ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGUYỄN TÀI TUỆ

MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỚI ĐA THỨC
ĐỐI XỨNG BA BIẾN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số:
60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội – Năm 2014


Mục lục
MỞ ĐẦU

3

1

.
.

33
33
36
41
43

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

45
45
45
50
53
55
56
56
59
60
62

2

.
.
.
.
.
.

Bất đẳng thức với tổng không đổi
2.1 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm phân
2.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . . . .
2.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
2.1.3 Sử dụng các tính chất của hàm số . . .
2.1.4 Bài toán liên quan . . . . . . . . . . . .
2.2 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm vô tỉ
2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . . . .
2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
2.2.3 Sử dụng các tính chất của hàm số . . .
2.2.4 Bài toán liên quan . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.


.
.
.
.
.
.

thức hữu tỉ .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .

3 Bất đẳng thức có tích không đổi
3.1 Bất đẳng thức có tích không đổi với hàm phân thức hữu tỉ
3.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . .
3.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . .
3.1.3 Sử dụng các tính chất của hàm số . . . . . . . . . .
3.1.4 Bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bất đẳng thức có tích không đổi với hàm vô tỉ . . . . . . .
3.2.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . .
3.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . .
3.2.3 Sử dụng các tính chất của hàm số . . . . . . . . . .
3.2.4 Bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

biến
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

63
63
68
73
77

• Chương 2: Bất đẳng thức với tổng không đổi.
• Chương 3: Bất đẳng thức có tích không đổi.
• Chương 4: Một số lớp bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến.

Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận
văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp
ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH
Nguyễn Văn Mậu, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu
3


MỞ ĐẦU

toán học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học
tập và hoàn thiện luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học,
Khoa Toán- Cơ - Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành
bản luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 01 tháng 12 năm 2014
Tác giả

4


Chương 1

Một số kiến thức bổ trợ
1.1


Định nghĩa 1.5. Các đa thức
σ1 = x + y + z, σ2 = xy + yz + zx, σ3 = xyz,

được gọi là đa thức đối xứng cơ sở của các biến x, y, z.
1.1.2 Tổng lũy thừa
5


Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ

Định nghĩa 1.6. Các đa thức sk = xk + y k + z k , (k = 0, 1, ...), được gọi là tổng
lũy thừa bậc k của các biến x, y, z.
Định lý 1.1 ( Công thức Newton). Với mọi k ∈ Z, ta có hệ thức
sk = σ1 sk−1 − σ2 sk−2 + σ3 sk−3 .

Định lý 1.2. Một tổng lũy thừa sk = xk + y k + z k đều có thể biểu diễn được
dưới dạng một đa thức bậc n theo các biến σ1 , σ2 , σ3 .
Định lý 1.3 (Công thức Waring). Tổng lũy thừa sk được biểu diễn qua cá đa
thức đối xứng cở sở theo công thức
sk
=
k

1.2

0≤l,m,n
l+2m+3n=k

(−1)k−l−m−n (l + m + n − 1)! l m n

6


Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ

Hệ quả 1.1. Với mọi số thực dương a1 , a2 , . . . , an ta có
1
1
1
+
+ ··· +
a1 a2
an

(a1 + a2 + · · · + an ) ≥ n2 .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an .
Hệ quả 1.2. Với mọi số thực a, b, c, ta luôn có
1. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
2. a2 + b2 + c2 ≥

(a + b + c)2
3

3. (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
4. a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ abc(a + b + c)
5. (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c).
1.3.2

Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

R, yi > 0. Ta thu được bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức ( hay còn
gọi là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel).
Hệ quả 1.3. Nếu x1 , x2 , . . . , xn là các số thực và y1 , y2 , . . . , yn là các số thực
dương thì
x21 x22
x2
(x1 + x2 + . . . xn )2
+
+ ··· + n ≥
.
y1
y2
yn
y1 + y2 + · · · + yn
x
x
x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 = 2 = · · · = n .
y1
y2
yn
1.3.3

Bất đẳng thức Karamata

Định lý 1.6. Cho hai dãy số {xk , yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, . . . , n}, thỏa mãn điều kiện
x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn

7


b. Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ I(a; b) thì f (x) ≤ f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ), ∀x0 ∈ I(a; b).
Đẳng thức trong hai bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi x = x0 .

8


Chương 2

Bất đẳng thức với tổng không đổi
2.1
2.1.1

Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm phân thức hữu
tỉ
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Đối với bất đẳng thức P (x, y, z) ≥ 0 (≤ 0), Trong đó P (x, y, z) là đa thức hoặc
phân thức hữu tỉ và có tổng x + y + z không đổi, thì khi đó sử dụng các kĩ thuật
của bất đẳng thức AM − GM như dự đoán dấu bằng xảy ra, AM − GM ngược
dấu, đặt ẩn phụ, ... tỏ ra rất hiệu quả.
Bài toán 2.1. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng
minh rằng
a2
b2
c2
+
+
≥ 1.
b+2 c+2 a+2


c2
5
2
+
+
≥ (a + b + c) − = 1.
b+2 c+2 a+2
9
3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

9


Chương 4. Một số lớp bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Võ Quốc Bá Cẩn - Trần Quốc Anh, Sử dụng AM-GM để chứng minh bất
đẳng thức, NXBĐH Sư Phạm.
[2] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội.
[3] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Bất đẳng thức, định lý và áp dụng, NXBGD.
[4] Nguyễn Văn Mậu, Các bài toán nội suy và áp dụng,NXB GD .
[5] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB GD 2002.
[6] N.V. Mậu, T.N. Dũng, N.Đ. Phất, N.T. Thanh, Số phức và áp dụng, NXB
GD 2009.
[7] Trần Phương, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Vẻ đẹp bất đẳng thức
trong các kì thi Olympic toán học, NXBĐHQG Hà Nội.
[8] Cao Minh Quang,Một số dạng toán về bất đẳng thức ba biến với tích các