1
Chương 2
Phân tích độ phức tạp của một số
giải thuật sắp thứ tự và tìm kiếm
2
Nội dung
1. Vài phương pháp sắp thứ tự căn bản
2. Quicksort
3. Xếp thứ tự dựa vào cơ số
4. Xếp thứ tự bằng phương pháp trộn
5. Xếp thứ tự ngoại
6. Vài phương pháp tìm kiếm căn bản
3
Nguyên tắc về sắp thứ tự
Xét những phương pháp sắp thứ tự một tập tin gồm các
mẩu tin (record) có chứa khóa (key). Khóa mà là một phần
của mẩu tin, được dùng để điều khiển việc sắp thứ tự.
Mục tiêu: sắp xếp các mẩu tin sao cho các trị khóa của
chúng có thứ tự theo một qui luật thứ tự nào đó.
Nếu các tập tin được sắp thứ tự có thể chứa trong bộ nhớ
chính thì giải thuật sắp thứ tự được gọi là sắp thứ tự nội
(internal sorting).
Việc sắp thứ tự tập tin lưu ở bộ nhớ phụ được gọi là sắp thứ
tự ngoại (external sorting).
4
Hai nhóm phương pháp sắp thứ tự
Chúng ta quan tâm đến thời gian tính toán của các
giải thuật sắp thứ tự.
1. Một nhóm gồm 4 phương pháp căn bản đòi hỏi
thời gian tính toán tỉ lệ với N
2


205 205
45 390 390 390

235
235 235 235 235 390
7
Giải thuật sắp thứ tự bằng phương pháp chọn
procedure selection;
var i, j, min, t: integer;
begin
for i :=1 to N-1 do
begin
min :=i;
for j :=i+1 to N do
if a[j]<a[min] then min :=j;
t :=a[min]; a[min] :=a[i];
a[i] :=t;
end;
end;
8
Phân tích độ phức tạp của selection sort
Vòng lặp trong (tác vụ so sánh) được thực hiện với
tổng số lần như sau:
(N-1)+(N-2)+ +1 =N(N-1)/2
=O(N
2
)
Vòng lặp ngoài được thực thi N-1 lần.
Tính chất 1.1: Selection sort thực thi khoảng N hoán

11
Những lưư ý về giải thuật insertion sort
1. Chúng ta dùng một trị khóa “cầm canh” (sentinel) tại
a[0], làm cho nó nhỏ hơn phần tử nhỏ nhất trong mảng.
2. Vòng lặp ngoài của giải thuật được thực thi N-1 lần.
Trường hợp xấu nhất xảy ra khi mảng đã có thứ tự đảo
ngược. Khi đó, vòng lặp trong được thực thi với tổng số
lần sau đây:
(N-1) + (N-2) + + 1 =N(N-1)/2
=O(N
2
)
Số bước chuyển = N(N-1)/2 Số so sánh = N(N-1)/2
3. Trung bình có khoảng chừng (i-1)/2 so sánh được thực
thi trong vòng lặp trong. Do đó, trong trường hợp trung
bình, tổng số lần so sánh là:
(N-1)/2 + (N-2)/2 + + 1/2 =N(N-1)/4
=O(N
2
)
12
Độ phức tạp của sắp thứ tự bằng phương pháp
chọn và phương pháp chèn
Tính chất 1.2: Sắp thứ tự bằng phương pháp chọn
thực thi khoảng N
2
/2 so sánh và N
2
/4 hoán vị trong
trường hợp xấu nhất.

với nhau.
Giải thuật có cấu trúc như sau:
procedure quicksort1(left,right:integer);
var i: integer;
begin
if right > left then
begin
i:= partition(left,right);
quicksort(left,i-1);
quicksort(i+1,right);
end;
end;
15
Phân hoạch
Phần then chốt của Quicksort là thủ tục phân hoạch
(partition), mà sắp xếp lại mảng sao cho thỏa mãn 3 điều
kiện sau:
i) phần tử a[i] được đưa về vị trí đúng đắn của nó, với một
giá trị i nào đó,
ii) tất cả những phần tử trong nhóm a[left], , a[i-1] thì nhỏ
hơn hay bằng a[i]
iii) tất cả những phần tử trong nhóm a[i+1], , a[right] thì
lớn hơn hay bằng a[i]
Example:
53 59 56 52 55 58 51 57 54
52 51 53 56 55 58 59 57 54
16
Thí dụ về phân hoạch
Giả sử chúng ta chọn phần tử thứ nhất hay phần tử tận cùng
trái (leftmost ) như là phần tử sẽ được đưa về vị trí đúng của

thức truy hồi:
C
N
= 2C
N/2
+ N.
Số hạnh 2C
N/2
là chi phí của việc sắp thứ tự hai nửa tập tin
và N là chi phí của việc xét từng phần tử khi phân hoạch lần
đầu.
Từ chương 1, việc giải hệ thức truy hồi này đã đưa đến lời
giải:
C
N
 N lgN.
19
Phân tích độ phức tạp: trường hợp xấu nhất
Một trường hợp xấu nhất của Quicksort là khi tập tin đã có
thứ tự rồi.
Khi đó, phần tử thứ nhất sẽ đòi hỏi n so sánh để nhận ra
rằng nó nên ở đúng vị trí thứ nhất. Hơn nữa, sau đó phân
đoạn bên trái là rỗng và và phân đoạn bên phải gồm n – 1
phần tử. Do đó với lần phân hoạch kế, phần tử thứ hai sẽ
đòi hỏi n-1 so sánh để nhận ra rằng nó nên ở đúng vị trí thứ
hai. Và cứ tiếp tục như thế.
Như vậy tổng số lần so sánh sẽ là:
n + (n-1) + … + 2 + 1 = n(n+1)/2 =
(n
2

21
Chú ý rằng, C
0
+ C
1
+ … + C
N-1
thì giống hệt
C
N-1
+ C
N-2
+… + C
0
, nên ta có
N
C
N
= (N+1) + (1/N)  2C
k-1
1
Ta có thể loại trừ đại lượng tính tổng bằng cách nhân cả hai vế
với N và rồi trừ cho cùng công thức nhân với N-1:
NC
N
– (N-1) C
N-1
= N(N+1) – (N-1)N + 2C
N-1
Từ đó ta được

 2NlnN
23
Độ phức tạp trường hợp trung bình của
Quicksort (tt.)
Vì ta có:
lnN = (log
2
N).(log
e
2) =0.69 lgN
2NlnN  1.38 NlgN.
Tổng số so sánh trung bình của Quicksort chỉ khoảng
chừng 38% cao hơn trong trường hợp tốt nhất.
Mệnh đề. Quicksort cần khoảng 2NlnN so sánh trong
trường hợp trung bình.
24
Khử đệ quy giải thuật Quicksort
procedure quicksort3;
var t, i, left, right : integer;
begin
left :=1; right:= N;
stackinit;
push(left); push(right);
repeat
if right > left then
begin
i=: partition(left,right);
if (i –left) > (right –i) then
begin push(left); push(i-1);
left := i+1 end