1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ĐINH THỊ MỸ HẠNH

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN
VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2012

v Trang
Lời cảm ơn
i
Danh mục viết tắt
ii
Danh mục các bảng

14
1.3.2.Các thành phần của tư duy sáng tạo
15
1.4. Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua môn Toán
17
1.4.1.Một số biểu hiện sự sáng tạo của học sinh trong học Toán
17
1.4.2.Phương hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua môn Toán
18
1.5. -
21
1.5.1. -
21
1.5.2. -
21
1.5.3. -
inh

24
1
26
Chương
SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA
– GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 27
2.1.
27


74

75
3.1.
75
3.1.1.
75
3.1.2.
75

75

75
3.3.1.
75
3.3.2.
76
3.4.
88
3.4.1.
88
3.4.2.
88
3.4.3.
89
3
96

97


-
.
-
.
4.
.
5.
- .
6.
-
.
-
.
- .
7.
.
8.
:
.
Chương 2.
.
Chương .
3
CHƯƠNG 1
CỞ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tư duy
1.1.1. Tư duy là gì?

Có khả năng phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán.
Có khả năng áp dụng kiến thức để giải tốt các bài toán thực tế: định
hướng nhanh, biết phân tích suy đoán và vận dụng các thao tác tư duy để tìm
cách tối ưu và tổ chức thực hiện có hiệu quả.
1.2. Sáng tạo
1.2.1. Sáng tạo là gì?
Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới không bị phụ
thuộc vào cái đã có
Dưới góc độ như một phạm trù triết học, sáng tạo được hiểu là quá
trình hoạt động của con người tạo ra những giá trị vật chất, tinh thần mới về
chất.
Theo Bách khoa toàn thư thì sáng tạo là hoạt động của con người trên
cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên,
xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người. Sáng tạo là hoạt động
có tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất.
Tổng hợp các quan niệm trên ta có thể hiểu sáng tạo một cách đơn giản
nhất chính là quá trình tìm ra cái mới độc đáo và có ích.
1.2.2. o
Quá trình sáng tạo trải qua bốn giai đoạn:
Giai đoạn thứ nhất: là giai đoạn chuẩn bị cho công việc ý thức, nghĩa là
hình thành vấn đề đang giải quyết và giải quyết bằng các cách nhau.
Giai đoạn thứ hai: giai đoạn ấp ủ được bắt đầu khi công việc có ý thức
ngừng lại. Công việc tiếp diễn là các hoạt động của tiềm thức.
Giai đoạn thứ ba: giai đoạn bừng sáng trực giác. Đây là giai đoạn nhảy vọt
về chất trong tiến trình nhận thức để quyết định cho quá trình tìm kiếm lời giải.
Giai đoạn thứ tư: đây là giai đoạn kiểm chứng. Ở giai đoạn này cần phải
triển khai lập luận, chứng minh logic và kiểm tra lời giải nhận được từ trực giác.
1.2.3. Các cấp độ của sáng tạo
Sáng tạo là hoạt động đa dạng và phong phú của con người, có thể phân
chia sáng tạo thành hai cấp độ:

có cách giải hiệu quả nhất).
- Độc lập suy ra các công thức.
- Chứng minh các định lý, hoặc tự tìm là các phương pháp giải các bài
toán không mẫu mực.

6
- Cao hơn học sinh có thể tự ra lấy đề toán. Quá trình đề xuất bài toán
mới chính là quá trình phát hiện vấn đề mới, các phẩm chất của tư duy sáng
tạo nảy sinh từ đây và nhờ đó được phát triển tôi rèn.
1.4.2. Phương hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua môn toán
Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc kết hợp các hoạt
động trí tuệ khác.
Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc rèn luyện khả
năng phát hiện vấn đề khơi dậy ý tưởng mới.
Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài cần tiến
hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học.
Chú trọng bồi dưỡng tư duy sáng tạo qua việc rèn luyện từng yếu tố cụ
thể bằng việc xây dựng và dạy học hệ thống bài tập.
Các biện pháp cụ thể như:
- Tập cho học sinh thói quen dự đoán, mò mẫn, phân tích, tổng hợp từ
trực quan hình tượng cụ thể.
- Tập cho học sinh biết nhìn tình huống đặt ra dưới nhiều góc độ khác
nhau.
- Tập cho học sinh biết giải quyết vấn đề bằng nhiều phương pháp khác
nhau và lựa chọn cách giải quyết tối ưu nhất.
- Tập cho học sinh vận dụng các thao tác khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự.
- Tập cho học sinh biết cách hệ thống hoá kiến thức và phương pháp.
- Tập cho học sinh biết cách vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
- Quan tâm tới sai lầm của học sinh tìm ra nguyên nhân và cách khác phục.
- Tôn trọng tính sáng tạo của học sinh, luôn khuyến khích động viên kịp


8
.
cao .
GTLN - GTNN
.
.

.
Nguyên nhân
- GTLN - GTNN
.
-
:
-
,
.
GTLN - GTNN
.
1.5.3. GTLN - GTNN

G
:

9
.
.
.
GTLN - GTNN đ
sinh GTLN - GTNN

m f x
fx
trên D
D
m minf x

GTLN - GTNN
.
GTLN - GTNN
a,b
GTLN - GTNN
a,b
.

10
:
sinx
,x 0,1
fx
x
2,x 0

x0
sinx x
, suy ra
sinx
1
x
x 0,1 f x 2, x 0,1
f 0 2

-
'
fx
y f x
.
-
GTLN - GTNN.
- .
-
.
GTLN - GTNN .

11
Ví dụ 1. Tìm GTNN của hàm số
22
x (a 1)x a
fx
x

2
0 x a a 1
(a > 0)
2.2.2.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
a,b
khi x biến thiên trên
a,b
thì y
tương ứng biến thiên trên
c,d

có nghiệm thuộc
a,b
từ đo suy ra được
bất đẳng thức: Nếu
0
c y d
thì c là GTNN và d là GTLN.
Đặc biệt nếu hàm số
y f x
xác định với mọi x thì bắt phương trình
0
f x y
có nghiệm suy ra. Nếu
0
c y d
thì c là GTNN và d là GTLN.
Ví dụ 2. Tìm GTNN và GTLN của hàm số
2 cosx
y
sinx cosx 3

2.2.3.
- (
x sint,x cost,x tant
-
.
- -
:
-
2 2 2

với bài toán tìm GTLN
- Sau đó chỉ ra một phần tử
0
xD
sao cho
0
fx

4. Tìm GTLN của hàm số
26
y sin xcos x

Cần lưu ý rằng trong hai bước trên không được xem nhẹ bước nào.
Tùy dạng của bài toán cụ thể mà ta sẽ lựa chọn một phương pháp chứng
minh bất đẳng thức thích hợp cũng như cách chỉ ra phần tử x
0
D ở bước
hai của thuật toán.
Kết luận: Một bài toán tìm GTLN - GTNN có thể có nhiều cách giải,
nhiều phương pháp giải. trong mỗi phương pháp lại có khả năng rèn luyện
cho học sinh nhiều cách suy nghĩ tìm tòi và định hướng cũng như nhiều loại
hình tư duy, thao tác tư duy nổi bật là tư duy suy nghĩ. Chính vì vậy đây chính
là mảnh đát tốt để có cơ hội phát triển tư duy suy nghĩ cho học sinh
2.3. Các biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua
dạy học các bài toán về GTLN - GTNN

13
2.3.1. Phương hướng chung
- Tập cho học sinh thói quen mò mẫm, dự đoán, phân tích tổng hợp.
- Tập cho học sinh biết nhìn tình hưống đặt ra với nhiều góc độ khác


Do vậy
1 1 x y
P 2 (x ) (y ) ( ) 8
x y y x

Dấu bằng xảy ra khi
x y 1
. Vậy min
P8

nhưng
22
x y 1 thì x y 2
(không thỏa mãn điều kiện
22
x y 1
).
Vậy sai lầm của lời giải ở đâu?
Phân tích: Nếu phụ thuộc vào cách giải đã có thực hiện một cách máy
móc thì giải bài toán nhiều khi vấp phải sai lầm. Ta đều thấy ngay không thể
xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức P 8 (Phần 2 của định nghĩa về
luận min P = 8 là sai 14
Cách giải đúng như sau:
1 x 1 y
P 1 x 1 y
y y x x

xy
2
(do
22
x y 1
) (6)
Từ (1), (2), (3), (4) và (6) suy ra
P 3 2 4
(7)
Dấu "=" trong (7) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (2), (3), (4), và (6)

2
x y
2

Như vậy tồn tại (x
0,
y
0
) thảo mãn
22
00
x y 1

Vậy min
P=3 2 4
khi
2
xy
2

3
khi
x 0
.
Cách 2. Cũng từ phương diện sử dụng bất đẳng thức cổ điển nhưng
thông qua một số phép biến đổi khác
Ta có
xx
x 1 x 1 x x x x
xx
3 3 1 1
y 3 3 3y 3 3 3 x ,3 >0, 0
3 3 3 3

p dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
xx
xx
1 1 2
3y 3 2 3 . 2 y
3 3 3

dấu "=" xảy ra khi
x
x
1
3 x 0
3

Vậy
R

y
3

do
2
y 0 y
3

Dấu "=" xảy ra khi
x0

Vậy
R
2
miny
3
khi
x0
.
Cách 4. Nhìn bài toán dưới phương diện đạo hàm
Ta có

x 1 x 1 x x
1
y 3 3 3 3
316
Xét hàm số

miny
3
khi
x0
.
Việc rèn luyện tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo sẽ giúp học sinh
tìm được nhiều phương án cho một bài toán và từ đó sẽ tìm được phương án
tốt nhất.
* Rèn luyện tính độc đáo của tư duy sáng tạo
3. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
. Tìm GTLN của
biểu thức
1 1 1
A
2x y z x 2y z x y 2z

Lời giải. Nhận xét:
11
2x y z (x y) (x z)
có liên hệ gì với
11
x y x z

Chúng ta đã có bất đẳng thức quen thuộc
1 1 4
a b a b


a b a b
mà tưởng như chúng không hề có mối liên hệ với
nhau. Hướng giải trên thể hiện một phần tính độc lập của tư duy suy nghĩ.
* Rèn luyện tính nhạy cảm của tư duy sáng tạo
Ví dụ 4. Cho
x,y 0
thỏa mãn
1
x1
y

Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
xy
P 32 1999
yx
.
. Từ
x,y 0
, ta có
xy
2
yxx,y 0
và
1
x1
y
, ta có

4
x
, dấu "=" xảy ra khi
y 4x
.
Mặc khác, khi
xy
thì giả thiết
1
x1
y
trở thành
1
x1
x
(vô lý).
nghĩa là với giả thiết đã cho không xảy ra khả năng
xy
.
Lời giải đúng như sau:
Ta có:

2
1 x y
1 x 4. 4
y y x18
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

2.3.2.3. Khuyến khích học sinh tiếp cận bài toán bằng nhiều hướng khác nhau
từ đó tìm được nhiều lời giải cho một bài toán
1. Tìm GTLN - GTNN của biểu thức
2
2
2(x 6xy)
P
1 2xy 2y

với x, y là các số thực sao cho
22
x y 1
.
.
Cách 1. Khi giải bài toán tìm GTLN - GTNN ta thường nghĩ ngay đến
phương pháp sử dụng đạo hàm. Từ phương diện đó ta có cách giải 1
Do
22
x y 1
nên
2
22
2(x 6xy)
P
x 2xy 3y

i) Nếu
y0
thì
2

22
22
8t 12t 36 2t 3t 9
f t 4
t 2t 3 t 2t 3

'
3
f t) 0 t 3 và t
2

: Từ bảng biến thiên suy ra
maxP 3
,
22
min P 6 khi x y 1

Qua ví dụ ta thấy: Nhờ việc chuyển hướng quá trình tư duy và nhìn
nhận đối tượng dưới nhiều khía cạnh mà học sinh có thể tìm ra nhiều hướng
giải quyết bài toán từ đó có được nhìu cách giải bài toán và nhờ đó việc tìm ra
được được cách giải tối ưu.


'
f (x)-
0
+
0
-

f(x) 3
2 2
C
c sin
2
thì bài toán mới là:
Cho A, B, C là 3 góc của ∆ABC
0
A B C 180

Tìm Giá trị nhỏ nhất của:
1 1 1
P= 1 1 1
A B C
sin sin sin
2 2 2

2.3.2.5.
Chúng tôi đưa ra một hệ thống các bài tập rèn luyện theo các hướng đã nêu ở
trên
Như vậy trong chương 2: Tác giả đưa ra các ví dụ cụ thể về các bài toán
tìm GTLN-GTNN, nhưng cái mà tác giả hướng tới chính là thông qua các ví
dụ đó học sinh nắm được phương pháp, cách làm và có khả năng tự ứng dụng
giải nhiều bài toán khác một cách độc lập, thậm chí hình thành kĩ năng tự học,
tự tìm hiểu và đưa ra đề toán mới
Luận văn cũng đã đưa ra được một số các biện pháp phát triển tư duy
sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông góp phần mang lại hiệu quả tích cực
trong đổi mới phương pháp dạy học ở nhà trường phổ thông.

CHƯƠNG 3

3.1.

và đưa vào giảng dạy ở
các lớp thực nghiệm

22
i , cho các
à đ ác .
-
- GTNN.
3.4.
3.4.1.
-
.
-
.
-
.
-
ứ
.
3.4.2.
-
.
-
-
.
-
.
3.4.3.
-
: