BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
KIỀU THỊ NGỌC ÁNH
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH
VẬT LÝ TOÁN PHẦN DAO ĐỘNG TỰ DO
CỦA SỢI DÂY KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
SƠN LA - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KIỀU THỊ NGỌC ÁNH

Sơn La, tháng 5 năm 2013
Sinh viên thực hiện

Kiều Thị Ngọc Ánh

MỤC LỤC

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Giả thuyết khoa học 2
5. Phương pháp nghiên cứu 2
6. Cấu trúc của khóa luận 2
7. Kế hoạch nghiên cứu 3
PHẦN HAI: NỘI DUNG 4
Chương I: CƠ SỞ TOÁN HỌC 4
1.1. Phương trình vi phân tuyến tính 4
1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 4
1.1.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 4
1.1.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi
4
1.1.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất có hệ số
không đổi 5
1.2. Chuỗi Fourier 6
1.2.1. Khái niệm chuỗi Fourier 6
1.2.2. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier 7
1.2.3. Hàm chẵn và hàm lẻ 9
1.2.4. Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier 10


PHẦN BA: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 69
1. Các kết quả đạt được 69
1.1. Trình bày chi tiết cơ sở khoa học 69
1.2. Lập bảng phân loại các dạng bài tập về phương trình dao động của sợi
dây………………………………………………………………………………….69
1.3. Phân tích 3 phương pháp kèm ví dụ minh họa 69
1.4. Áp dụng kết quả thu được vào việc giải bài tập 69
2. Các vấn đề còn tồn tại và cần tìm hiểu tiếp theo 69
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 71
1
PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giữa vật lý và toán học luôn luôn có mối quan hệ hết sức mật thiết. Vật lý học
sử dụng công cụ toán học và luôn luôn đặt ra những yêu cầu mới, làm nảy sinh
nhiều ngành toán học mới. Ngược lại sự phát triển của vật lý học phụ thuộc đáng kể
vào sự phát triển của toán học vì toán đã trở thành một công cụ hết sức mạnh mẽ
của việc nghiên cứu vật lý lý thuyết.
Trong bộ môn phương trình Vật lý- Toán có sự giao thoa giữa toán và vật lý,
do đó nó đã và đang được giảng dạy trong các trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
khoa Vật lý của các trường Sư phạm, nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức
toán cần thiết và các kỹ năng sử dụng toán như một công cụ để học cũng như để
nghiên cứu vật lý.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm tài liệu.
- Nghiên cứu kỹ lý thuyết và từ đó đưa ra phương pháp giải ứng với từng bài
tập cụ thể về phần dao động tự do của sợi dây.
6. Cấu trúc của khóa luận
- Phần một: Mở đầu.
- Phần hai: Nộidung.
 Chương I: Cơ sở toán học.
 Chương II: Một số phương pháp giải phương trình dao động tự do của sợi
dây.

3
 Chương III: Một số bài tập mẫu.
- Phần ba: Kết luận và đề nghị.
7. Kế hoạch nghiên cứu
- Từ tháng 9/2012 đến tháng 10/2012: Sưu tầm tài liệu, hoàn thành đề cương
chi tiết.
- Từ tháng 11/2012 đến tháng 1/2013: Nghiên cứu lý thuyết, phân loại các bài
tập, xây dựng phương án giải bài tập phần dao động tự do của sợi dây.
- Từ tháng 2/2013 đến giữa tháng 3/2013: Viết khóa luận, xin ý kiến tham
khảo.
- Từ giữa tháng 3/2013 đến hết tháng 4/2013: Chỉnh sửa và hoàn thiện khóa
luận.
- Tháng 5/2013: Bảo vệ khóa luận.

4
PHẦN HAI: NỘI DUNG
Chương I: CƠ SỞ TOÁN HỌC

1.1. Phương trình vi phân tuyến tính

)
 Bước 2: Biến thiên hệ số, đặt
 
1
C = C x

thay
 
 
- p x dx
1
y = C x e

vào (1.1)
ta có
 
- p x dx
1
C = C(x)e dx + K



 Bước 3: Nghiệm của phương trình là:
   
 
 
- p x dx - p x dx p x dx
y = Ke + e C x e dx
  


kx
2
y = e
.
Do đó:
12
k x k x
12
y=C e +C e
với C
1
, C
2
là các hằng số tùy ý
 Nếu k
1
và k
2
là các nghiệm thực trùng nhau. Khi đó 2 nghiệm riêng của
phương trình độc lập tuyến tính với nhau có dạng:
1
kx
1
y = e
,
 
21
y = u x y

Thay

,
 
α - iβ x
2
y = e

Sử dụng công thức Euler, ta có:
 
αx
1
y = cosβx + isinβ e
,
 
αx
2
y = cosβx - isinβx e

Do
1
y
,
2
y
là các nghiệm riêng của (1.3) nên:
αx
12
y + y
y = = e cosβx
2
,

6

*
y
là một nghiệm riêng của phương trình (1.5).
Khi f(x) có dạng đặc biệt thì nghiệm y
*
này được xác định như sau:
 Trường hợp 1:
αx
n
f(x) = e P (x)
(1.6)
Trong đó
α
là hằng số thực,
n
P (x)
là đa thức bậc n của x.
+ Nếu
α
không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm
riêng của phương trình có dạng:
* αx
n
y = e Q (x)
. (1.7)
+ Nếu
α
là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm riêng

m
P (x)
và
n
P (x)
là các đa thức bậc m, n;
α, β
là hằng số thực.
+ Nếu
α ± iβ
không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) thì một
nghiệm riêng của phương trình có dạng:
 
* αx
11
y = e Q (x)cosβx + R (x)sinβx
. (1.10)
+ Nếu
α ± iβ
là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm riêng
của phương trình có dạng:
 
* αx
11
y = xe Q (x)cosβx + R (x)sinβx
. (1.11)
Trong đó:
11
Q (x), R (x)
là các đa thức bậc

dưới dạng chuỗi:
0 n n
n = 1
nπx nπx
f(x) = a + a cos + b sin
LL





(1.12)
(1.12) được gọi là chuỗi lượng giác Fourier biểu diễn hàm f(x) trong khoảng (-L,L)
Các hằng số
0n
a , a
và
n
b
được gọi là các hệ số Fourier của chuỗi, trong đó:
 
L
0
2
-L
f,l
1
a = f(x)dx
2L
l

b = f(x)sin dx
LL
nπx
sin
L





.
1.2.2. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier
 Điều kiện Dirichlet để tồn tại một chuỗi Fourier là:
- Hàm f(x) phải đơn trị và tuần hoàn với chu kỳ 2L
- Hàm f(x) có một số hữu hạn các cực đại và cực tiểu, một số hữu hạn các
điểm gián đoạn trong khoảng (-L,L).
 Giả sử khoảng (-L,L) là khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x). Chuỗi Fourier xác
định ở điểm x ngoài khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x), khi đó cho phép khai triển
tuần hoàn hàm f(x) xác định ngoài khoảng Fourier đầy đủ.

8
 Dấu bằng (=) trong biểu thức (1.12) có thể được trình bày bằng dấu gần bằng
(), có nghĩa là "tương đương với ", bởi vì chuỗi bên phải không phải hội tụ thành
hàm f(x) đối với mọi giá trị của x. Chuỗi Fourier chỉ biểu diễn hàm f(x) trong
khoảng Fourier đầy đủ.
Một cách chọn khác, người ta có thể xác định hàm
f(x)
là sự mở rộng của hàm
f(x) bên ngoài khoảng Fourier đầy đủ. Như vậy, hàm
f(x)

00
f x = limf x - ε f x = limf x + ε






Nếu hàm f(x) và hàm
 
fx

là hàm liên tục từng khúc trong khoảng (-L,L) thì
biểu diễn chuỗi Fourier của hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện:
 Hội tụ về hàm f(x) tại điểm mà hàm f(x) là liên tục.
 Hội tụ về đoạn mở rộng tuần hoàn của hàm f(x) nếu x ở ngoài khoảng
Fourier đầy đủ.
+ Tại điểm x
0
có bước nhảy gián đoạn hữu hạn thì biểu diễn chuỗi Fourier của
hàm f(x) hội tụ về
   
+-
00
1
f x +f x
2


là giá trị trung bình của giới hạn trái và phải

 Chuỗi có dạng:
0 n n
n = 1
nπx nπx
a + a cos + b sin
LL




Có thể viết dưới dạng:

0 n n
n = 1
nπx
a + C sin +
L







Trong đó:
22
n n n

 Nếu f(x) là một hàm chẵn của x thì
   
LL
-L 0
f x dx = 2 f x dx


Thật vậy, vì f(x) là hàm chẵn nên
f(-x) = f(x)
, do đó:
           
L 0 L L L L
-L -L 0 0 0 0
f ξ dξ = f ξ dξ + f ξ dξ = f ξ dξ + f ξ dξ = 2 f ξ dξ
     10
 Nếu f(x) là hàm lẻ của x, tức là
f(-x) = - f(x)
thì
 
L
-L
f x dx = 0


Thật vậy:
         
L 0 L L L

f x = a + a cos
L


, 0 < x < L
trong đó a
0
và a
n
được xác định theo công thức:
 
L
0
0
1
a = f x dx
L

;
 
L
n
0
2nπx
a = f x cos dx
LL

.
1.2.4. Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier
1.2.4.1. Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác

n
2
-L
nπx
f,cos
1nπx
L
a = f(x)cos dx
LL
nπx
cos
L





.
L
n
2
-L
nπx
f,sin
1nπx
L
b = f(x)sin dx
LL
nπx
sin


và
 
L
n
-L
1nπx
B = f x sin dx
LL

.
Ngoài ra, trong một số trường hợp dạng của hàm f(x) được xác định như sau:
 Trường hợp 1: Hàm f(x) xác định trong khoảng



x



2L
Với
   
f x + 2L = f x
có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như
sau:
0 n n
n = 1
nπx nπx
f(x) = a + a cos + b sin


. 12
 Trường hợp 2: Hàm f(x) xác định trong khoảng
 
,



Hàm f(x) có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như sau:

0 n n
n = 1
f(x) = a + (a cosnx + b sinnx)



Các hệ số được xác định như sau:
π
0
-π
1
a = f(x)dx
2π

.
π
n

2π




-
1
B(β) = f(x)sinαxdx
2π




- - - -
11
f(x) = f(ξ)(cosαξcosαx + sinαξsinαx)dξ dx = f(ξ)cosα(x - ξ)dξ dx
2π 2π
   
   
   
   
   
   

Dạng phức của chuỗi Fourier được xác định bằng đồng nhất thức Euller:
inπx
L
nπx nπx
e = cos + isin
LL

A
A -iB
f x = + e + e + e - e
2 2 2


   

   

   

   
inπx -inπx
0
LL
n n n n
n = 1 n = 1
A
11
= + A - iB e + A + iB e
2 2 2


.
Các hằng số được xác định như sau:
 

.
     
L
- n n n
-L
1 1 nπx nπx
C = A + iB = f x cos + if x sin dx
2 2L L L




 
L
inπx
L
-L
1
= f x e dx
2L

.
Như vậy:
 
inπx -inπx
LL
0 n -n
n = 1 n = 1
f x = C + C e + C e


C = f x e dx
2L

.
1.3. Phương trình sóng một chiều
1.3.1. Đại cương về phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình toán lý
Phương trình đạo hàm riêng cấp m là phương trình có dạng:

14
1n
2 2 m
kk
2
1 n 1 1 2 1 n
u u u u u
F x,u, , , , , , , 0
x x x x x x x

    


      

.
trong đó:
 F là hàm nhiều biến.

1 2 n
x = (x , x , , x )
là vectơ trong không gian Euclide n chiều R

    
     
(1.14)
trong đó A, B, C, D, E, F, G là các hàm chỉ phụ thuộc vào x, y.
Nếu các hệ số của phương trình không phụ thuộc vào x, y thì nó là phương trình
tuyến tính với hệ số hằng. Phương trình gọi là tuyến tính thuần nhất khi
 
G x,y =0
. 15
1.3.2. Phân loại phương trình toán lý
Nhờ phép biến đổi thích hợp ta có thể đưa phương trình (1.14) về một trong ba
dạng sau.
1.3.2.1. Phương trình Hyperbolic
Nếu
2
AC - B < 0
trong một miền nào đó thì phương trình (1.14) có thể viết
được dưới dạng:
22
1 1 1 1
22
u u u u
- + D + E + Fu = G (ξ,η)
ξ η ξ η
   
   
(1.15)

thường có dạng sau:
a. Điều kiện Dirichlet: Sự di chuyển của các đầu dây có dạng
x = 0 1
x = l 2
B(u) = u(0,t) = g (t)
B(u) = u(l,t) = g (t)
16
b. Điều kiện biên Neumann: Đạo hàm của các đầu dây có dạng
x = 0 3
x = l 4
u(0,t)
B(u) = = g (t)
x
u(l,t)
B(u) = = g (t)
x





c. Điều kiện biên Robin: Còn được gọi là điều kiện biên hỗn hợp, là tổ hợp
tuyến tính của hai điều kiện biên trên, tức là độ dịch chuyển và độ dốc trên các đầu
dây có dạng:
   
 
5

là vectơ pháp tuyến đơn vị.
Điều kiện ban đầu cho bài toán dao động của dây là hình dạng ban đầu và vận
tốc ban đầu:
u(x,0) = f(x)
;
 
 
u x,0
= F x
t



1.3.2.2. Phương trình Parabolic
Nếu
2
AC - B = 0
trong một miền nào đó thì phương trình (1.14) có thể viết
được dưới dạng:
2
2 2 2 2
2
u u u
+ D + E + F u = G (ξ,η)
ξ ξ η
  
  
(1.17)
Phương trình Parabolic còn được gọi là phương trình truyền nhiệt. Ta đã biết
nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp theo ba cách: quá trình

3 3 3 3
22
u u u u
+ + D + E + Fu = G (ξ,η)
ξ η ξ η
   
   
(1.19)
Phương trình Eliptic đóng vai trò quan trọng trong các ngành khoa học và
công nghệ liên quan đến các bài toán dừng. Phương trình này mô tả các hiện tượng
dừng nghĩa là các trạng thái không thay đổi theo thời gian
Phương trình (1.19) được gọi là phương trình Eliptic. Dạng đơn giản nhất của
phương trình Eliptic là phương trình Laplace:
22
22
uu
+ = 0
tx



nghĩa là
3 3 3 3
D = E = F = G 0
.
 Chú ý: Các phương trình vi phân đạo hàm riêng thường có vô số nghiệm, vì vậy
ta phải đặt thêm các điều kiện phụ sau để xác định nghiệm của chúng.
+ Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc
t = 0
.

0< x <+

Hữu hạn
0< x <L
Tính chất vật lí
của dao động
(đặc điểm toán
học của phương
trình)
Dao động tự do
(không có ngoại lực tác dụng)
(phương trình thuần nhất)
2
tt xx
u - a u = 0
 

Dao động cưỡng bức (có ngoại
lực tác dụng) (phương trình
không thuần nhất)

2
tt xx
u - a u = G(x,t)
 

Điều kiện ban đầu
Độ lệch ban đầu
t = 0
u(x,t) = 0

x
u


x x = 0
u (x,t) = 0

,
x x = l
u (x,t) = 0


x x = 0
u (x,t) = α

,
x x = l
u (x,t) = β


Cho giá trị trên biên của
x
αu +βu


 
x x = 0
αu + βu = φ(t)
