Bài tập Phương pháp Toán Lý

Trang
1
Ngày 21-02-2012

Bài tập
PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ

Phương trình truyền sóng

1. Vẽ dạng của dây vô hạn dao động tự do nếu vận tốc ban đầu bằng không,
còn độ lệch ban đầu được cho bởi:
( )







>
≤<−
≤<−
≤
=
3 0
32 3
21 1
1 0
0,

=
x
,
1
=
x
,
1
−
=
x
( khi nào bắt đầu dao động, khi nào thôi ), biết vận
tốc truyền sóng
2
=
a
.

2. Vẽ dạng của dây nửa vô hạn, gắn chặt ở đầu mút, dao động tự do, biết
rằng vận tốc ban đầu bằng không, độ lệch ban đầu được cho bởi:
( )







+∞≤≤
≤≤−

4
5
,
a
l
2
3
,
a
l
4
7
,
a
l
4
9
.

3. Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút
0
=
x
,
lx
=
, biết độ lệch ban đầu được cho bởi:
( )
(
)

ππ
π
12
cos
12
sin
12
132
,
0
33
++
+
=
∑
∞
=
.

4. Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút
0
=
x
,
lx
=
, biết độ lệch ban đầu bằng không, và vận tốc ban đầu được cho bởi:

( )
( )


trong đó
0
v
là hằng số dương và
2
2
π
π
−<< lc
.

Đáp số:
( )
l
atk
l
xk
l
k
k
l
k
l
ck
a
v
txu
k
ππ

còn một mút tự do, biết các điều kiện ban đầu:
(
)
xfu
t
=
=0
,
( )
xF
t
u
t
=
∂
∂
=0
.

Đáp số:
( )
(
)
(
)
(
)
l
xn
l

∞
=

với
( )
(
)
dx
l
xn
xf
l
a
l
n
∫
+
=
0
2
12
sin
2
π
,
( )
( )
(
)
dx

b
l
atn
adxxtFxf
l
txu
n
nn
l
πππ
cossincos
1
,
1
0
∑
∫
∞
=






+++=

với
( )
dx

.

7. Một thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén nên độ dài của nó còn lại là
2l(1 - ε). Lúc t = 0, người ta buông ra. Chứng minh rằng độ lệch u của thiết
diện có hoành độ x ở thời điểm t được cho bởi:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
l
atn
l
xn
n
l
txu
n
n
2
12
cos
2
12
sin
12
18

,
(
)
0
,
=
∂
∂
x
tlu
,
(
)
xxu
ε
−
=
0,
,
(
)
0
0.
=
∂
∂
t
xu
.



Đáp số:
( ) ( )
l
xn
tqbtqatxu
n
nnnn
π
sinsincos,
1
∑
∞
=
+=

2
2
222
h
l
an
q
n
−=
π
,
( )
dx
l

0
sin
2
π
.
Hướng dẫn: Phương trình dao động là:
2
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
h
t
u
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
.


A
txu
n
n
ππ
π
ω
ω
ω
ω
ω
sinsin
12
sin
sinsin
,
1
2
2
1
∑
∞
=
−







tlv
,
(
)
(
)
0,0, xwxv
−
=
,
(
)
(
)
t
xw
t
xv
∂
∂
−=
∂
∂
0,0,
.

10. Tìm dao động dọc của một thanh đồng chất có một mút cố định, còn mút
kia chịu tác dụng của lực Q (lên một đơn vị diện tích) dọc theo thanh, biết rằng
độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không.


l
xn
l
atn
E
Ql
x
E
Q
txu
π
π
π
.

14. Một màng hình vuông đồng chất lúc
0
=
t
có độ lệch được xác định bởi
(
)
(
)
(
)
ybxbAxyyxu −−=0,,
, trong đó
bx
≤

b
xn
Ab
tyxu
n
π
π
π
π
22
0
226
4
1212cos
1212
12
sin
12
sin
64
,, +++
++
+
+
=
∑
∞
=

15. Một màng hình chữ nhật

σ
là lân cận của tâm của màng.
Hãy xác định dao động của màng.

Đáp số:
( ) ( )
∑
∞
=
Ψ






Ψ
=
1,
sin,
2
,
2
4
,,
nk
knkn
kn
kn
atyx




=
m
n
l
k
kn
µ
.
Phương trình truyền nhiệt

1. Tìm nghiệm của phương trình:
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂






≤<
≤<
=
lx
l
l
l
xx
xu
2
x -
2
0
0,
nÕu
nÕu
.

Đáp số:
( )
(
)
( )
(
)

n
l
xn
l
tan
n
l
txu
ππ
π2. Một thanh đồng chất có độ dài l , hai mút được giữ ở nhiệt độ không,
nhiệt độ ban đầu trong thanh được cho bởi:
(
)
2
0
l
xlcx
u
t
−
=
=
,
Hãy xác định phân bố nhiệt độ trong thanh tại thời điểm t > 0.

Bài tập Phương pháp Toán Lý


12
sin
12
exp
12
18
,
n
l
xn
l
tan
n
c
txu
ππ
π3. Một thanh đồng chất có độ dài l , mút x = 0 được giữ ở nhiệt độ không,
còn tại mút x = l có sự trao đổi nhiệt với môi trường ngoài giữ ở nhiệt độ
không. Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh ở thời điểm t > 0 biết rằng nhiệt độ
ban đầu trong thanh được cho bởi
(
)
xu
t
ϕ
=
=0

1
2
,
0
1
2
2
2
2
2
2
∫
∑
∞
=








−
++
+
=

trong đó
1


Đáp số:
( )
(
)
(
)
∑
∞
=
+






+
−+=
0
2
22
2
0
2
12
cos
4
12
exp,

=
∫
n
u
dx
l
xn
x
l
a
n
l
n
.
Hướng dẫn: Tìm u(x,t) có dạng u(x,t) = u
0
+ v(x,t).

5. Tìm phân bố nhiệt độ trong một thanh đồng chất, biết nhiệt độ ban đầu
bằng không, nhiệt độ tại mút x = l bằng không, còn nhiệt độ tại mút x = 0
được cho bởi u(0,t) = At.

Đáp số:
( )
∑
∞
=








−






−=
1
2
222
223
2
23
2
2
sinexp
12
23
6
1,
n
l
xn
l
tan

6. Cũng bài toán như bài 5, nhưng u(0,t) = 4Asin
ω
t.

Đáp số:
( )
∑
∞
=








−−






−=
1
2
222
sinexp
2




=
l
n
d
l
an
a
0
2
cosexp
τωττ
π
. 7. Tìm nghiệm của phương trình:
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂









−−
−
−
+=
1
2
22
222
2
sinexp
12
,
n
n
t
l
xn
t
l
tn
lnn
Al

(
)
(
)
yxyxu ,0,,
ϕ
=
.

Đáp số:
( )
∑
∞
=














+−=
1,

pq
A
p q
mn
π
π
ϕ
sinsin,
4
0 0
∫ ∫
=
.

9. Tìm hàm điều hoà trong miền hình chữ nhật
{
}
mylxD
≤
≤
≤
≤
=
0 ; 0
thoả
mãn điều kiện biên sau:
(
)
(
)

(
)
0,0
=
yu
,
(
)
0,
=
ylu
,
( )
l
x
Bxu
π
sin0, = ,
(
)
0,
=
mxu
.

11. Tìm nghiệm của phương trình Laplace trong miền hình chữ nhật
{
}
mylxD
≤

}
mylxD
≤
≤
≤
≤
=
0 ; 0
thoả
mãn điều kiện biên sau:
Bài tập Phương pháp Toán Lý

Trang
7
Ngày 21-02-2012

(
)
Ayu
=
,0
,
(
)
Ayylu
=
,
,
(
)


14. Đưa phương trình sau về dạng chính tắc:
(
)
0'"1"
=
+
+
+
xyyxx
uuyu
.

15. Đưa phương trình sau về dạng chính tắc:
0'
'
""
2
2
=+++
y
x
yyxx
u
y
u
uyu
.

12. Tính tích phân:

r
là pháp tuyến ngoài đối với S.

13.Tìm mô men quán tính của mặt chỏm cầu đồng chất có phương trình
2222
Rzyx =++ bị cắt bởi mặt phẳng
H
z
=
( chỏm phía trên ) đối với trục 0z .
Biết tỷ khối mặt không đổi và bằng đơn vị. 14.Tìm toạ độ trọng tâm của phần mặt nón
2
2
2
22
z
H
R
yx =+
bị cắt bởi mặt phẳng
H
z
=
. Biết tỷ khối mặt không đổi và bằng đơn vị.