Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
I - PHẦN MỞ ĐẦU
1) Lý do chọn đề tài:
Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng. Các kiến
thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các
môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán
còn giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho
học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư
tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân.
Ở trường trung học cơ sở, trong dạy học Toán: cùng với việc hình thành
cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí; thì việc dạy học
giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung
tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh trung
học cơ sở, có thể coi việc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học
toán. Do đó việc hướng dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình giải
toán là rất cần thiết và không thể thiếu được.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường trung học cơ sở tôi
đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế dạy học tôi thấy: trong
chương trình Toán trung học cơ sở "Các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất" rất đa dạng, phong phú và thú vị, có một ý nghĩa rất quan trọng đối
với các em học sinh ở bậc học này nhất là các em trong đội tuyển. Ở trung học
cơ sở học sinh chưa có các công cụ giải toán cao cấp để giải các bài toán này.
Chính vì vậy, các bài toán cực trị đại số ở trung học cơ sở không theo quy tắc
hoặc khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ logic
sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ
thống.
2) Mục đích của đề tài:
1
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
Trên thực tế giảng dạy đội tuyển Toán 9 những năm qua tôi nhận thấy:
phần “ Các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất" là một trong những

đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến (x
0
, y
0
, z
0
)
∈
S mà ta có: P(x
0
,
y
0
, z
0
) ≥ P(x, y, , z) hoặc P(x
0
, y
0
, z
0
) ≤ P(x, y, , z) thì ta nói P(x, y, , z)
lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
) trên miền S.
P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x

0
, y
0
, z
0
) hoặc Pmin tại
(x
0
, y
0
, z
0
) .
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các cực trị của
P trên miền S.
1.2. Nguyên tắc chung tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một
biểu thức
Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là vấn đề rộng
và phức tạp, nguyên tắc chung là:
*) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác
định S, ta cần chứng minh hai bước:
3
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
- Chứng tỏ rằng P ≥ k (với k là hằng số) với mọi giá trị của các biến trên
miền xác định S
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
*) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định
S, ta cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ rằng P ≤ k (với k là hằng số) với mọi giá trị của các biến trên
miền xác định S

b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:
* a ≥ 0, tổng quát: a ≥ 0 (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0
* – a ≤ 0, tổng quát: – a ≤ 0 (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0
* ≥ 0 (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0)
* – ≤ a ≤ . (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0)
* + ≥ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ 0)
* – ≤ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a≥ b≥ 0 hoặc a ≤ b≤ 0)
* a + ≥ 2 ,∀a >0 và a + ≤ – 2 , ∀ a <0
* ≥ ≥ ab ; ∀a,b (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b)
* a ≥ b, ab >0
⇒
≤ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b)
2)Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Thực trạng khi nhận chuyên môn phân công dạy đội tuyển toán 9 ở những
tiết đầu tiên tôi cảm thấy cách học của đa số học sinh trong đội tuyển nắm kiến
thức rất thụ động mang nhiều tính sách vở.
5
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
Để Thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng nhiều hình thức
phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện tượng nổi bật học sinh trả lời rõ ràng mạch
lạc nhưng mang tính chất học vẹt chấp hành đúng nguyên bản, quá trình dạy để
kiểm tra việc thực hành ứng dụng của học sinh tôi đưa ra một số ví dụ thì học
sinh lúng túng không biết thực hiện như thế nào.
Qua việc khảo sát việc nắm bắt dạng toán “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức” trên đối tượng 15 học sinh khá giỏi lớp 9 đầu HK I năm
học 2011 - 2012
Số HS
điểm 9 - 10 điểm 7 - 8 điểm 5 - 6 điểm dưới 5

= x – 2.2x + 1
= (x – 2.2x + 4) – 3
= (x – 2) – 3
Với ∀x: (x – 2) ≥ 0 nên ta có:
A(x) = (x – 2) – 3 ≥ –3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng –3 khi x =2
Đáp số: A(x) nhỏ nhất = – 3 với x =2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B(x) = – 5x– 4x + 1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa
B(x) về dạng B(x)
≤
k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến khi đó giá trị lớn
nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức
7
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
Lời giải: B(x) = – 5x – 4x + 1
= –5(x + x) +1
= –5 [ x + 2. x + ()
2
– () ] + 1
= –5[(x + ) – ] + 1
= –5(x + ) + + 1
= –5(x + ) +
Với mọi giá trị của x: (x + ) ≥ 0 nên –5(x + ) ≤ 0
suy ra: B(x)= –5(x + ) + ≤
Vậy B(x)đạt giá trị lớn nhất khi B(x)= , khi x =
Đáp số: B(x) lớn nhất = với x = –

Trả lời: Ta có x+ x +1 = x + 2x. + – + 1
= (x+ ) + ≥
Vậy giá trị nhỏ nhất của x + x + 1 bằng với x = –
Trả lời: Giá trị nhỏ nhất của A bằng () = với x = –
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của :
x – 6x + 10x – 6x + 9
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: - Hãy viết biểu thức dưới dạng A(x) + B(x) ≥ 0
9
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
- Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức bằng bao nhiêu?
Lời giải: x – 6x + 10x – 6x + 9 = x – 2.x.3x + (3x) + x – 2x.3 +3
= (x – 3x) + (x –3) ≥ 0
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi:
x – 3x = 0 x = 0 x = 0
 x – 3 = 0  x = 3  x = 3
x – 3 = 0 x – 3 = 0 x = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
DẠNG 3: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT CỦA ĐA THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = +
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng ta phải nghỉ
tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối của một biểu thức.
A Nếu A ≥ 0
=
– A Nếu A ≤ 0
Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A trong các

≥ 0
 2 ≤ x ≤ 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5
11
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
DẠNG 4: BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN THỨC CÓ
TỬ LÀ HẰNG SỐ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của M =
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Sử dụng tính chất a ≥ b, ab >0
⇒
≤ hoặc theo quy tắc so sánh hai
phân số cùng tử, tử và mẫu đều dương.
Lời giải:
Xét M = = =
Ta thấy (2x – 1) ≥ 0 nên (2x – 1) + 4 ≥ 4
Do đó: ≤
Trả lời: Vậy M lớn nhất bằng khi 2x – 1 = 0 => x =
Đáp số: M lớn nhất = với x =
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
Hướng dẫn giải:
Ta có: B = = – = –
Vì (x – 1) ≥ 0 => (x + 1) + 3 ≥ 3
=> ≤ => – ≥ –
Vậy B nhỏ nhất bằng – khi x – 1 = 0 => x =1
Đáp số: M nhỏ nhất = – với x = 1
Chú ý: Khi gặp dạng bài tập này các em thường mắc sai lầm lập luận
rằng M (hoặc B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất (nhỏ nhất) khi mẫu
nhỏ nhất (lớn nhất)
Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức

13
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
Gợi ý: Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với một biểu thức
không âm. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải:
A = = =
A =
A = +
A = + [] ≥
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi x – 1=0 ⇒ x =1
Đáp số: A nhỏ nhất = khi x =1
DẠNG 6: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA
MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ DẠNG ≥ 0 (HOẶC
≤ 0)
Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M(x) = (Với x ∈ R)
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Từ M(x) = ta có:
M(x) = =
(?) Ta có thể chia cả tử thức và mẫu thức của biểu thức cho x + 2x + 3
được không? Vì sao?
Trả lời: Vì x + 2x + 3 = x + 2x + 1 + 2 = (x+1) > 0 với mọi giá trị của
x. nên sau khi chia cả tử và mẫu cho x + 2x + 3 ta được M(x) = 3 +
(?) Bài toán xuất hiện điều gì mới?
Trả lời: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
(?) Hãy tìm giá trị lớn nhất của từ đó suy ra giá trị lớn nhất của M(x)
Trả lời: Vì (x+1) ≥ 0 Với ∀ x
14
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
Nên (x+1) + 2 ≥ 2 với ∀ x
Do đó ≤

giải và những chú ý cần thiết để khi gặp các ví dụ khác các em có thể giải được.
Các dạng bài tập đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm
giúp cho học sinh có những kiến thức cơ bản về giải bài toán cực trị trong đại số
thcs. Bên cạnh đó tôi còn đưa ra các ví dụ là các bài toán tổng hợp các kiến thức
và kĩ năng tính toán, khả năng tư duy ở cấp học này, qua đó làm cho các em say
mê hứng thú học tập bộ môn Toán.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy vẫn còn một số học sinh bỡ ngỡ trong
quá trình giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, lập luận chưa
có căn cứ, suy diễn chưa hợp logic dẫn tới lời giải còn sai.
2) Đề xuất,đề nghị: Không
Mặc dù có rất nhiều cố gắng nhưng do thời gian không nhiều, do trình độ
năng lực của bản thân và tài liệu tham khảo còn hạn chế nên trong cách trình bày
không tránh khỏi những sơ xuất thiếu sót . Rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp
ý của các thầy, cô và bạn đồng nghiệp để tôi có thể rút kinh nghiệm trong quá
trình giảng dạy của mình trong thời gian sau.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
HIỆU TRƯỞNG
Cẩm Thủy, ngày 26 tháng 03 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác
( Ký và ghi rõ họ tên)
16
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
…… Bùi Tiến Dũng
PHỤ LỤC
1 - Kinh nghiệm dạy và học toán (Vũ Hữu Bình)
2 - Phương pháp giảng dạy môn Toán (Nguyễn Hữu Thảo)
3 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 1, tập 2 (Bộ giáo dục)

20
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:


22
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA
HĐKH SỞ GD & ĐT TỈNH THANH HÓA