thái thuần quang
Bài giảng
ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Mục lục
Chương 1. Độ đo 1
1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 σ-đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 σ-đại số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Hàm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Định lý thác triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Độ đo trên R
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Độ đo trên đường thẳng R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Độ đo trên không gian R
k
, (k > 1) . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Các định nghĩa và phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Cấu trúc của hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.3 Tập có độ đo không và tính chất “hầu khắp nơi” . . . . . . . 26
1.5.4 Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chương 2. Tích phân Lebesgue 33

Một lớp các tập con của X gọi là kín đối với phép toán (nào đó) nếu kết quả
thực hiện phép toán đó trên các tập hợp của lớp đó bao giờ cũng thuộc về lớp đó.
1.1.1 Đại số
Một đại số (hay trường) là một lớp chứa X, ∅ và kín đối với mọi phép toán hữu
hạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn, phép hiệu, hiệu đối xứng).
Định lý 1.1.1.1. Một lớp C là một đại số và chỉ khi C = ∅ và thỏa mãn hai điều
kiện
a) A, B ∈ C =⇒ A ∪B ∈ C,
b) A ∈ C =⇒ A
c
= X \A ∈ C.
1.1. Đại số tập hợp 2
Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh điều kiện đủ.
Với A, B ∈ C, theo b) ta có A
c
, B
c
∈ C. Khi đó theo a) A
c
∪ B
c
∈ C và theo b)
A ∩B = (A
c
∪B
c
)
c
∈ C. Bằng quy nạp ta chứng minh được C đóng kín đối với phép
giao hữu hạn.

Định lý 1.1.2.1. Một lớp C là một σ-đại số và chỉ khi C = ∅ và thỏa mãn hai điều
kiện
a) A
i
∈ C (i ∈ N) =⇒

∞
i=1
A
i
∈ C,
b) A ∈ C =⇒ A
c
∈ C.
Chứng minh. Giả sử C = ∅ thỏa mãn a) và b). Khi đó tồn tại A ∈ C nên A
c
∈ C.
Xét A
1
= A
c
, A
i
= A (i ≥ 2). Khi đó X =
∞

i=1
A
i
∈ C. Do đó ∅ = X \ X ∈ C.

là σ-đại số Borel của không gian X. Mỗi phần tử của σ-đại số này gọi là tập hợp
Borel. Như vậy tập hợp Borel là những tập thu được bằng cách xuất phát từ những
tập mở và thực hiện một số hữu hạn hay đếm được những phép toán về tập hợp
trên các tập đó.
Tập H trong không gian metric X được gọi là tập dạng F
σ
nếu H là hợp của
một số đếm được các tập đóng.
Tập G trong không gian metric X được gọi là tập dạng G
δ
nếu G là giao của
một số đếm được các tập mở.
Các tập dạng F
σ
, G
δ
đều là các tập Borel. Tập các số hữu tỷ trên đường thẳng
là tập dạng F
σ
. Tập các số vô tỷ là tập dạng G
δ
.
Định lý 1.1.3.1. Một σ-đại số Borel trong một không gian metric X cũng là một
σ-đại số nhỏ nhất bao hàm các tập đóng.
Chứng minh. Gọi M, N tương ứng là lớp các tập mở và lớp các tập đóng trong X.
Mỗi tập đóng là tập Borel nên N ⊂ F(M), do đó F(N) ⊂ F(M). Ngược lại, mỗi
tập mở là phần bù của một tập đóng nên M ⊂ F(N), do đó F(M) ⊂ F(N). Vậy
F(M) = F(N). 
Vì mỗi một tập mở trên đường thẳng là hợp không quá đếm được những khoảng
mở nên một σ-đại số trên R là σ-đại số nhỏ nhất chứa lớp các khoảng mở.

f(A
i
).
Hàm tập f được gọi là σ-cộng tính nếu
{A
i
}
i∈N
⊂ M, A
i
∩ A
j
= ∅ (i = j),
∞

i=1
A
i
∈ M =⇒ f

∞

i=1
A
i

=
∞

i=1

2) Cho X là tập đếm được và µ : P(X) → R cho bởi
µA =

n nếu A có n phần tử
+∞ nếu A có vô hạn phần tử
thì µ là một độ đo. Ta gọi độ đo này là độ đo đếm.
3) Cho X là tập hợp khác rỗng. Cố định a ∈ X và định nghĩa δ
a
: P(X) →
[0, +∞] bởi δ
a
(A) = 1 nếu a ∈ A và δ
a
(A) = 0 nếu a /∈ A. Khi đó δ
a
là một độ đo
và gọi là độ đo Dirac tại điểm a ∈ X.
Định lý 1.2.2.2. Nếu µ là một độ đo trên đại số C thì
a) A, B ∈ C, A ⊂ B =⇒ µA ≤ µB.
Nếu thêm điều kiện µA < +∞ thì µ(B \ A) = µB − µA.
b) {A
i
}
i∈N
⊂ C, A ∈ C, A ⊂
∞

i=1
A
i

1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 5
Nếu µA < +∞ thì ta có thể chuyển vế trong đẳng thức trên và thu được
µ(B \ A) = µB − µA.
b) Vì A ⊂
∞

i=1
A
i
nên A = A∩

∞

i=1
A
i

=
∞

i=1
(A∩A
i
), A =
∞

i=1
B
i
với B


i
∈ C và đôi một rời nhau thỏa mãn
∞

i=1
B
i
=
∞

i=1
B

i
.
Như vậy A =
∞

i=1
B

i
nên µA =
∞

i=1
µB

i

⊂ A với mọi n ∈ N. Vì A,
n

i=1
A
i
∈ C nên µ

n

i=1
A
i

≤
µA với mọi n ∈ N. Cho n → ∞ ta được µ

∞

i=1
A
i

≤ µA. 
Hệ quả 1.2.2.3. Nếu độ đo µ là σ-hữu hạn thì mọi A ∈ C đều có thể phân tích
thành hợp của một số đếm được tập hợp có độ đo hữu hạn.
Thật vậy, vì µ là σ-hữu hạn nên
X =
∞


= 0,
∞

i=1
A
i
∈ C =⇒ µ

∞

i=1
A
i

= 0.
b) A ∈ C, µB = 0 =⇒ µ(A ∪B) = µ(A \B) = µA.
Chứng minh. a) Đặt A =
∞

i=1
A
i
. Khi đó 0 ≤ µA ≤
∞

i=1
µA
i
= 0. Vậy µA = 0.
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 6

.
b) A
i
∈ C, A
1
⊃ A
2
⊃ . . . , µA
1
< +∞,
∞

i=1
A
i
∈ C =⇒ µ

∞

i=1
A
i

= lim
i→∞
µA
i
.
Chứng minh. a) Đặt
B

. Từ đó
µ

∞

i=1
A
i

=
∞

i=1
µB
i
= lim
n→∞
n

i=1
µB
i
= lim
n→∞
µ

n

i=1
B

\ A
i
∈ C ta được
µ

∞

i=1
A

i

= lim
i→∞
µA

i
.
Do µA
1
< +∞ nên µA
i
< +∞ và µ


∞
i=1
A
i



= lim
i→∞
µA

i
= µA
1
− lim
i→∞
µA
i
.
Như vậy µ

∞

i=1
A
i

= lim
i→∞
µA
i
. 
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 7
Định lý 1.2.2.6. (Đảo của định lý 1.2.2.5) Cho µ là một hàm tập không âm,
cộng tính trên đại số C sao cho µ(∅) = 0. Khi đó µ sẽ là một độ đo nếu một trong
hai điều kiện sau thỏa mãn:

2
⊃ . . . ,
∞

i=1
A
i
= ∅ =⇒ lim
i→∞
µA
i
= 0.
Chứng minh. Chỉ cần chứng tỏ µ là σ-cộng tính.
a) Giả sử B =
∞

i=1
B
i
, B
i
, B ∈ C và các B
i
đôi một rời nhau. Đặt
A
1
= B
1
, A
2

=
n

i=1
µB
i
. Vậy
µB = lim
n→∞
n

i=1
µB
i
=
∞

n=1
µB
n
.
b) Giả sử µB
i
< +∞ với mọi i (vì nếu có một µB
i
= +∞ thì đẳng thức cần chứng
minh hiển nhiên đúng). Với các ký hiệu như trên ta có
∅ = B \
∞


n
= 0.
Nhưng do A
n
⊂ B và µA
n
=
n

i=1
µB
i
< +∞ nên ta có µ(B \ A
n
) = µB − µA
n
. Từ
đó
µB = lim
n→∞
µA
n
= lim
n→∞
n

i=1
µB
i
=

∞

i=1
µ
∗
A
i
.
Từ c) suy ra
c’) Nếu A ⊂ B thì µ
∗
A ≤ µ
∗
B.
Định lý 1.3.1.2. (Carathéodory) Cho µ
∗
là độ đo ngoài trên X và L là lớp tất
cả các tập con A của X sao cho
µ
∗
E = µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A) với mọi E ⊂ X. (1.1)
Khi đó L là một σ-đại số và hàm tập µ = µ
∗


L

Vì với mọi A ∈ L ta có (1.1) nên suy ra
µ
∗
E = µ
∗
(E \ A
c
) + µ
∗
(E ∩ A
c
).
Vậy L kín đối với phép toán lấy phần bù.
Ta kiểm tra L kín đối với phép hợp hữu hạn.
1.3. Thác triển độ đo 9
Xét A, B ∈ L. Với E ⊂ X ta có
µ
∗
E = µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A)
µ
∗
(E ∩ A) = µ
∗
(E ∩ A ∩ B) + µ
∗
((E ∩ A) \B) (do B ∈ L)

• Bước 2. Hàm tập µ = µ
∗


L
là cộng tính.
Giả sử A, B ∈ L và A ∩ B = ∅. Với mọi E ⊂ X và G = E ∩ (A ∪ B) ta có
µ
∗
G = µ
∗
(G ∩ A) + µ
∗
(G \ A).
Mặt khác, G ∩ A = E ∩ A và G \A = E ∩B nên
µ
∗
G = µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E ∩ B). (1.3)
Chọn E = X ta sẽ được µ(A ∪ B) = µA + µB.
• Bước 3. L là một σ-đại số và µ là σ-cộng tính.
Xét {A
i
}
i∈N
đôi một rời nhau. Ta chứng minh
∞

∪ A
2
)) = µ
∗
(E ∩ A
1
) + µ
∗
(E ∩ A
2
).
Bằng quy nạp ta suy ra với mọi n
µ
∗

E ∩

n

i=1
A
i

=
n

i=1
µ
∗
(E ∩ A

∗

E \
n

i=1
A
i

=
n

i=1
µ
∗
(E ∩ A
i
) + µ
∗

E \
n

i=1
A
i

≥
n


∗
(E \ A)
(vì E ∩ A =
∞

i=1
(E ∩ A
i
) nên µ
∗
(E ∩ A) ≤
∞

i=1
µ
∗
(E ∩ A
i
).)
Vậy A ∈ L. Chọn E = A ta có
µ
∗
A ≥
∞

i=1
µ
∗
A
i


n
= A
n
\
n−1

i=1
A
i
,
ta sẽ có các A

i
∈ L đôi một rời nhau và
∞

n=1
A

n
=
∞

n=1
A
n
.
Theo trên
∞

⊂ C,
∞

i=1
A
i
⊃ A

(1.5)
thì µ
∗
là một độ đo ngoài trên X và µ
∗
A = mA với mọi A ∈ C, đồng thời mọi tập
thuộc σ-đại số F(C) đều µ
∗
-đo được.
Chứng minh. Dễ thấy µ
∗
∅ = 0 và nếu A ⊂ B thì mỗi phủ của B bởi một họ đếm
được các phần tử của C cũng là một phủ của A nên µ
∗
A ≤ µ
∗
B.
Giả sử {A
n
}
n∈N
⊂ P(X), ta chứng minh

i=1
P
n
i
⊃ A
n
sao
cho
∞

i=1
mP
n
i
≤ µ
∗
A
n
+
ε
2
n
.
Khi đó
∞

n=1
∞

i=1

∞

n=1
µ
∗
A
n
+
∞

n=1
ε
2
n
hay
µ
∗

∞

n=1
A
n

≤
∞

n=1
µ
∗

}
i∈N
⊂ C và
∞

i=1
P
i
⊃ A thì mA ≤
∞

i=1
mP
i
nên mA ≤ µ
∗
A.
Hơn nữa ta có A = A ∪ ∅ ∪ ∅ . . . nên µ
∗
A ≤ mA + m∅ + m∅ + . . . , tức là
µ
∗
A ≤ mA. Vậy µ
∗
A = mA.
1.3. Thác triển độ đo 12
Để chứng minh F(C) ⊂ L ta chỉ cần chứng minh C ⊂ L.
Xét A ∈ C. Với ε > 0 và E ⊂ X tồn tại {P
i
}

∩ A

+ µ
∗

∞

i=1
P
i

\ A

≤
∞

i=1
µ
∗
(P
i
∩ A) +
∞

i=1
µ
∗
(P
i
\ A) ≤

i
\ A).
Như vậy
µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A) ≤
∞

i=1

m(P
i
∩ A) + m(P
i
\ A)

≤
∞

i=1
mP
i
≤ µ
∗
E + ε.
Do ε tùy ý nên µ
∗
(E ∩ A) + µ

∗
(E \ A) ≤ µ
∗
(E \ A) ≤ µ
∗
E.
Theo (1.1

) ta suy ra A ∈ L.
Từ các kết quả trên ta suy ra định lý sau.
1.3. Thác triển độ đo 13
Định lý 1.3.2.4. độ đo m trên một đại số C. Khi đó tồn tại độ đo µ trên σ-đại số
L ⊃ F(C) ⊃ C sao cho
1) µA = mA với mọi A ∈ C, trong đó µ là mở rộng của m;
2) µ là hữu hạn (σ-hữu hạn) nếu m hữu hạn (σ-hữu hạn);
3) µ là đọ đo đủ;
4) Giả sử µ là σ-hữu hạn. Khi đó A ∈ L khi và chỉ khi
A = B \ N hay A = B ∪N (1.6)
trong đó B ∈ F(C), µ
∗
N = µN = 0 với µ
∗
là độ đo ngoài xác định từ m theo công
thức (1.5).
Chứng minh. Ta lấy µ là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ
∗
xác định từ m theo
công thức (1.5) và L là σ-đại số các tập µ
∗
-đo được. Theo định lý 1.3.2.1 thì µ là

k
=
∞

i=1
P
k
i
và B =
∞

k=1
B
k
thì B ∈ F(C), B ⊃ A và
µB ≤ µB
k
≤
∞

i=1
mP
k
i
≤ µA +
1
k
, ∀k ∈ N.
Như vậy µB ≤ µA. Nhưng A ⊂ B nên µA = µB.
Đặt N = B \ A. Khi đó µN = 0 và A = B \ N.


n=1
(D
n
\A).
Ta có
µN ≤
∞

n=1
µ(D
n
\ A) ≤
∞

n=1
µ
∗
(D
n
\ A
n
) = 0.
1.4. Độ đo trên R
k
14
Vậy A = D \N với D ∈ F(C) và µN = 0.
Bây giờ, nếu A ∈ L thì X \ A ∈ L nên
X \A = B


1.4. Độ đo trên R
k
Dựa vào định lý thác triển độ đo, trong phần này ta sẽ xây dựng độ đo Lebesgue
trên không gian Euclide k-chiều.
1.4.1 Độ đo trên đường thẳng R
Ta gọi một gian trên đường thẳng R là một tập hợp có một trong các dạng sau:
(a, b), [a, b], (a, b], [a, b), (−∞, +∞), (−∞, a), (−∞, a], (a, +∞), [a, +∞).
Như vậy giao của hai gian cũng là một gian, phần bù của một gian cũng là một gian
hoặc là hợp của hai gian rời nhau.
Gọi C là tập hợp tất cả các tập con của R có thể biểu diễn thành hợp của một
số hữu hạn các gian đôi một rời nhau:
C =

P ⊂ R : P =
n

i=1
∆
i
, ∆
i
là gian, ∆
i
∩ ∆
j
= ∅, với i = j

.
Bổ đề 1.4.1.1. C là một đại số.
Chứng minh bổ đề này xem như bài tập.


i=1
∆
i
thì
|∆| ≤
k

i=1
|∆
i
|.
b) Nếu ∆ ⊃

k
i=1
∆
i
với ∆
i
∩ ∆
j
= ∅ khi i = j thì
|∆| ≥
k

i=1
|∆
i
|.

⊂ ∆ nên
n

i=1
|∆
i
| ≤ |∆| do đó
∞

n=1
|∆
n
| ≤ |∆|.
Ta cần chứng minh
∞

n=1
|∆
n
| ≥ |∆|.
Nếu có một gian ∆
k
mà |∆
k
| = +∞ thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên
đúng. Do đó ta xét trường hợp |∆
k
| < +∞ với mọi k.
Ta xét hai khả năng:
i) |∆| < +∞. Với ε > 0 ta chọn gian đóng ∆


. Như vậy
|∆

| ≤
p

i=1
|∆
k
i
| ≤
∞

k=1
|∆
k
|,
1.4. Độ đo trên R
k
16
do đó
|∆| < |∆

| +
ε
2
≤
∞


k
|
nên
n
o
< |∆

| <
∞

k=1
|∆

k
| + ε.
Do n
o
tùy ý và ε tùy ý nên
∞

k=1
|∆

k
| = +∞ = |∆|.
Bây giờ ta chứng minh tính σ-cộng tính của m.
Giả sử P =
∞

i=1

i=1
P
i

=
∞

i=1
(P
i
∩ ∆
k
) =
∞

i=1
r
i

j=1
(∆
k
∩ ∆
ij
).
Như vậy
|∆
k
| =
∞


k=1
∞

i=1
r
i

j=1
|∆
k
∩ ∆
ij
|
=
∞

i=1
r
i

j=1
n

k=1
|∆
k
∩ ∆
ij
| =

i=1
mP
i
:
∞

i=1
P
i
⊃ A, P
i
∈ C

. (1.7)
Định nghĩa này có thể thay bằng
µ
∗
A = inf

∞

k=1
|∆
k
| :
∞

k=1
∆
k

k
với ∆
k
là một gian. Với ε > 0 bất kỳ ta chọn khoảng mở
∆

k
sao cho ∆

k
⊃ ∆
k
và |∆

k
| < |∆
k
| +
ε
2
k
. Ta có
∞

i=1
∆

k
⊃ A và
∞

∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A) với mọi E ⊂ X.
Lúc đó µA = µ
∗
A.
• Độ đo Lebesgue trên R là σ-hữu hạn và R =

∞
n=1
[−n, n]. Hiển nhiên nó là độ đo
đủ.
• Có thể thấy rằng σ-đại số F(C) ở đây chính là σ-đại số Borel trên R vì nếu gọi B
là σ-đại số Borel trên R thì F(C) ⊃ B (vì F(C) cũng chứa lớp các khoảng mở).Mặt
khác, vì B ⊃ C nên B ⊃ F(C). Vậy mọi tập Borel trên R đều đo được.
Tóm lại, độ đo Lebesgue là độ đo đủ, σ-hữu hạn và bất kỳ một tập đo được nào
cũng là một tập Borel thêm hay bớt đi một tập có độ đo không.
Kết quả sau là một đặc trưng của một tập có độ đo không trên R. Đây là hệ quả
của (1.8).
1.4. Độ đo trên R
k
18
Định lý 1.4.1.4. Một tập N có độ đo 0 khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 có thể tìm
được một hệ (hữu hạn hay đếm được) khoảng mở {∆
k
}
k
phủ N và có tổng độ dài
bé hơn ε :

3) Với mỗi ε > 0 tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ
∗
(A \ F) < ε.
Chứng minh. 1) ⇒ 2). Ta xét hai trường hợp.
a) µA < +∞.
Với mỗi ε > 0 tồn tại hệ khoảng mở {∆
k
}
k∈N
phủ A sao cho
∞

k=1
|∆
k
| < µA + ε.
Đặt G =
∞

k=1
∆
k
thì G ⊃ A,G mở và
µG ≤
∞

k=1
|∆
k
| < µA + ε.

n=1
G
n
là tập mở chứa A và
µ(G \ A) ≤
∞

n=1
µ(G
n
\ A
n
) ≤
∞

n=1
ε
2
n+1
=
ε
2
< ε.
2) ⇒ 1). Với mỗi n ∈ N có tập mở G
n
⊃ A và µ
∗
(G
n
\ A) <

(G \ A
c
) < ε. Khi đó tập F = G
c
⊂ A và
µ
∗
(A \ F) = µ
∗
(G \ A
c
) < ε. 
1.4.2 Độ đo trên không gian R
k
, (k > 1)
Những kết quả ở phần trên có thể mở rộng cho không gian R
k
, k > 1.
Trong R
k
ta gọi gian là một tập bằng tích Descartes của k gian trong R, tức là
tập hợp các điểm x = (ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
k
) trong đó ξ
i
chạy trong một gian nào đó của R.

k
có dạng P =
n

i=1
∆
i
, trong đó ∆
i
là những gian ròi nhau,
ta đặt
m(P ) =
n

i=1
|∆
i
|.
Khi đó hàm tập m là một độ đo trên C
k
.
1.4. Độ đo trên R
k
20
3) Độ đo m có thể mở rộng thành một độ đo µ
k
trên một σ-đại số L
k
⊃ F(C
k

là ảnh của E qua một phép dời nào đó và nếu tập này đo được
thì tập kia cũng đo được và µE = µE

.
Tập hợp đo được theo Lebesgue cũng không bao gồm tất cả mọi tập con của
R
k
. Người ta chứng minh được rằng trong mỗi không gian R
k
dều tồn tại tập không
đo được theo Lebesgue. Điều này không có nghĩa là khái niệm đo được Lebesgue là
chưa đủ rộng bởi vì người ta cũng chứng minh được rằng trong mỗi không gian R
k
không thể xây dựng một độ đo σ-hữu hạn sao cho
a) Độ đo xác định trên mọi tập con của R
k
;
b) Đọ đo bất biến qua phép dời;
c) Độ đo cả mỗi gian trùng với thể tích của gian đó.
Ví dụ 1.4.2.1. (Tập không đo được trong R)
Để xây dựng ví dụ này ta cần nhắc lại tiên đề chọn: Nếu {A
i
}
i∈I
là một họ gồm
các tập khác rỗng, rời nhau từng đôi một thì tồn tại tập E ⊂

i∈I
A
i

n=1
E
n
⊂ [−1, 2].
Theo tính σ-cộng tính của µ ta có
µ

∞

n=1
E
n

=
∞

n=1
µ(E
n
) = lim
n→∞
nµE ≤ µ([−1, 2]) = 3.
1.5. Hàm số đo được 21
Từ đây ta được µE = 0 do đó µ

∞

n=1
E
n

) ta nói f đo được theo nghĩa Borel
hay f là một hàm Borel.
Điều kiện (1.9) trong định nghĩa trên có thể thay bằng một trong ba điều kiện
sau:
(∀a ∈ R), {x ∈ A : f(x) > a} ∈ F. (1.10)
(∀a ∈ R), {x ∈ A : f(x) ≤ a} ∈ F. (1.11)
(∀a ∈ R), {x ∈ A : f(x) ≥ a} ∈ F. (1.12)
Ta thấy (1.9) ⇔ (1.12) vì {x ∈ A : f(x) < a} = {x ∈ A : f(x) ≥ a}
c
và F là một
σ-đại số.
Tương tự (1.10) ⇔ (1.11). Ta cần chứng minh (1.9) ⇔ (1.11).
(1.9) ⇒ (1.11). Ta có
f(x) ≤ a ⇔ ∀n ∈ N : f (x) < a +
1
n
.
Vì mỗi tập {x ∈ A : f(x) < a +
1
n
} ∈ F nên
{x ∈ A : f(x) ≤ a} =
∞

n=1
{x ∈ A : f(x) < a +
1
n
} ∈ F.