CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH VUÔNG GÓC
1. Lý thuyết
a. Tìm hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P).
Cách giải:
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).
- Tìm giao điểm của d với mặt phẳng (P) là H thì H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P).
b. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d.
Cách giải: có 2 cách.
- Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với d.
- Tìm giao điểm của H của (P) với d thì H tự động là hình chiếu của M lên d.
Cơ sở của cách làm này là áp dụng định lý: đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) thì
vuông góc với mọi đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (α).
Cách 2. Đưa phương trình đường thẳng d về dạng tham số nếu phương trình ban đầu của nó có
dạng chính tắc hoặc tổng quát.
Gọi H là hình chiếu của M lên d. Khi đó tọa độ điểm M có dạng tham số của d do
M d
∈
.
Khi đó ta tính
MH
uuuur
thì
. 0
d d
MH u MH u⊥ ⇒ =
uuuur uur uuuur uur
. Ta tìm ra được t thế vào tọa độ điểm M ta tìm ra
được tọa độ điểm M.
c. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình hình chiếu ∆ của đường thẳng d lên
mặt phẳng (P).
Cách giải:

d. Cho d
1
, d
2
là 2 đường thẳng chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của d
1
, d
2
.
Cách suy nghĩ tìm ra lời giải:
Giả sử MN là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
thì
1 2
,MN d MN d⊥ ⊥
uuuur uuuur
. Do đó
1 2
,u u u
 
=
 
r ur uur
là
vector chỉ phương của đường thẳng MN.
Gọi (P) là mặt phẳng xác định bởi MN và đường thẳng d
1
, (Q) là mặt phẳng xác định bởi MN và

Cách 1:
- Gọi ∆ là đường vuông góc chung của
1 2
,d d

suy ra vetor chỉ phương của ∆ là
1 2
,
d d
u u u
 
=
 
V
uur uur uur
- Gọi (P) là mặt phẳng chứa d
1
và ∆ . Viết phương trình mặt phẳng (P).
- Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d
2
và ∆. Viết phương trình mặt phẳng (Q).
- Khi đó giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng ∆ cần tìm.
Cách 2: - Đưa phương trình của d
1
và d
2
về dưới dạng tham số.
- Gọi đường vuông chung ∆ cắt d
1
và d

e. Cho 2 điểm
1 1 1 2 2 2
( , , ), ( , , )A x y z B x y z
và mặt phẳng (P) có phương trình: Ax+By+Cz+D=0. Tìm
điểm M nằm trên (P) sao cho AM+BM nhỏ nhất với điều kiện 2 điểm A, B không thuộc (P).
Cách giải: có 2 trường hợp xảy ra
- Nếu 2 điểm A, B nằm về 2 phía của mặt phẳng (P). Khi đó đường thẳng AB cắt (P) tại M. Thì M
là điểm cần tìm. Ta chỉ cần viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B và sau đó tìm giao
điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P) ra điểm M thì M là điểm cần tìm.
- Nếu 2 điểm A, B nằm về cùng 1 phía đối với mặt phẳng (P) thì gọi A
’
là điểm đối xứng với điểm
A qua mặt phẳng (P) tìm tọa độ điểm A
’
. Sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm B
và A
’
. Gọi M là giao điểm của đường thẳng BA
’
với mặt phẳng (P). Thì M là điểm cần tìm.
f. Cho 2 điểm A, B và mặt phẳng (P). Tìm các điểm M nằm trên mặt phẳng (P) cách đều A, B tức
là MA=MB.
Cách giải:
Gọi M là điểm nằm trên (P) và cách đều A, B. Do MA=MB nên suy ra M nằm trên mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB.
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là (Q).
Kế tiếp xem (Q) có song song với (P) không bằng cách giải trường hợp 2 mặt phẳng song song.
Nếu (P)║(Q) (tức là
,
P

3 2 2 0
x y z
d
x y z
+ − − =


+ + + =

2
Giáo Viên: Võ Hữu Hoàng Tiến
2. Tìm khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a.
1 2
1 2 3
: 1 , : 2 3
1 3
x t x s
d y t d y s
z z s
= + = −
 
 
= − − = − +
 
 
= =
 
b.
1 2

= = = =
−
a. Chứng minh rằng: d
1
và d
2
chéo nhau.
b. Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng.
4. Giả sử (P) là mặt phẳng có phương trình: x+2y+-3z+7=0 và điểm A(2,4,-6), B(4,0,-2) là 2 điểm
cho trước. Tìm các điểm trên (P) mà cách đều A và B.
5. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng
2 5 0
:
2 3 0
x y z
d
x z
− + + =


− + =

trên mặt
phẳng (P): x+y+z-7=0.
3
Giáo Viên: Võ Hữu Hoàng Tiến