Trang 1
Chương 3 : DẠNG TOÀN PHƯƠNG

3.1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH:
3.1.1 Định nghĩa :

Ánh xạ
mn
R Rf →: được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thoả hai tính chất sau:
1) )()()( yfxf yxf +=+ ,
n
R, ∈∀ yx
2) f(x) x) f
α
α
=( ,
n
R,∈∀x ,
n
R∈∀
α

Ghi chú
: khi n = m ánh xạ tuyến tính
nn
R Rf →: còn được gọi là phép
biến đổi tuyến tính
3.1.2 Tính chất
: Nếu
f
là ánh xạ tuyến tính thì:

23
: RRf → xác định bởi

),2(),,(
321321
xxxxxxf
−
=
Chứng tỏ
f là ánh xạ tuyến tính từ
3
R
vào
2
R
.
3.1.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính
:
1) Định nghĩa
: Cho ánh xạ tuyến tính
mn
RRf →:
Giả sử
n
R
và
m
R
lần lượt có cơ sở (u) =
{

nm × được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f nếu thoả :

2) Cách xác định ma trân A
:

3) Ma trận chính tắc
:
Nếu
{}
i
u (i = n,1 ) và
{}
i
v (i = m,1 ) là các cơ sở chính tắc thì ma trận A được
gọi là Ma trận chính tắc
và được xác định bởi : ⎥
⎦
⎤

⎡
)()(
)(
u
x
A
v
xf

A =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦

21 n
efefef
Trang 2
VD: Cho ánh xạ tuyến tính
34
: RRf → xác định bởi

)33,2,(),,,(
432143143214321
xxxxxxxxxxxxxxxf
−
+
+
−
+
+
+
−=
a) Tìm ma trận chính tắc của
f

b) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính
f đối với cơ sở (u)=
{}
4321
,,, uuuu và cơ sở
chính tắc (e) trong
3
R
, biết rằng :

x thì ta nói:
λ
là một giá trị riêng của A và
x
là vectơ
riêng của A ứng với giá trị riêng
λ
.
VD:
Cho ma trận A=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
23
21
với vectơ x = (2,3) ta có:
A.
[]
x =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
23
21

Vậy
λ
=4 là một giá trị riêng của A và x = (2,3) là một vectơ riêng của A ứng với giá trị
riêng
λ
=4.
3.2.2 Cách tìm giá trị riêng:

Giá trị riêng λ của ma trận A là nghiệm của phương trình đặc trưng :
IA
λ
− = 0 λ
λ
λ
−
−
−
⇔
n nnn
n
n
aaa
aaa
aaa

Ứng với một giá trị riêng λ của ma trận A, có vô số vectơ riêng.Tập hợp các vectơ riêng
này cùng với vectơ 0 tạo thành một không gian con của R
n
và được gọi là không gian con
riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ, ký hiệu
λ
E

VD: Tìm giá trị riêng, vectơ riêng, không gian con riêng và cơ sở của không gian con
riêng của ma trận:
Trang 3
A
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
201
030
312


1
, λ
2
, …, λ
n
}là các GTR , sang bước 2
Bước 2
: Tìm các vectơ riêng độc lập tuyến tính
• Số VTR đltt < n: không chéo hóa được
• Số VTR đltt = n: chéo hóa được, gọi {p
1
, p
2
, …, p
n
} là các VTR ,sang bước 3:
Bước 3
: SAS
1−
= C
•
Ma trận S làm chéo A : S = [ [p
1
][p
2
] …[p
n
] ]

•

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
201
030
312
, B =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
500
032
023

yxayxayxa
yxayxayxa B

2211
2222221221
1121121111
+++
+
++++
+
+
+=

=
∑∑
==
n
i
n
j
jiij
yxa
11

nếu ký hiệu :
⎥
⎥

⎣
⎡
=
n
y
y
y
Y

2
1
thì dạng song tuyến tính B có thể viết : A
Y
X
B
t
= Ma trận A được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính B.
VD: Dạng song tuyến tính :
B = 2
11
yx +
21
yx +
12
yx -3
22
yx +2

là biểu thức có dạng:

2
11
22
2
2221221
112112
2
111

nnnnn
nn
nn
xaxxa
xxaxaxxa
xxaxxaxaQ
+++
+
++++
+++=

=
∑∑
==
n
i

1
thì dạng toàn phương Q có thể viết Q = XA
X
t

3.4.2 Ma trận của dạng toàn phương:
Ma trận đối xứng A được gọi là ma trận của dạng toàn phương Q.
Trang 5
Ghi chú :Do
jiij
aa = và
ijji
xxxx
=
nên dạng toàn phương Q còn có thể viết thành:
Q =
=++++
∑
≤≤≤ nji
jiij
2
nnn
yxaxaxaxa
1
2
222
2

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
3
2
1
2
2
1
21
211

3.4.3 Dạng chính tắc của dạng toàn phương :
Dạng toàn phương chỉ có các số hạng bình phương .(
j ioa
ij
≠
=
, )
Ma trận của dạng chính tắc là ma trận chéo: A=
⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
400
030
0023.5 ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
:
Phương pháp Lagrange
:
Cho dạng toàn phương Q =
∑
=
+
n
i
2
iii
xa
1
∑
≤≤≤ nji

2
222
)( Qx ++
βα
trong đó
2
Q không chứa
2
x
Tiếp tục như trên ,nhiều nhất sau n bước ta được Q là tổng các bình phương :
Q =
2
111
)(
βα
+x +
2
222
)(
βα
+x +…+
2
)(
nnn
x
βα
+
Bước 3
: Đặt
iii

:
3.6.1 Định nghĩa : Cho dạng toàn phương Q(x).
Trang 6
* Q(x) xác định dương (hoặc xác định âm ) nếu Q(x)>0 (hoặc Q
)(x
<0 ) , 0, ≠∈∀ xRx
n* Q(x) nửa xác định dương (hoặc nửa xác định âm ) nếu Q(x)
≥ 0 (hoặc Q(x)≤ 0 ) ,

0)(0,,
000
=≠∈∃∈∀ xQ cho saoxRxRx
nn

3.6.2 Định lý 1: (tiêu chuẩn Sylvester)
Cho dạng toàn phương Q(x) có ma trận A.Gọi
i
Δ
( ni ,1= ) là các định thức con
chính của A
* Q(x) xác định dương
⇔
i
Δ
> 0 ( ni ,1= )
* Q(x) xác định âm
⇔

2'2'
22
2'
11
nrxxx
rr
<+++
ααα
thì :
* Q(x) nửa xác định dương
⇔
i
Δ
> 0 ( ri ,1= )
* Q(x) nửa xác định âm
⇔
i
Δ
<0 ( ri ,1= )
VD: Đưa dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc, chỉ ra phép biến đổi toạ độ tương
ứng và xác định dấu của nó trong R
3

a)
Q =
323121
2
3
2
2