z
yz
zx x y





Cho x, y, z  0 . Tìm GTNN của A 
yz zx x y
x
y
z
1
Cho số thực x  2 . Tìm GTNN của A  x  2
x
1
Cho số thực x  6 . Tìm GTNN của A  x 2 
x
Cho x, y, z, t  0 : x  y  z  t  1 .

Bài 28. Cho x, y, z  0 : x  2 y  3z  20 . Tìm GTNN của A  x  y  z  
Bài 29.
Bài 30.
Bài 31.
Bài 32.

1
1 1 1

Cho x, y  0 thỏa x  y  1 . Tìm GTNN của A  2 2   4 xy
x y
xy

Bài 34. Cho x, y  0 : x  y  1 . Tìm GTNN của A 
Bài 35.

- 20 -

1

2

2




Bài 36. Cho x, y  0 thỏa x  y  1 . Tìm GTNN của A 

1
1
1
 2  2
3
x y
x y xy
3

Bài 37. Cho x, y, z  0 : xyz  1 .Tìm GTLN của




y

x y  2.

Tìm GTNN của biểu thức:

3
3

2x 2y

Bài 39. Cho x, y, z >0 x2  y2  z2  1. Tìm GTNN của P =

x
y z
2

2



y
z x
2

2



 x, y , z  0

Bài 42. Cho 

x  y  z  3

. Tìm GTLN của P  3 x  2 y  3 y  2z  3 z  2x
3
4

Bài 43. Cho x, y , z  0 : x  y  z  .Tìm GTLN của P  3 x  3y  3 y  2z  3 z  3x

IV.

KẾT QUẢ
Khi áp dụng chuyên đề trên cho HS 10 thì tôi thấy HS rất thích thú, đồng thời
các em cũng đỡ lúng túng hơn khi gặp các dạng bài tập trên.
V. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Nếu có thêm thời gian mở rộng thì tôi nghĩ rằng đề tài có thể trở nên có nhiều
tác dụng hỗ trợ thiết thực trong việc rèn luyện và phát triển tư duy góp phần giải
được khá nhiều dạng toán trong quá trình dạy học sinh nói chung và bồi dưỡng học
sinh khá, giỏi nói riêng.
VI.

KẾT LUẬN

- Áp dụng kĩ thuật dự đoán dấu “=” xảy ra trong bất đẳng thức Cô-si là phương
pháp ngắn gọn, dễ hiểu, hiệu quả cho lớp bài toán khá rộng của BĐT, phù hợp với
các học sinh lớp 10 và thi đại học.

ĐỖ TẤT THẮNG
- 22 -


SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Trường THPT Ngô Quyền

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Biên Hoà, ngày 24 tháng 04 năm 2013

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2012-2013
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm: DỰ ĐOÁN DẤU BẰNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

CÔ-SI ĐỂ TÌM GTNN, GTLN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
Họ và tên tác giả: ĐỖ TẤT THẮNG

Tổ:Toán-Tin.

Lĩnh vực:
Quản lý giáo dục



Phương pháp dạy học bộ môn: Toán .................. 

Phương pháp giáo dục


Tốt 
Khá 
Đạt 

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi
vào cuộc sống:
Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả
trong phạm vi rộng: Tốt 
Khá 
Đạt 
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
TỔ TRƯỞNG

LÊ THANH HÀ
- 23 -