Trang 1
)(xfx 
),(),( yxfyx 



n
ji
jiij
yxayxf
1,
),(














nnnn
n
n
Bij
aaa

,y) + f(x
2,
y)
 f( x,y) =  f(x,y)
 f(x,y
1
+y
2
) = f(x,y
1
) + f(x,y
2
)
 f(x,y) = f(x,y)
* Dạng song tuyến f(x,y) gọi là đối xứng nếu :
f(x,y) = f(y,x) , x,y  V
4.1.2. Biểu diễn dạng song tuyến
Cho f(x,y) là dạng song tuyến trên V và (e) = { e
1
, e
2
,… ,e
n
} là một cơ sở
của V. Khi đó, f(x,y) có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng : Trong đó:
a
ij


1,
),()(
2
112112
2
111
2 2)(
nnnnnnn
xaxxaxxaxaxQ 

22
222
2
111
)(
nnn
xaxaxaxQ 
Ma trận gọi là

ma trận của dạng song tuyến f(x,y) trong cơ sở (e).
o Nếu a
ji
= a
ij
, thì ta nói dạng song tuyến f(x,y) đối
xứng.
o Dạng song tuyến f(x,y) đối xứng  Ma trận A đối xứng.
4.2. Dạng tòan phương
4.2.1. Định nghĩa

2
+3x
2
2
+6x
3
2
-2x
1
x
2
+4x
2
x
3
+6x
1
x
3
là:
113
132
326
A









1,
)(
ji
nji
iji
n
i
ii
xxaxaxQ



1
2
1
2)(
)(')(
1
2
`11
xQxxQ 

)(')(
2
2
`221
xQxxQ 


4.2.3. 4.2.3 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Phương pháp Lagrange

 Dạng toàn phương

 Vì a
ij
= a
ji
nên ta có thể viết
Bước 1
: Nhóm các số hạng có chứa x
1
, thêm bớt để có một bình phương đủ :

trong đó Q
1
(x) chỉ chứa x
2
, x
3
,…, x
n

Bước 2
: Biến đổi Q
1

xxx x xxx
       
    

Bước 2:

22 2
123 2233
() ( (2 3 )) 2( 6 ) 5Qx x x x x xx x    

Trang 4

22 222
123 22333 3
222
123 23 3
((23))2( 2.39 9)5
( (2 3 )) 2( 3 ) 13
x
xx x xxx x x
xxx xx x
      
    

Đặt
11 2 3
22 3
33
(2 3 )
3

1

Giải
Vì
()Qx không chứa các số hạng bình phương nên ta đổi biến
112
212
33
x
yy
x
yy
xy









Khi đó
()Qx trở thành:
22
1132
() 2Qy y yy y . Bây giờ ta biến đổi Q(y) về
dạng chính tắc
2 222 222
1133321323

n
, x  0)
2. Dạng toàn phương Q(x) được gọi là nửa xác định dương ( hoặc nửa xác
định âm ) nếu Q(x)  0 , x  R
n
và x
o
 0 sao cho Q(x
o
) =0 ( hoặc Q(x)  0 ,
x  R
n
và x
o
 0 sao cho Q(x
o
) = 0 ).
3. Định lý 1. Cho A là ma trận của dạng toàn phương Q(x) và
i

( i =
1, n
) là
các định thức con chính của A .
 Dạng toàn phương Q(x) xác định dương 
i

> 0 ( i = 1, n )
 Dạng toàn phương Q(x) xác định âm 
i

21
2; 5; 2
13
A

    

.
Vì
123
0; 0; 0   , nên Q(x) xác định dương.
Ví dụ 2 Tìm các giá trị của

để dạng toàn phương sau xác định dương
22 2
12 3 12 13 23
() 5 2 2 4Qx x x x xx xx xx

   
Ta có:
11
12
12 5
A







0
5
0
540








 



       
 

 






Vậy với
4
0
5

 ( r < n )
 Q(x) nửa xác định dương  
i
> 0 ( i =
1, r
)
 Q(x) nửa xác định âm  
i
< 0 ( i = 1, r ) Trang 6
Ví dụ Đưa các dạng tòan phương sau đây về dạng chính tắc , xác định dấu và chỉ
ra phép biến đổi tọa độ tương ứng
a. Q(x) = x
1
2
+5x
2
2
+10x
3
2
-2x
1
x
2
+4x
2
x