ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA TOÁN – TIN

ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN Nhiều tác giả

thái thuần quang
Bài giảng
ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
2
3
Mục lục
Chương 1. Độ đo 1
1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 σ-đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 σ-đại số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3.2 So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue . . . . . . 46
2.3.3 Tích phân Lebesgue xem như hàm tập . . . . . . . . . . . . . 47
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.1 Biểu diễn độ đo của một tập bằng tích phân của độ đo các
thiết diện của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.2 Ý nghĩa hình học của tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . 54
2.4.3 Định lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Chỉ mục 60
5
Chương 1
Độ đo
1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Độ đo trên R
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1. Đại số tập hợp
Ta sẽ giả thiết các tập hợp được nói đến đều là tập con của một tập X cho trước.
Một lớp các tập con của X gọi là kín đối với phép toán (nào đó) nếu kết quả
thực hiện phép toán đó trên các tập hợp của lớp đó bao giờ cũng thuộc về lớp đó.
1.1.1 Đại số
Một đại số (hay trường) là một lớp chứa X, ∅ và kín đối với mọi phép toán hữu
hạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn, phép hiệu, hiệu đối xứng).
Định lý 1.1.1.1. Một lớp C là một đại số và chỉ khi C = ∅ và thỏa mãn hai điều
kiện
a) A, B ∈ C =⇒ A ∪B ∈ C,
b) A ∈ C =⇒ A
c

c
, ∅} là một đại số.
Định lý 1.1.1.2. Cho trước một lớp M = ∅. Khi đó tồn tại một đại số duy nhất
C(M) bao hàm M và chứa trong tất cả các đại số bao hàm M.
C(M) gọi là đại số sinh bởi M.
Chứng minh. Bao giờ cũng có một đại số bao hàm M đó là P(X). Gọi C(M) là giao
của tất cả các đại số trên X bao hàm M. Dễ thấy C(M) là một đại số. C(M) nhỏ
nhất vì nó chứa trong mọi đại số bao hàm M, và nó là duy nhất vì nếu có một đại số
C

(M) cũng có tính chất như C(M) thì ta sẽ có C(M) ⊂ C

(M) và C

(M) ⊂ C(M).
Vì vậy C

(M) = C(M). 
1.1.2 σ-đại số
Một σ-đại số (hay σ-trường) là một lớp chứa X, ∅ và kín đối với mọi phép toán
hữu hạn hay đếm được về tập hợp. Một σ-đại số hiển nhiên là một đại số.
Định lý 1.1.2.1. Một lớp C là một σ-đại số và chỉ khi C = ∅ và thỏa mãn hai điều
kiện
a) A
i
∈ C (i ∈ N) =⇒

∞
i=1
A

i=1
A
i

c
=
∞

i=1
A
c
i
∈ C.
Dễ dàng chứng minh điều ngược lại. 
Tương tự như đối với một đại số ta có
7
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 3
Định lý 1.1.2.2. Cho trước một lớp M = ∅. Khi đó tồn tại một σ-đại số duy nhất
F(M) bao hàm M và chứa trong tất cả các σ-đại số bao hàm M.
F(M) gọi là σ-đại số sinh bởi M.
1.1.3 σ-đại số Borel
Một σ-đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập mở trong không gian metric X gọi
là σ-đại số Borel của không gian X. Mỗi phần tử của σ-đại số này gọi là tập hợp
Borel. Như vậy tập hợp Borel là những tập thu được bằng cách xuất phát từ những
tập mở và thực hiện một số hữu hạn hay đếm được những phép toán về tập hợp
trên các tập đó.
Tập H trong không gian metric X được gọi là tập dạng F
σ
nếu H là hợp của
một số đếm được các tập đóng.

∈ M, A
i
∩ A
j
= ∅ (i = j),
n

i=1
A
i
∈ M =⇒ f

n

i=1
A
i

=
n

i=1
f(A
i
).
Hàm tập f được gọi là σ-cộng tính nếu
{A
i
}
i∈N

một độ đo trên C nếu
a) µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ C;
b) µ(∅) = 0;
c) µ là σ-cộng tính.
Hiển nhiên µ cũng là cộng tính.
Khi đó (X, C, µ) được gọi là một không gian độ đo.
Độ đo µ được gọi là hữu hạn nếu µ(X) < +∞.
Độ đo µ được gọi là σ-hữu hạn nếu tồn tại dãy {X
n
}
n∈N
⊂ C sao cho X =
∞

n=1
X
n
và µ(X
n
) < +∞ với mọi n ∈ N.
Ví dụ 1.2.2.1. 1) µ : C → R cho bởi µ(A) = 0 với mọi A ∈ C là một độ đo trên C.
Ta gọi độ đo này là tầm thường. Từ nay về sau để cho gọn ta sẽ viết µA thay cho
µ(A).
2) Cho X là tập đếm được và µ : P(X) → R cho bởi
µA =

n nếu A có n phần tử
+∞ nếu A có vô hạn phần tử
thì µ là một độ đo. Ta gọi độ đo này là độ đo đếm.
3) Cho X là tập hợp khác rỗng. Cố định a ∈ X và định nghĩa δ

c) {A
i
}
i∈N
⊂ C, A
i
∩ A
j
= ∅ (i = j), A ∈ C,
∞

i=1
A
i
⊂ A ⇒
∞

i=1
µA
i
≤ µA.
Chứng minh. a) Vì B = A ∪ (B \ A) và A ∩ (B \ A) = ∅ nên µB = µA + µ(B \ A).
Vì µ(B \ A) ≥ 0 nên µA ≤ µB.
9
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 5
Nếu µA < +∞ thì ta có thể chuyển vế trong đẳng thức trên và thu được
µ(B \ A) = µB −µA.
b) Vì A ⊂
∞



1
= B
1
, B

2
= B
2
\ B
1
, . . . , B

n
= B
n
\
n−1

i=1
B
i
.
Khi đó B

i
∈ C và đôi một rời nhau thỏa mãn
∞

i=1

= µ(A ∩ A
i
) ≤ µA
i
.
Vậy µA ≤
∞

i=1
µA
i
.
c) Vì
∞

i=1
A
i
⊂ A nên
n

i=1
A
i
⊂ A với mọi n ∈ N. Vì A,
n

i=1
A
i

n
< +∞; A = A ∩

∞

i=1
X
n

=
∞

i=1
(A ∩ X
n
).
Và ta lại có µ(A ∩X
n
) ≤ µX
n
< +∞.
Định lý 1.2.2.4. Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó
a) µA
i
= 0,
∞

i=1
A
i

Định lý 1.2.2.5. Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó
a) A
i
∈ C, A
1
⊂ A
2
⊂ . . . ,
∞

i=1
A
i
∈ C =⇒ µ

∞

i=1
A
i

= lim
i→∞
µA
i
.
b) A
i
∈ C, A
1

= A
2
\ A
1
, . . . , B
n
= A
n
\ A
n−1
, . . .
Lúc đó các B
i
∈ C, rời nhau và
∞

i=1
B
i
=
∞

i=1
A
i
. Từ đó
µ

∞


n
.
b) Theo công thức de Morgan
A
1
\
∞

i=1
A
i
=
∞

i=1
(A
1
\ A
i
).
Áp dụng phần a) cho các tập A

i
= A
1
\ A
i
∈ C ta được
µ


∞

i=1
A
i

= µ

A
1
\
∞

i=1
A
i

= µ

∞

i=1
A

i

= lim
i→∞
µA


⊂ A
2
⊂ . . . ,
∞

i=1
A
i
∈ C =⇒ µ

∞

i=1
A
i

= lim
i→∞
µA
i
.
b) A
i
∈ C, A
1
⊃ A
2
⊃ . . . ,
∞


, . . . , B
n
=
n

i=1
B
i
, . . .
Khi đó vì B =
∞

n=1
A
n
, A
1
⊂ A
2
⊂ . . . nên µB = lim
i→∞
µA
n
. Do µ là cộng tính nên ta
có µA
n
=
n

i=1

∞

n=1
(B \ A
n
)
với A

n
= B \ A
n
∈ C và A

1
⊃ A

2
⊃ . . . . Vậy
lim
n→∞
µ(B \ A
n
) = lim
n→∞
µA

n
= 0.
Nhưng do A
n

n
.

12
1.3. Thác triển độ đo 8
1.3. Thác triển độ đo
Ta sẽ mở rộng một độ đo µ trên một đại số C thành một độ đo trên một σ-đại
số chứa C.
1.3.1 Độ đo ngoài
Định nghĩa 1.3.1.1. Hàm tập µ
∗
: P(X) → R được gọi là độ đo ngoài nếu:
a) µ
∗
A ≥ 0 với mọi A ⊂ X;
b) µ
∗
∅ = 0;
c) A ⊂
∞

i=1
A
i
=⇒ µ
∗
A ≤
∞

i=1

. Tập A thỏa mãn điều
kiện (1.1) gọi là tập µ
∗
-đo được.
Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng điều kiện (1.1) tương đương với
µ
∗
E ≥ µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A) với mọi E ⊂ X (1.1’)
vì bất đẳng thức ngược lại luôn đúng theo tính chất của độ đo ngoài.
Ta tiến hành chứng minh theo các bước sau:
• Bước 1. L là một đại số.
Ta có L = ∅ vì ∅ ∈ L. Thật vậy
µ
∗
E = µ
∗
E + µ
∗
∅ = µ
∗
(E ∩ ∅) + µ
∗
(E \ ∅) với mọi E ⊂ X.
Vì với mọi A ∈ L ta có (1.1) nên suy ra
µ
∗

(E \ A) = µ
∗
((E \ A) ∩B) + µ
∗
((E \ A) \B) (do B ∈ L).
Do đó
µ
∗
E = µ
∗
(E ∩A ∩B) + µ
∗
((E ∩A) \B) + µ
∗
((E \A) ∩B) + µ
∗
((E \A) \B). (1.2)
Nhưng (E \ A) \B = E \ (A ∪B) và
(E ∩ A ∩ B) ∪ ((E ∩A) \ B) ∪ ((E \A) ∩ B) = E ∩ (A ∪B)
nên từ (1.2) ta suy ra
µ
∗
E ≥ µ
∗
(E ∩ (A ∪B)) + µ
∗
(E \ (A ∪B)).
Vậy A ∪ B ∈ L.
• Bước 2. Hàm tập µ = µ
∗

A
i
∈ L và với mọi E ⊂ X thì
µ
∗

E ∩

∞

i=1
A
i

=
∞

i=1
µ
∗
(E ∩ A
i
). (1.4)
Theo (1.3) ta có
µ
∗
(E ∩ (A
1
∪ A
2

14
1.3. Thác triển độ đo 10
Đặt A =
∞

i=1
A
i
ta có
n

i=1
A
i
∈ L và
µ
∗
E = µ
∗

E ∩

n

i=1
A
i

+ µ
∗

µ
∗
(E ∩ A
i
) + µ
∗
(E \ A) (do E \A ⊂ E \
n

i=1
A
i
).
Do n tùy ý ta suy ra
µ
∗
E ≥
∞

i=1
µ
∗
(E ∩ A
i
) + µ
∗
(E \ A) ≥ µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗

Bất đẳng thức ngược lại luôn đúng nên µ
∗
A =
∞

i=1
µ
∗
A
i
.
Cuối cùng, nếu {A
i
}
i∈N
⊂ L thì đặt
A

1
= A
1
, A

2
= A
2
\ A
1
, . . . , A


i=1
A

n
∈ L nên
∞

n=1
A
n
∈ L.
Vậy L là một σ-đại số và µ là độ đo trên L. 
15
1.3. Thác triển độ đo 11
1.3.2 Định lý thác triển
Định lý 1.3.2.1. Cho m là một độ đo trên một đại số C ⊂ P(X). Với mỗi A ⊂ X
ta đặt
µ
∗
A = inf

∞

i=1
mA
i
: {A
i
}
i∈N

µ
∗

∞

n=1
A
n

≤
∞

n=1
µ
∗
A
n
(lúc đó c’) sẽ đúng).
Với mỗi ε > 0, theo định nghĩa của µ
∗
A
n
tồn tại họ {P
n
i
}
i∈N
⊂ C,
∞


P
n
i
⊃
∞

n=1
A
n
nên
µ
∗

∞

n=1
A
n

≤
∞

n=1
∞

i=1
mP
n
i
≤

A
n
+ ε.
Do ε tùy ý nên
µ
∗

∞

n=1
A
n

≤
∞

n=1
µ
∗
A
n
.
Vậy µ
∗
là một độ đo ngoài.
Bây giờ ta chứng minh µ
∗
A = mA với A ∈ C.
Nếu {P
i

}
i∈N
⊂ C để
∞

i=1
P
i
⊃ E,
∞

i=1
mP
i
≤ µ
∗
E + ε.
Ta có
µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A) ≤ µ
∗

∞

i=1
P
i

\ A) ≤
∞

i=1

µ
∗
(P
i
∩ A) + µ
∗
(P
i
\ A)

Do P
i
\ A, P
i
∩ A ∈ C nên
µ
∗
(P
i
∩ A) = m(P
i
∩ A) và µ
∗
(P
i

(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A) ≤ µ
∗
E với mọi E ⊂ X. Vậy A ∈ L. 
Định nghĩa 1.3.2.2. Ta nói rằng một độ đo µ trên một σ-đại số L là đủ nếu mọi
tập con của một tập bất kỳ thuộc L có độ đo 0 đều thuộc L và có độ đo 0, nghĩa là
nếu
N ⊂ E, µE = 0 =⇒ N ∈ L, µN = 0.
Định lý 1.3.2.3. Độ đo µ cảm sinh bởi một độ đo ngoài µ
∗
bao giờ cũng là độ đo
đủ (trên σ-đại số L các tập µ
∗
-đo được) và họ các tập có độ đo µ bằng 0 trùng với
họ các tập có độ đo ngoài µ
∗
bằng 0.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh mọi tập A có µ
∗
A = 0 đều µ
∗
-đo được. Lúc đó
với mọi E ⊂ X thì µ
∗
(E ∩ A) ≤ µ
∗
A = 0 nên
µ
∗

∗
-đo được. Theo định lý 1.3.2.1 thì µ là
một mở rộng của m. Tính chất 2) là rõ ràng. Theo định lý 1.3.2.3 thì µ là đủ. Ta
chỉ cần chứng minh tính chất 4).
Nếu A có dạng (1.6) thì hiển nhiên A ∈ L.
Ngược lại, ta giả sử A ∈ L.
• Nếu µA < +∞ thì theo cách xây dựng µ
∗
với mỗi k ∈ N tồn tại họ {P
i
}
i∈N
⊂ C
sao cho
∞

i=1
P
k
i
⊃ A và
∞

i=1
mP
k
i
< µA +
1
k

Như vậy µB ≤ µA. Nhưng A ⊂ B nên µA = µB.
Đặt N = B \ A. Khi đó µN = 0 và A = B \ N.
• Ta xét trường hợp µA = +∞. Do µ là σ-hữu hạn nên A =
∞

n=1
A
n
với A
n
∈ L
và µA
n
< ∞. Theo trường hợp trên, với mỗi n ∈ N ta có D
n
⊃ A
n
với D
n
∈ F(C) để
cho µ(D
n
\A
n
) = 0. Đặt D =
∞

n=1
D
n

Bây giờ, nếu A ∈ L thì X \ A ∈ L nên
X \A = B

\ N

với B

∈ F(C), µN

= 0.
Ta suy ra
A = (X \B

) ∪ N

hay A = B

∪ N

,
với B

= X \B

∈ F(C) và µN

= 0. 
Độ đo trong định lý 1.3.2.4 được gọi là mở rộng tiêu chuẩn của độ đo m.
Như vậy σ-đại số L các tập µ
∗

.
Bổ đề 1.4.1.1. C là một đại số.
Chứng minh bổ đề này xem như bài tập.
Xét hàm tập m : C → R xác định bởi: nếu P =

n
i=1
∆
i
(các gian rời nhau) thì
đặt m(P ) =

n
i=1
|∆
i
| trong đó |∆
i
| chỉ độ dài của gian ∆
i
.
Bổ đề 1.4.1.2. Hàm tập m là một độ đo trên đại số C.
19
1.4. Độ đo trên R
k
15
Chứng minh. Rõ ràng m không âm và m∅ = 0.
Trước hết ta nhận xét rằng:
a) Nếu có những gian ∆, ∆
1

i=1
|∆
i
|.
Để chứng minh tính σ-cộng tính của hàm tập m ta chứng minh tính chất sau:
c) Nếu các gian ∆, ∆
1
, . . . , ∆
k
, . . . thỏa mãn ∆ =
∞

i=1
∆
i
với ∆
i
∩ ∆
j
= ∅ khi i = j
thì
|∆| =
∞

i=1
|∆
i
|.
Với mỗi n ∈ N ta luôn có
n

k
| < +∞ với mọi k.
Ta xét hai khả năng:
i) |∆| < +∞. Với ε > 0 ta chọn gian đóng ∆

⊂ ∆ sao cho |∆| < |∆

| +
ε
2
, đồng
thời chọn gian mở ∆

k
⊃ ∆
k
sao cho |∆

k
| < |∆
k
| +
ε
2
k+1
.
Các gian mở tạo thành một phủ mở của tập compact ∆

nên phải có hữu hạn
gian ∆

ε
2
≤
∞

k=1
|∆
k
| + ε.
Vì ε tùy ý nên
|∆| ≤
∞

n=1
|∆
n
|.
ii) |∆| = +∞. Với n
o
là số tự nhiên tùy ý ta chọn gian đóng hữu hạn ∆

⊂ ∆
sao cho |∆

| > n
o
. Tương tự như trường hợp i) ta suy ra
|∆

| ≤

Bây giờ ta chứng minh tính σ-cộng tính của m.
Giả sử P =
∞

i=1
P
i
với các P, P
i
∈ C và các P
i
đôi một rời nhau. Ta có
P =
n

k=1
∆
k
, P
i
=
r
i

j=1
∆
ij
∆
k
= ∆

Như vậy
|∆
k
| =
∞

i=1
r
i

j=1
|∆
k
∩ ∆
ij
|.
Với chú ý rằng ∆
ij
=
n

k=1
(∆
k
∩ ∆
ij
), theo định nghĩa của m thì
mP =
n


|∆
k
∩ ∆
ij
| =
∞

i=1
r
i

j=1
|∆
ij
| =
∞

i=1
P
i
.
21
1.4. Độ đo trên R
k
17
Vậy m là một độ đo trên C. 
Định nghĩa 1.4.1.3. Mở rộng tiêu chuẩn của độ đo m theo sơ đồ tổng quát của
định lý 1.3.2.4 được gọi là độ đo Lebesgue trên R.
Ta có một số nhận xét sau:
• Với mỗi A ⊂ R độ đo ngoài được xác định bởi công thức

| :
∞

k=1
∆
k
⊃ A, ∆
k
là khoảng mở

. (1.8)
Thật vậy, gọi α và β là hai số xác định bởi vế phải của (1.7) và (1.8). Vì mỗi khoảng
mở ∆
k
đều thuộc C nên α ≤ β. Ngược lại, với mọi họ {P
i
}
i∈N
⊂ A mà
∞

i=1
P
i
⊃ A
thì
∞

i=1
P

i=1
∆

k
⊃ A và
∞

k=1
|∆

k
| ≤
∞

k=1
∆
k
| +
∞

k=1
ε
2
k
≤
∞

i=1
mP
i

Định lý 1.4.1.4. Một tập N có độ đo 0 khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 có thể tìm
được một hệ (hữu hạn hay đếm được) khoảng mở {∆
k
}
k
phủ N và có tổng độ dài
bé hơn ε :

k
∆
k
⊃ N;

k
|∆
k
| < ε.
Hệ quả 1.4.1.5. Mọi tập hữu hạn hay đếm được trên đường thẳng đều đo được và
có độ đo bằng 0.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho tập một điểm {x}. Với mỗi ε > 0 tồn tại
khoảng mở ∆ = (x −
ε
3
, x +
ε
3
) chứa x và |∆| < ε. 
Như vậy tập Q các điểm hữu tỷ có độ đo bằng 0, do đó tập các điểm vô tỷ R \Q
trên mỗi đoạn [a, b] có độ đo bằng b −a. Tuy nhiên cũng có những tập có độ đo 0
mà không đếm được, chẳng hạn như tập Cantor.

µG ≤
∞

k=1
|∆
k
| < µA + ε.
Do µA < +∞ nên µ(G \ A) = µG − µA < ε.
b) µA = +∞.
Ta có A =
∞

n=1
(A ∩ [−n, n]). Tập A
n
= A ∩ [−n, n] có độ đo hữu hạn nên theo
trường hợp a) tồn tại G
n
⊃ A
n
, G
n
mở và µ(G
n
\ A
n
) <
ε
2
n+1

< ε.
2) ⇒ 1). Với mỗi n ∈ N có tập mở G
n
⊃ A và µ
∗
(G
n
\ A) <
1
n
. Đặt B =
∞

n=1
G
n
.
Khi đó B ∈ L và B ⊃ A. Hơn nữa
µ
∗
(B \ A) ≤ µ
∗
(G
n
\ A) <
1
n
, ∀n ∈ N
nên µ
∗

1
, ξ
2
, . . . , ξ
k
) trong đó ξ
i
chạy trong một gian nào đó của R.
Nếu ξ
i
thuộc gian có hai đầu mút α
i
, β
i
(i = 1, 2, . . . , k) thì thể tích của gian ∆ bằng
|∆| =
k

i=1
(β
i
− α
i
).
Nếu có một gian mà α
i
= β
i
thì ta quy ước |∆| = 0, còn nếu có một gian trong R
vô hạn và không có gian nào có độ dài bằng 0 thì |∆| = +∞.

1.4. Độ đo trên R
k
20
3) Độ đo m có thể mở rộng thành một độ đo µ
k
trên một σ-đại số L
k
⊃ F(C
k
) ⊃
C
k
. Độ đo µ
k
này gọi là độ đo Lebesgue trên R
k
, và các tập thuộc L
k
gọi là tập đo
được theo Lebesgue trên R
k
.
F(C
k
) chính là σ-đại số Borel trong R
k
(do đó mọi tập Borel trong R
k
đều đo
được.

i
}
i∈I
là một họ gồm
các tập khác rỗng, rời nhau từng đôi một thì tồn tại tập E ⊂

i∈I
A
i
sao cho E ∩A
i
chứa duy nhất một phần tử với mọi i ∈ I.
Gọi µ là độ đo Lebesgue trên R Trên [0, 1] ta xét quan hệ tương đương ∼ xác
định như sau: x,y ∈ [0, 1], x ∼ y khi và chỉ khi x−y ∈ Q. Dễ thấy ∼ là một quan hệ
tương đương trên [0, 1]. Khi đó [0, 1] được phân hoạch thành các lớp tương đương.
Theo tiên đề chọn tồn tại tập E ⊂ [0, 1] sao cho giao của nó với mọi lớp tương đương
nói trên gồm đúng một điểm. Khi đó E không đo được Lebesgue.
Thật vậy, giả sử E đo được Lebesgue. ta đánh số tất cả các số hữu tỷ trong
[−1, 1] là r
1
, r
2
, . . . . Với mỗi n ∈ N đặt E
n
= {r
n
+ x : x ∈ E} và nhận xét rằng
E
n
là đo được Lebesgue. Dễ thấy rằng E

nµE ≤ µ([−1, 2]) = 3.
25