CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

1

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
I. PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG :
Phương pháp 1 :
Giả sử có hai đường thẳng (d
1
), (d
2
) lần lượt có phương trình như sau :
M1
1 M 2
M3
x x a t
(d ): y y a t
z z a t
và
N1
2 N 2
N3
x x b t'
(d ): y y b t'
z z b t'

 Lấy điểm M (d
1
) ; N (d
2


Ta có hệ phương trình sau :
MN .
1
a
= 0
MN .
1
a
= 0
 Giải hệ phương trình (*) tìm t và t’. Lấy t thế vào (d
1
) có tọa độ của M, t’ thế vào (d
2
) có tọa độ N.
 Lập phương trình đường thẳng MN đó chính là phương trình đường vuông góc chung cần tìm.

Phương pháp 2 :
 Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng (d
1
) và (d
2
) :
1
a (a
;
2
a
;
3

 Đường vuông góc chung cần tìm chính là giao tuyến của hai mp( ) và mp( ) .

MN = ( )
(*)
(d
1
)
M
N


(d
2
)

2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
u ; ;
b b b b b b

u là vectơ chỉ phương của
đường vuông góc chung
qua điểm A (d
1
)
qua điểm B (d

)
mp(P):
n a ,b

 Lấy điểm B (d
2
) và tính khoảng cách từ B đến mp(P) thì :

12
d ,d B,(P)
= BH
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
M ,( )
A B C

Phương pháp 3 :
(d
1
) đi qua A và có vectơ chỉ phương a
1

1. Chứng minh rằng 2 đường thẳng D và D’ không cắt nhau nhưng vuông góc với nhau
2. Viết phương trình đường vuông góc chung của D và D’ .
(Trích đề thi tuyển sinh khối D 2006)
Bài 2 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2x – y + 2z – 3 = 0 và 2 đường thẳng

1
x 4 y 1 z
(d ):
2 2 1
và
2
x 3 y 5 z 7
(d ):
2 3 2

a) Chứng tỏ (d
1
) song song với ( ) và (d
2
) cắt ( )
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
c) Viết phương trình đường thẳng ( ) // với mp( ), cắt (d
1
) và (d
2
) lần lượt tại M, N sao cho

2
) có phương trình :
qua điểm A (d
1
)
P
d
1
d
2
B



H



CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

3

1
x 1 y 2 z 3
(d ):
1 2 3
và
2
x 2y z 0
(d ):

) và (d
2
).
(Trích đại học Y Dược 1998)
Bài 5 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình :

1
x 2 y 3 z 4
(d ):
2 3 5
và
1
x 1 y 4 z 4
(d ):
3 2 1

a) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung (d) của (d
1
) và (d
2
).
b) Tìm tọa độ giao điểm H, K của (d) với (d
1
), (d
2
).

) và (d
2
) có phương trình :

1
x 1 t
(d ): y t
zt
và
2
x 2t'
(d ): y 1 t'
z t'

a) Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau .
b) Viết phương trình mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau, lần lượt chứa (d
1
) và (d
2
).
c) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
(Trích đề thi đại học Nông Lâm 1995)

).
(Trích đề thi đại học Sư Phạm Hà Nội 1998)
Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình :
1
x y 2z 0
(d ):
x y z 1 0
và
2
x 2 2t
(d ): y 5t
z 2 t

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

4
a) Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau .
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).

2
).
c) Viết phương trình đường thẳng ( ) song song với Oz và cắt cả hai đường thẳng (d
1
), (d
2
).
(Trích đề thi đại học Kinh Tế 1995)
Bài 11 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình :

1
x 2t 1
(d ): y t 2
z 3t 3
và
2
x t' 2
(d ): y 2t' 3
z 3t' 1

a) Chứng tỏ hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d

) qua điểm P
1
(1 ; 2 ; 1) có vectơ chỉ phương a
1
= (1 ; 0 ; 1), đường thẳng (d
2
)
đi qua điểm P
2
(0 ; 1 ; 2) có vectơ chỉ phương a
2
= (–1 ; –1 ; 0). Viết phương trình đường vuông
góc chung (d) của (d
1
) và (d
2
) (theo dạng giao tuyến của hai mặt phẳng).
(Trích đề thi Cao Đẳng Công Nghiệp 4 – 2000)
Bài 14 : Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2),
D(2 ; 2 ; 1).
a) Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
(Trích đề thi Trung Tâm Đào Tạo Cán Bộ Y Tế TPHCM – 1999)