i.Các bài toán tìm tập hợp điểm
Bài 1: Cho đờng tròn (O; R) và tam giác cân ABC có AB = AC nội tiếp
đờng tròn (O; R) Kẻ đờng kính AI. Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ
AC. Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho
MD = MC.
a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của của góc BMx.
b) Gọi K là giao thứ hai của đờng thẳng DC với đờng tròn (O). Tứ giác
MIKD là hình gì? vì sao?
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MDK. Chứng minh rằng khi M di
động trên cung nhỏ AC thì G luôn nằm trên một đờng tròn cố định.
d) Gọi N là giao điểm thứ hai của đờng thẳng AD với đờng tròn (O). P là
giao điểm thứ hai của phân giác góc IBM với đờng tròn. Chứng minh rằng,
đờng thẳng DP luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung nhỏ
AC.
H ớng dẫn:
a) Góc
AMB =
(1/2)sđAB (góc
nội tiếp (O)
chắn AB )
Góc AMx =
180độ - Góc
AMC = 180độ
-
(1/2)sđcungABC = (1/2)sđcungAC =(1/2)sđcungAB
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
1
x
N
G
K

2
H íng dÉn:
a) + gãc BED = gãc DBx = gãc ACB
+ gãc CED = gãc DCy = gãc ABD
=> gãc BEC = gãcABD + gãcACD = 180 ®é.
=> B, E, C th¼ng hµng.
b) cung BD = cung DC => gãc BAD = gãc CAD => cung DN = cung
DM
=> DM = DN
cung BD = cung DC => DB = DC
gãc DCN = gãc DBM
=> Tam gi¸c BMD = tam gi¸c CND => BM = CN.
c) TÝnh ®îc DI = 2KD sin
2
(A/2) =>(DI/DK) =2 sin
2
(A/2) =hs
K thuéc trung trùc cña AD => I thuéc ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AD c¾t
AD t¹i P sao cho (DP/DA )=sin
2
(A/2)

Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh
3
x
y
I
N
M
E

B
M
E
C
A
B
H
H ớng dẫn:
Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB tại A, trên đó lấy E sao cho AE = AB
=> tam giác ACE = tam giác BHA
=> góc ACE = 90 độ => C thuộc cung chứa góc 90 độ dựng trên AE.
Bài 5: Tứ giác lồi ABCD có AC cố định, góc A =45
0
, góc B = góc C =
90
0
.
a) Chứng minh rằng BD cố độ dài không đổi.
b) Gọi E là giao của BC và AD, F là giao của DC và AB. Chứng minh EF
có độ dài không đổi.
c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF.
H ớng dẫn:
a) góc B = góc D = 90
độ => B, D thuộc đờng
tròn đờng kính AC
góc A = 45 độ => BD
= R
2
= hs.
b) Tam giác CDE vuông cân => CD = ED

điểm M, N khác A.
a) Chứng minh tam giác ABM và tam giác CAN đồng dạng.
b) Tìm quỹ tích giao điểm P của OM và O'N khi d di động.
c) Tiếp tuyến M của (O) cắt AD tại I. Chứng minh rằng: IM
2
= IA. ID.
d) Tìm vị trí của cát tuyến d để cho tiếp tuyến tại M của (O) và tiếp tuyến
tại N của (O') cắt nhau tại một điểm thuộc đờng thẳng AD.
d) Xác định vị trí của d sao cho tứ giác MNCB có diện tích lớn nhất. Tìm
giá trị lớn nhất đó theo R và R'.
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
6
H ớng dẫn
a) Tam giác AMB
và tam giác CAN đồng
dạng
b) góc PMA + góc
PNA = góc OAM +
góc O'AN = 90 độ
=> góc OPO' =90
độ => P thuộc đờng
tròn đờng kính OO'
c) Tam giác IMA và tam giác IDM đồng dạng
=> IM
2
= IA.ID
d) tơng tự câu c giả sử tiếp tuyến tại N của (O') cắt AD tại I' => I'M
2
=
I'A.I'D . Vậy I trùng I' <=> IM = I'N <=> I thuộc trung trực của NM

2
1
++
.
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
7
I
P
N
D
O
O'
B
C
A
M
Bài 8: Một điểm A đi động trên nửa đờng tròn đờng kính BC cố định. Đ-
ờng thẳng qua C song song với BA cắt đờng phân giác ngoài của góc BAC
của tam giác ABC tại D. Tìm quỹ tích D.
H ớng dẫn
AD cắt (O) tại E => E cố định
lại có góc CDE = 45 độ
Vậy D thuộc cung chứa góc 45 độ dựng trên CE.
Bài 9: Cho đờng tròn (O; R) cố định và đờng thẳng d cắt (O; R) tại hai
điểm A, B cố định. Một điểm M di động trên d và ở bên ngoài đoạn AB. Vẽ
các tiếp tuyến MP và MN với (O; R). Gọi N, P là hai tiếp điểm.
a) Chứng minh rằng khi M di động, đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP
luôn đi qua hai điểm cố định.
b) Tìm quỹ tích tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
c) Trình bày cách dựng điểm M sao cho tam giác MNP là tam giác đều.

B
A
M
A
G
F
M
E
B
D
C
I
Trên BC lấy G sao cho AI = BG => AI vông góc với ED
áp dụng định lí Meleneut trong tam giác AEB với 3 điểm thẳng hàng C,
I, M có
( )
1 1
MA
ME
IB
IA
CE
CB
=
lại có
BE
IB
CE
CD
CE

O
A
M
Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. Đờng phân giác của
góc A cắt đờng tròn tại điểm D. Một đờng tròn (L) thay đổi nhng luôn đi qua
hai điểm A và D. (L) cắt hai đờng thẳng AB, AC ở giao điểm thứ hai là M, N
(có thể trùng với A).
a) Chứng minh rằng: BM = CN.
b) Tìm quỹ tích trung điểm K của MN.
H ớng dẫn:
a) góc BAD = góc DAN => DB
= DC; DM = DN
lại có góc MBD = góc NCD;
góc BMD = góc NCD => góc BDM
= góc CDN
vậy tam giác BDM = tam giác
CDN => BM = CN.
b) Tơng tự câu c bài 2
Bài 13: Cho góc vuông xOy. Một chiếc êke ABC trợt trong mặt phẳng
của góc xOy sao cho đỉnh B di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh C di chuyển trên
cạnh Oy và đỉnh góc vuông A di chuyển trong góc xOy. Tìm quỹ tích điểm
A.
H ớng dẫn:
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
11
K
N
M
D
C

định. => HO'PK cũng là hình bình hành => HK = O'P = OP = hs. Vậy H
thuộc đờng tròn (K; OP).
Bài 15: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Vẽ đờng thẳng d quay quanh
O cắt hai cạnh AD và BC lần lợt tại E và F ( E và F không trùng với các đỉnh
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
12
của hình vuông). Từ E, F lần lợt vẽ các đờng thẳng song song với DB, AC
chúng cắt nhau tại I.
a) Tìm quỹ tích I.
b) Từ I vẽ đờng thẳng vuông góc với EF tại H. Chứng tỏ H thuộc một đ-
ờng cố định và đờng thẳng IH đi qua một điểm cố định.
Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm P di động trên cạnh BC.
Vẽ PQ song song với AC ( Q thuộc AB), vẽ PR song song với AB ( R thuộc
AC). Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR.
Bài 17: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tơng ứng thuộc tia Ox, Oy
sao cho OA = OB. Một đờng thẳng d đi qua A và cắt OB tại M nằm giữa O
và B. Từ B hạ đờng thẳng vuông góc với AM cắt AM tại H và cắt đờng thẳng
OA tại I.
a) Chứng minh rằng OI = OM và tứ giác OMHI nội tiếp.
b) Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh rằng OK = HK.
c) Tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB.
Bài 18: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O) và M di động trên
cung BC.
a) Trên tia đối của tia CM, lấy đoạn CE = MB. Tìm tập hợp các điểm E
khi M di động.
b) Trên tia đối của tia MC, lấy đoạn MF = MB. Tìm tập hợp các điểm F
khi M di động.
Bài 19: Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B.
Một cát tuyến (d) bất kì qua B cắt (O0 tại C và (O') tại C'. Tìm tập hợp trung
điểm I của đoạn CC' khi d quay quanh B.

động qua A cắt (O) tại C và (O') tại D. Tìm tập hợp tâm I của các đờng tròn
nội tiếp tam giác BCD.
Bài 33: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đờng tròn (O; R) có AB = AC =
2R
a) Tính độ dài BC theo R
b) M là một điểm di động trên cung nhỏ AC, đờng thẳng AM cắt đờng
thẳng BC tại D. Chứng minh rằng AM.AD luôn luôn là hằng số
c) Chứng minh tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động trên một
đờng cố định khi M di động trên cung nhỏ AC.
Hớng dẫn:
a) BC là đờng kính của
(O).
b) Tam giác AMC
đồng dạng với tam giác
ACD =>
AM.AD = AC
2
= R
2
.
c) góc ACM = góc
MDC = 1/2 sđ cung CM
=> AC là tiếp tuyến của
( I ) => IC vuông góc với
AC cố định => I thuộc đờng thẳng qua C và vuông góc với CA.
Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh
15
I
M
C