Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

CHUYÊN ĐỀ 10

BẤT ĐẲNG THỨC
BÀI TOÁN MIN - MAX
Bài 1. Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện

1
z  x  y  z . Tìm giá trị nhỏ
2

nhất của biểu thức
P

x
y
2z


.
2y  z z  2x x  y  z

HƯỚNG DẪN GIẢI
2

a  b 
a 2 b2
Trước hết ta chứng minh:

y 


Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:

a
b
 .
x
y
2

x  y 
x
y
x2
y2
Áp dụng * , ta có




.
2y  z z  2x 2xy  zx yz  2xy 4xy  z x  y 

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y .
2



2
2
x  y  z x  y 
x y
x

y

z
x

y
x

y
   
1
 

 z




z

z

1 


t  1
Đặt t 

1 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

1 
1 
3
Suy ra f t  nghịch biến trên  ;1 nên f t   f 1  , t   ;1 .
2 
2 
2




x y
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1 
 1.
3
z
x  y

2

Áp dụng bất đẳng thức cơ bản 4xy  x  y  , x , y   . Ta có:
2 x  y 

P

2

z 2  x  y 



3z 2
2

z 2  x  y 



x y 
2   
 z z 
 x y 2
1    
 z z 

3
 x y 2
1    



2

2 1  8t 2
2

1  t  3t 
2

. Xét hàm f t  


2


1  t 


2t
1t

2



3
1  t2

, t  1; 4 .

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

3  8 17
; khi x  y  2 , z  1 .
17
Nhận xét: Bài tốn thuộc dạng min, max của biểu thức ba biến với các biến bị chặn. Thơng thường đối với
dạng này ta có hai hướng giải. Một là đạo hàm theo từng biến. Hai là dùng bất đẳng thức phụ sau đó đặt ẩn
phụ để đưa được về biểu thức một biến và cuối cùng là xét hàm.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

Bài 3. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  6z 2  4z x  y  . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
P

x3
2

y x  z 



y3
2

x y  z 

x2  y2
.
z


2
2
2
2
a

b
a

b

ab 
ab 

2
2

Khi đó

P




a3
2

b a  1
a3
2




a  b 
2

.

 2.

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b , a  b  2 .
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có

a3
2

b a  1



a  1 ab  b 3a


8
8
4

và

4
4
2
4
4
2

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a 2  b2  6  4 a  b  .

3

Từ 1 , 2 và 3 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: a  1 , b  1 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

3 | Trang

1
 2 , khi x  y  z .
2
www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

Nhận xét. Nhìn vào giả thiết ta thấy hai biến x , y có vai trò đối xứng nhau, còn biến z có vai trò khơng đối
xứng. Điều này gợi ý cho ta đưa bài tốn đã cho về bài tốn mới với 2 biến có vai trò đối xứng nhau, loại bỏ
đi 1 biến thừa khơng cần thiết và việc khó của cách giải này là chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cơsi.
Bài 4. Cho a , b , c là các số thực thỏa mãn điều kiện a  2b  3 a  b  1  3 b  3c  2  3c . Tìm giá

1 m 2
 x  y  m  3



 xy  2  9  m  3




Từ đó x , y là nghiệm của phương trình bậc hai:





X2 

1


m
1  m 2
X  
 m  3  0
3
2  9


 18X 2  6mX  m 2  9m  27  0 .






9  3 21
; giá trị lớn nhất của P là 9  3 15 .
2
Nhận xét: Đây là một phương pháp dùng để tìm GTNN, GTLN của một biểu thức. Phương pháp này gọi là
‘’Miền giá trị’’ dựa vào điều kiện có nghiệm của hệ phương trình đối xứng loại 1. Dạng tốn này nằm trong
chương trình cơ bản của SGK lớp 10. Đặc thù của dạng này là tìm được GTNN, GTLN của biểu thức P
nhưng khơng cần chỉ rõ biểu thức đạt tại đâu vì hệ (1) có nghiệm thì khi đó chắc chắn sẽ tồn tại a , b , c . Để
cho thành thạo hơn, các em có thể làm thêm ví dụ '' Cho x , y là hai số thực thỏa mãn

Do đó giá trị nhỏ nhất của P là

x  3 x  1  3 y  2  y . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  y '' .
4 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

Bài 5. Cho x , y , z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

4 2

1
.

x y z
x y z

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  2y , y  2z .

1
1
1
1
Đặt t  x  y  z , t  0 . Khi đó: P  
. Xét f t   
, t  0.
t
t
t
t
Ta có f ' t  

1

2t t
Bảng biến thiên









dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

2
x  xy  3 xyz



3
x y z

.

Bài 6. Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa mãn abc  a  c  b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
1
2
P


.
2
2
2
a 1 b 1 c 1
5 | Trang



1
tan A  C   1
2



2
2

tan C  1

 cos2 A  cos2 A  C   2 cos2 C
1
 . cos 2A  cos 2A  2C   2 cos2 C

2 
 sin 2A  C  . sin C  2 cos2 C
2

1
17 17
 sin C  2 sin2 C  2  2  sin C   
 .

4 
8
8


15 1 
;
;
 .
15 3
15 

.

Bài 7. Cho x , y là hai số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện x  2y  xy  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:

P

x2
y2

.
4  8y 1  x

HƯỚNG DẪN GIẢI
Từ giả thiết ta có x  2y  xy 

1
.x .2y .
2

a 

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có


a  b 
a 2 b2
Hơn nữa, ta lại có:


x
y
x y

* với a,

b   và x , y  0 .

a 2 b 2 
2

Thật vậy, *  a  b   x  y     .
y 
 x

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
2

a 2 b2 
a
b 

x
.

2y 
x  2y 
x2
y2
x2
Áp dụng * , ta có P 




.
4  8y 1  x
4  8y 4  4x
8  4 x  2y 

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  2y .
Đặt t  x  2y , t  8 . Khi đó: P 
Xét hàm số f t  

t2
.
8  4t

t2
4t 2  8t
trên 8;  ; f ' t  
 0 , t  8 .
2



.
2x  y 2y  z 2z  x

HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có P 

xy
3yz
6zx


2x  y 2y  z 2z  x

1
1
1
.


1 1 1
1
1
1
1
1
1
 



Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

x y y
1
;

9
1 1 1
 
x y y

1

1

y  z  z   3z  3z  3y   3 




1

1

1

3

x  x  z   6z  6x  6x   2 

Cộng các vế của các bất đẳng thức trên ta được:

x  y  y y  z  z 2 x  x  z  1


 13x  5y  12z   1 .
9
3
3
9
x  y  z
3
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: 
x y z 
.
13x  5y  12z  9
10

3
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 ; khi x  y  z 
.
10
P

Bài 9. Cho x , y là hai số thực dương thỏa mãn x 2  2y  12 và x  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P




4  xy
5
1  x 2 y 2  5
1
P        .
     .
.
2
2
2
 8  x 4 y 4  8

16 y
x  64 x  y  2
8 x  y 
y x

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: xy  8 .
Đặt t 

1

x y
1
5
1
1
 , t  2 . Khi đó: P  t 2  .
 .
y x

8 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

 5  27
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f t   f   
.
 2  64
2;
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t 

5
x y
5
   .
2
y x
2

2

27
. Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  2 , y  4 .
64
27

z

HƯỚNG DẪN GIẢI
2

Ta chứng minh:

a  b 
a 2 b2


x
y
x y

* với a,

b   và x , y  0 .

a 2 b 2 
2

Thật vậy, *  a  b   x  y     .
 x
y 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
2

a 2 b2 


a
b
 .
x
y

Áp dụng * , ta có


x2
y2

  x  y
P  2  

 x 2  xy  2z 2 y 2  5xy  z 2 
z
2

x  y 
2

2
2
x  y   4xy  3z
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:

x
2

2
2 x  y   3z

x y
x y
 2

.
2
z
z
 x  y 
 3
2 
 z 

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y .
Đặt t 

 x  y 2


 z 

2

x y
. Do x , y  1 và 0  z  2 nên t  1 .
z


Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

2



3



1

 0 , t  1 .

2 t

4
Suy ra f t  nghịch biến trên 1;  nên f t   f 1  .

5

x y
 1  x y  z .
3
z
x  y  1
4
Suy ra P  . Từ 1 , 2 và 3 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: 
.
z  2


z 1

HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có
P





z z  xyz  2z xy

x  y z 2  1



z x  y  2z xy

x  y z 2  1





2z

z




Do đó P 

z
z2  1



2z





z2  1

z2  1

3z



z2  1



2z 3




10 | Trang

1
2

do 0  t  1 .
www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

Bảng biến thiên

 1 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f t   f    2 .
 2 
0;1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t 

1

z



2


P



x 2  y2

y
y2  z 2

z
.
z x



HƯỚNG DẪN GIẢI
1

Ta chứng minh:

1  a2

1



1  b2




1
1  b2

 1.

1
1  a2

 1.

1
1  b2



1

2

 1
1 

 12 

 1  a 2 1  b 2 



2
2

 z 2
1   
y 

y
z
 .
x
y

z
2
, 0  t  1 . Khi đó: P 

x
1t

11 | Trang





1
x
1
z




Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Xét hàm số f t  

t 2

, 0 t 1.

t 1

12 t

Ta có f ' t  

2 t

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

3

t  1

; f ' t   0  t 

1
.
4

Bảng biến thiên


2
▪
với a, b  0 và ab  1 .


1  a 1  b 1  ab
Dấu ''  '' xảy ra khi a  b hoặc ab  1 .

Bài 13. Cho ba số thực x , y , z thuộc đoạn 1; 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

36x 2y
z
.


yz
xz xy

HƯỚNG DẪN GIẢI
●

Đặt f x  

36x 2y
z


với x  1; 3 , y , z là tham số.
yz

 với y  1; 3 , z là tham số.
yz
z
y

Ta có g ' y  

36
y 2z



2
z
36  2y 2  z 2
36  2.9  12



 0.
z y2
y 2z
y 2z

Suy ra g y  nghịch biến trên 1; 3 nên
12 | Trang

www.noon.vn






1
18 1
    0.
3
32 3

18 3
Suy ra h z  nghịch biến trên 1; 3 nên h z   h 3 
  7.
 
3
3
Suy ra P  7 . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  1 , y  3 , z  3 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 7 ; khi x  1 , y  3 , z  3 .
Nhận xét: Cách làm này chỉ áp dụng khi các biến x, y, z khơng phụ thuộc lẫn nhau chúng phải là các biến tự
do trong một đoạn. Bạn đọc có thể áp dụng cách làm này để giải đề thi Đại học khối A năm 2011. Tuy tính
tốn biến đổi hơi vất vả nhưng dễ làm. '' Cho x, y, z là ba số thực thuộc 1; 4  và x  y , x  z . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P 

x
y
z
'' .


2x  3y y  z x  x


y z
x y z.
5

Suy ra x  y  z  2 y  z  .
2
2
2
1
1
1
y  z   4 y  z   y  z   2 y  z  y  z  .

2
2
2
y  z
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: 
.
1
x  y  z


Khi đó: P  2x  y  z  

Đặt t  y  z , t  0 . Khi đó: P  2t 
Xét hàm số f t   2t 

t4

Suy ra P 

3
1
. Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  1, y  z  .
2
2

3
1
; khi x  1, y  z  .
2
2
Nhận xét. Nhìn vào biểu thức P ta thấy vai trò y , z như nhau còn x thì khơng. Do vậy ta biến đổi làm mất
x . Sau đó đặt ẩn phụ và xét hàm.

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng

2
2

 x  yx  z  .
3x  2y  z  1 3x  2z  y 1

Bài 15. Cho x , y , z là ba số dương thỏa mãn điều kiện:
2

2 x  3  y 2  z 2 16

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

.
3x  2y  z  1 3x  2z  y  1 3 2x  y  z   2

Kết hợp với giả thiết, ta được

2

8
3 2x  y  z   2



2x  y  z 
4

.

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: y  z .
8
u2

 3u 3  2u 2  32  0
3u  2
4

Đặt u  2x  y  z  0 , ta được




y  z 
2



2



 2x 2  2 1  x   2 2x 2  2x  1  0 .

Và 6x  1  0 nên P  1 

6x  1
2

2x  2x  1

.

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: y  z và y  z  2  2x .
Xét hàm số f x   1 

14 | Trang

6x  1
2

2x  2x  1


Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x   10 với mọi x  0 .
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x 

2
.
3

3

Suy ra P  10 . Từ 1 , 2 và 3 , dấu ''  '' xảy ra khi: x 

2
1
,yz  .
3
3

2
1
, yz  .
3
3
Nhận xét. Nhận thấy biểu thức P đối xứng giữa y và z nhưng x thì khơng. Nhìn vào thấy cái giả thiết thật ghê
gớm nhưng chỉ sử dụng vài bất đẳng thức cơ bản thì sẽ đi đến đơn giản và tìm được mối liên hệ giữa x với y

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 10 ; khi x 

và z. Sau đó ta biến đổi để đánh giá biểu thức P  f x  và đến đây thì mọi việc đã đơn giản vì chỉ còn xét
hàm là giải quyết bài tốn.

 



2 y 2  1  6  x 4  1  y 4  4  z 4  1  2x 2  4y 2  2z 2 .
Suy ra 0  x 2  y 2  z 2  4 .
Ta có P  2y x  z  

1
x  y  z2  1

 2xy  2yz 

2

2

1
2

2

x  y  z2  1
y2 y2
1
 x2 

 z2 
.
2

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Ta có f ' t   1 

1

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

 0 , t  0; 4 .

2

t  1

21
Suy ra f t  đồng biến trên 0; 4 nên f t   f 4  
.
5

2

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  4  x 2  y 2  z 2  4 .

21
. Từ 1 và 2 , dấu ''  '' xảy ra khi: x  1 , y  2 , z  1 .
5
21

2z

1
2

1
xy

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y .
Xét hàm số f t   3t 
Ta có f ' t   3 

 3xy 

xy
.
2xy  1

1

t
1
1
 3t  
, t  1; 3 .
 
2t  1
2 2 2t  1

1

hàm một biến và xét hàm đặc trưng.

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 

16 | Trang

10
; khi
3

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

Bài 18. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện xz  y xy  z   x 2z 2  4y 2 và xz  2y .
2

 xz  y 2
y 


 .
P  1    

xz 
 xz  y 


 xz

xz
y
z  y 1 
y 

4
 x        2 

.
 y
y
xz 
y   z x 
xz 

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: xy  z .
xz
, t  2 . Từ * , ta có
y

Đặt t 

t2 

Suy ra


 xz  y 

y
y
  1  
Ta có: P  1    
xz 
xz 

 xz  y 



2
1  y 

xz  .
 


y 
 1  

xz 

1  u 2
2
y
1
 .

1
Suy ra f u  đồng biến trên ;  nên f u   f   
.

 4  144
4 
1
y
1

  xz  4y .
2
4
xz
4
x  2
625
Suy ra P 
. Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: 
.
z  2y
144


x  2
625
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng
; khi 
.
z  2y

2
2 

nữa ta chưa sử dụng.

Bài 19. Cho x , y là hai số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  x  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
16

P  3x  2y 

x  3y

16



3x  1

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Từ giả thiết ta suy ra
2

2

2

x y  x y 



x  3y

8





8
x  3y

 12 ;

8

 12 .
3x  1
3x  1
x  y  2

x  1
Do đó P  24  2  1  21 . Dấu ''  '' xảy ra khi: x  3y  4  
.

y  1

3x  1  4

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 21 ; khi x  y  1 .

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t  z  1 , t  1 . Khi đó

P

1
x 2  y 2  z 2  2z  2




4
3

1
2

x  y  z  1  1
2

18 | Trang

3

3 x  y  z  2

2


2
1
1
x  y  và t 2  1  t  1 .

2
2

Suy ra x 2  y 2  t 2  1 
Hay

x 2  y2  t 2  1 

2
2
2
1
1
x  y   t  1   x  y  t  1
 4
2 

1
x  y  t  1 .
2

*

a  b 2
 , a, b .

2

a
Bảng biến thiên

2

2
32
.

a 3a 3

2
32

, a 2.
a 3a 3



32
a4

; f ' a   0  a  4 .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f a   f 4  
2;




Bài 21. Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn 1; 4  và x  z  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

3x



x y



2



y2



2

y  z 

z2
2

z  x 

.

2
 1
1 
2
2


1  a  1  b   1  1







 1
1 

.

2
2

1  a 
1  b  

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b .
Mặt khác, ta lại có bất đẳng thức:

1


Như vậy kết hợp hai bất đẳng thức ta suy ra * đúng và dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b .
Áp dụng * ta có:

Do đó P 

y2
2

y  z 

3x



x y



2





z2
2

z  x 



x 


1 
y 






1
2



1  x 
z 


2
2

x 


1 
y 


1  t 

Xét hàm f t  

3t 2  2
2

1  t 

, t  1;2 . Ta có f ' t  

6t
3

1  t 

 0 , t  1; 2 .

5
Suy ra f t  đồng biến trên 1;2 nên min f t   f 1  , t  1; 2 .
 
 
1;2
4
 
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  x  y .
Suy ra P 
20 | Trang

2

HƯỚNG DẪN GIẢI
xy xz
yz yx
zx zy
.

.

.
.
z
y
x
z
y
x
Do đó với A , B , C là ba góc của tam giác ABC .
yz
A zx
B
xy
C
Ta đặt
 tan2 ;
 tan2 ;
 tan2 .
x
2
y
2

 cos2

Mặt khác, ta lại có cos A  cos B  sinC  sin



tan

1
B
1  tan
2
2



C
2

1  tan2

C
2

A
B 1
1
 cos2  sin C  1  cos A  cos B  sin C  .
2
2

A  B C 
3  4 cos   2 3.
 4 cos
4
6


1
3  4  3 3
Suy ra : P  1  2 3 
.


2 
2 
4
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:

A  B  0
A  B  
x  y  2 3  3


6 suy ra 

.


C    


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

1

P

x 2  y 2  z 2  2x  2



2
x y  1z  1

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt a  x  1 , b  y , c  z . Vì x  1 , y  0 , z  0 nên a  0 , b  0 , c  0 .
1

Khi đó: P 

a 2  b2  c2  1



2

a  1b  1c  1

a  b   c  1   a  b  c  1 .
2 
 4

 a  1  b  1  c  13 a  b  c  3 3
  
 .
a

1
b

1
c

1

    

3
3




Do đó: P 

2
54
.

3
t
t  2

2
54
, t  1.

3
t
t  2


162
4

t  2

; f ' t   0  t  4 trên khoảng 1;  .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f t   f 4 

1;

1
.
4


y
z3  2


.
y  1 x  1 3 xy  1

HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có

1
1
2


x  1 y  1 1  xy

* với x



và y dương, xy  1 .



Thật vậy: *  x  y  2 1  xy  2 1  x 1  y   x  y  xy  2 xy  x  y  2xy





1
2
y 1
x 1
xy  1
 1
1 
1
 
 x  y  1 

2
 x  1 y  1 xy  1
 2


  1  2.
 2 xy  1 
1  xy  xy  1





1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y và z  1 .
Đặt t  xy , t  1 . Khi đó: P 
Xét hàm số f t  



2
2

t  1



2t

t

2

2



1



  0 , t  1 .

2 t  1 t 2  t  1
2

2

2


www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

2x

P

x2 1



2y
y2  1



z2  1
z2  1

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt a 

1

1b



2

a

b



a  b a  c  a  b b  c 

1  ab

a  b b  c c  a 

1  ab



1  a 1  b 1  c 
1  a 1  b 
1.1  a.b

1  a 1  b 1  c  1  a 1  b  1  c
2

Khi đó: P 


Ta có f ' c  

2
1  c2



c2  1
c2  1



2c  1  c 2  2


2

1  c 
2

1  c2

.

.

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b .

; khi x  y  2  3 , z  3 .
2
Nhận xét: Bài tốn sử dụng rất nhiều kỷ thuật: đổi biến, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, xét hàm
đặc trưng. Việc khó nhất của bài này là đổi biến để biểu thức được đơn giản dễ nhìn hơn.

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng

Bài 26. Cho các số thực dương a , b , c . Tìm GTNN của biểu thức
24 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

P

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

1
2a  b  8bc

8



2

2b2  2 a  c   3


2 a  b  c 





8
3 a b c

8
.
3 a b c

b  2c
a  c
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: 
 
.
a  c  b
b  2c



Đặt t  a  b  c , t  0 . Khi đó: P 
Xét hàm số f t  
Ta có f ' t  

1
2t


.

Thấy rằng f ' t   0 , t  1 và f ' t   0 , t  0;1 .
Suy ra f t  nghịch biến trên khoảng 0;1 và đồng biến trên 1;  .
3
Từ đó suy ra f t   f 1   , t  0 .
2

2

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  a  b  c  1 .

3
1
1
Suy ra P   . Từ 1 và 2 , dấu ''  '' xảy ra khi: a  c  , b  .
2
4
2

3
1
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng  ; khi a  c  , b  .
2
4
2
Nhận xét: Bằng cách vận dụng được bất đẳng thức Cơsi thì ta đưa được biểu thức P về dạng đặt được ẩn
phụ để xét hàm đặc trưng. Cái khó của bài này là chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cơsi để đẳng thức
xảy ra.