Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
1

I.CC BI TON TèM TP HP IM
Bi 1: Cho ng trũn (O; R) v tam giỏc cõn ABC cú AB = AC ni tip
ng trũn (O; R) K ng kớnh AI. Gi M l mt im bt kỡ trờn cung
nh AC. Mx l tia i ca tia MC. Trờn tia i ca tia MB ly im D sao
cho MD = MC.
a) Chng minh rng MA l tia phõn giỏc ca ca gúc BMx.
b) Gi K l giao th hai ca ng thng DC vi ng trũn (O). T
giỏc MIKD l hỡnh gỡ? vỡ sao?
c) Gi G l trng tõm ca tam giỏc MDK. Chng minh rng khi M di
ng trờn cung nh AC thỡ G luụn nm trờn mt ng trũn c nh.
d) Gi N l giao im th hai ca ng thng AD vi ng trũn (O). P
l giao im th hai ca phõn giỏc gúc IBM vi ng trũn. Chng minh
rng, ng thng DP luụn i qua mt im c nh khi M di ng trờn cung
nh AC.

Hng
dn:
a) Gúc
AMB =
(1/2)sAB (gúc
x
N
G
K
D
I
C

3

AB tại B. Vẽ đường tròn qua D và tiếp xúc với AC tại C. Gọi E là giao điểm
thứ hai của hai đường tròn này.
a) Chứng minh 3 điểm B, C, E thẳng hàng.
b) Một đường tròn tâm K di động luôn đi qua A và D, cắt AB, AC theo
thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng BM = CN.
c) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN.
Hướng dẫn:
a) + góc BED = góc DBx = góc ACB
x
y
I
N
M
E
D
C

điểm cố định khác A.
b) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
5 Hướng dẫn:
a) Đường cao AH cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác AMN tại P
=> tam giác AMP = tam giác CNP =>
PA = PC
=> P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => P cố định.
b) Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nằm trên đường trung
trực của AP. Bài 4. Tìm quỹ tích đỉnh C các tam giác ABC có AB cố định, đường cao
BH bằng cạnh AC.

P
H
I
N

c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.
I
H
J
E
F
D
O
C
A
B
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
7

Hướng dẫn:
a) góc B = góc D = 90 độ => B, D thuộc đường tròn đường kính AC
góc A = 45 độ => BD = R
2
= hs.
b) Tam giác CDE vuông cân => CD = ED
tam giác ADF vuông cân => DA = DF
=>Tam giác ACD = tam giác FED
=> EF = AC = hs

giá trị lớn nhất đó theo R và R'. Hướng dẫn
a) Tam giác AMB
và tam giác CAN đồng
dạng
b) góc PMA + góc
PNA = góc OAM +
I
P
N
D
O
O'
B
C
A
M
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
9

gúc O'AN = 90
=> gúc OPO' =90 => P thuc ng trũn ng kớnh OO'
c) Tam giỏc IMA v tam giỏc IDM ng dng
=> IM
2
= IA.ID
d) tng t cõu c gi s tip tuyn ti N ca (O') ct AD ti I' => I'M



22
R'RR.R'
2
1
. Bi 8: Mt im A i ng trờn na ng trũn ng kớnh BC c nh.
ng thng qua C song song vi BA ct ng phõn giỏc ngoi ca gúc
BAC ca tam giỏc ABC ti D. Tỡm qu tớch D.
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Quỹ tích
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
10
Hng dn
AD ct (O) ti E => E c nh
li cú gúc CDE = 45


Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
12
Bài 10: Cho hình vuông ABCD cố định. Một điểm I di động trên cạnh
AB (I khác A và B). Tia DI cắt tia CB tại E. Đường thẳng CI cắt đường
thẳng AE tại M. Đường thẳng BM cắt đường thẳng DE tại F. Tìm quỹ tích
điểm F.

Hướng dẫn:
Trên BC lấy G sao cho AI = BG =>
AI vông góc với ED
d
H
N
P
I
O
B
A
M
A
G
F
M
E
B

MA
ME
 => MB song song
với AG hay góc DFB vuông
Vậy F thuộc đường tròn đường kính BD ( cung nhỏ AB ). Bài 11: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn.
Điểm M lưu động trên tiếp tuyến xy tại A của (O; R). Qua M vẽ tiếp tuyến
thứ hai với (O; R). Gọi tiếp điểm là B.
a) Tìm quỹ tích tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB.
b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMB.
Hướng dẫn:
H
B
E
O
A
M
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
14

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB là đường tròn đường kính OM


vy tam giỏc BDM = tam giỏc CDN => BM = CN.
b) Tng t cõu c bi 2 Bi 13: Cho gúc vuụng xOy. Mt chic ờke ABC trt trong mt phng
ca gúc xOy sao cho nh B di chuyn trờn cnh Ox, nh C di chuyn trờn
cnh Oy v nh gúc vuụng A di chuyn trong gúc xOy. Tỡm qu tớch im
A. Hng dn:

T giỏc OBAC ni tip => gúc
yOA = gúc CBA =


Vy A thuc tia to vi tia Oy mt gúc

( phn nm trong gúc xOy )

Bi 14: Cho ng trũn tõm O bỏn kớnh R v mt im P c nh
ngoi ng trũn. V tip tuyn PA v cỏt tuyn PBC bt kỡ (A, B, C trờn
(O; R)). Gi H l trc tõm ca tam giỏc ABC. Khi cỏt tuyn PBC quay
quanh P.
y
x
A
C
B


b) Từ I vẽ đường thẳng vuông góc với EF tại H. Chứng tỏ H thuộc một
đường cố định và đường thẳng IH đi qua một điểm cố định.

Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm P di động trên cạnh BC.
Vẽ PQ song song với AC ( Q thuộc AB), vẽ PR song song với AB ( R thuộc
AC). Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR.

Bài 17: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tương ứng thuộc tia Ox,
Oy sao cho OA = OB. Một đường thẳng d đi qua A và cắt OB tại M nằm
giữa O và B. Từ B hạ đường thẳng vuông góc với AM cắt AM tại H và cắt
đường thẳng OA tại I.
a) Chứng minh rằng OI = OM và tứ giác OMHI nội tiếp.
b) Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh rằng OK = HK.
c) Tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB.

Bài 18: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M di động
trên cung BC.
a) Trên tia đối của tia CM, lấy đoạn CE = MB. Tìm tập hợp các điểm E
khi M di động.
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
18

b) Trên tia đối của tia MC, lấy đoạn MF = MB. Tìm tập hợp các điểm F
khi M di động.

Bài 19: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B.
Một cát tuyến (d) bất kì qua B cắt (O0 tại C và (O') tại C'. Tìm tập hợp trung
điểm I của đoạn CC' khi d quay quanh B.

b) Chng minh rng: MN i qua mt im c nh khi M di ng.
c) Tỡm tp hp trung im I ca PQ khi M di ng.

Bi 27: Cho ng trũn (O; R) v mt im P c nh trong ng trũn
khụng trựng vi O. Qua P dng dõy cung APB, cỏc tip tuyn ca (O) ti A
v B ct nhau ti M. Tỡm tp hp cỏc im M khi dõy AB quay quanh P.
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
20Bài 32: Hai đường tròn (O) và (O') giao nhau tại A và B. Một cát tuyến
di động qua A cắt (O) tại C và (O') tại D. Tìm tập hợp tâm I của các đường
tròn nội tiếp tam giác BCD.

Bài 33: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có AB = AC
=
2R

a) Tính độ dài BC theo R
b) M là một điểm di động trên cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường
thẳng BC tại D. Chứng minh rằng AM.AD luôn luôn là hằng số
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động trên
một đường cố định khi M di động trên cung nhỏ AC.
Hướng dẫn:
a) BC là đường kính
của (O).


K
H
I
F
O
B
A
D
C
E
Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch
Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
22