1

BÀI GIẢNG TÓM TẮT

MÔN TOÁN C2
(GV: Trần Ngọc Hội - 200
9)

CHƯƠNG 2 ĐỊNH THỨC

§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CĂN BẢN
1.1. Đònh nghóa:
Cho A = (a
ij
) là một tam trận vuông cấp n với hệ số trong R. Ta đònh nghóa
đònh thức của A, ký hiệu detA hay ⏐A⏐, là một số phức có được bằng quy nạp
theo n như sau:
a) Với n = 1 thì A có dạng A = (a). Ta đặt:
det A = a
b) Với n = 2 thì A có dạng
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

Ta đặt:
22 23 12 13 12 13
11 21 31
32 33 32 33 22 23
11 22 33 23 32 21 12 33 13 32 31 12 23 13 22
aa aa aa
det A a a a
aa aa aa
a(aa aa) a(aa aa)a(aa aa)
=−+
=−−−+−2
d) Tổng quát, giả sử đònh thức của các ma trận vuông cấp (n – 1) đã được
đònh nghóa. Với mỗi cặp (i,j): 1 ≤ i, j ≤ n, gọi A(i,j) là ma trận vuông cấp (n – 1)
có được từ A bằng cách bỏ dòng i, cột j:
11 1j 1n
i1 ij in
n1 nj nn
a a a

a a a
A

a a a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟

21
+ … + a
n1
A
n1
=
1i
n
1i
1i
Aa
∑
=

Ví dụ: Ta có:
1)
1sincos
cossin
sincos
22
=θ+θ=
θθ−
θθ

2)
21 2
354 28
412
−
=−

a
21
a
32
+ a
13
a
21
a
32
– a
13
a
22
a
31
– a
12
a
21
a
33
– a
11
a
23
a
32

Ví dụ: Tính:

⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

Ta có công thức khai triển detA theo dòng i:

detA = a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ + a
in
A
in
=
ik
n
1k

⎜
⎟
⎜⎟
⎝
⎠

detA = a
1j
A
1j
+ a
2j
A
2j
+ + a
nj
A
nj
=
n
kj kj
i1
aA
=
∑

trong đó A
kj
(1 ≤ k ≤ n) là phần phụ đại số của hệ số a
kj

21 22
11 22 nn
n1 n2 nn
a a a
0 a a
a a a

0 0 a
a0 0
aa 0
a a a

a a a
=
=1.4. Đònh lý:
Cho A, B là hai ma trận vuông có cùng cấp n. Khi đó:
1) det(A
T
) = det(A);
2) det(AB) = (detA) (detB);
3) det(A
k
) = (detA)
k
với mọi k ≥ 1.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com


′
=
α
.
3) Nếu e thuộc loại 3 (d
i
: = d
i
+ βd
k
, i ≠ k) thì
detA' = detA
4) Nếu e là phép biến đổi có dạng:
d
i
: = αd
i
+ β
1
1
k
d
+ + β
r
r
k
d

(α ≠ 0; k
1

hệ số đó. Sau đó khai triển đònh thức theo dòng hay theo cột tương ứng.
d) Dùng các phép biến đổi sơ cấp sao cho đònh thức mới có dòng i hoặc cột j
nào đó có chứa nhiều số 0 hoặc những hệ số của chúng có thừa số chung khác 1
(hoặc xuất hiện một hệ số thật thuận tiện để khử các hệ số khác).

Ví dụ: Ta tính được các đònh thức sau:

137
1) 2 6 8 594
512 4
−=−
−
;
23 45
3524
2) 2858
543 2
42 5 3
−
−
=−
−
−

11/21/3
1
3)1/2 1/3 1/4
2160
1/3 1/4 1/5
=

−
=

trong đó adj(A) là ma trận phó của A, đònh bởi:
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

7
T
11 1j 1n
i1 ij in
n1 nj nn
A A A

A A A
adj(A)

A A A
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

với A
ij
là phần phụ đại số của a

⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
141319
835
522
A
b)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1551
1041
631
A


−−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

Suy ra

8
1
10 15 6
1
AadjA594
det A
121
−
−
⎛⎞
⎜⎟
==−−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
§3. QUY TẮC CRAMER
Xét hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn.
AX = B (4)
trong đó:
A =
11 12 1n

x
x
X

x
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Với mỗi 1≤ j ≤ n, gọi A
j
là ma trận có từ A bằng cách thay cột j bởi B, ta có:
1 12 1n 11 1 1n 11 12 1
2 22 2n 21 2 2n 21 22 2
12 n
nn2 nn n1n nn
b a a a b a a a b
b a a a b a a a b
A ; A ; ;A

b a a a b a
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
== =
⎜⎟⎜⎟

3) Nếu Δ = 0 và Δ
j
= 0 với mọi 1 ≤ j ≤ n thì hệ AX = B có thể vô nghiệm, có
thể có vô số nghiệm).

Chú ý: Trong trường hợp 3, để biết chính xác tập nghiệm của hệ AX = B ta
cần giải hệ bằng phương pháp Gauss.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

9
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình tuyến tính:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=−−
=++
0x2x4x3
0xx6x2
11xxx
321
321
321

Giải:
Ta có:
11 1
26111

=
Δ
Δ
=
−=
Δ
Δ
=
−=
Δ
Δ
=
26x
7x
8x
3
3
2
2
1
1

Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:
(m 7)x 12y 6z m
10x (m 19)y 10z 2m
12x 24y (m 13)z 0
−+ −=
⎧
⎪
−++ −=

10 2m 10 2m(m 15m 14)
12 0 m 13
−−
Δ= − − = − +
−−3
m7 12 m
10 m 19 2m = -36m(m - 1)
12 24 0
−
Δ= − +
−

Như vậy,
2
0 (m - 1)(m - 1) = 0 m = 1Δ= ⇔ ⇔ ±
.
Ta có các trường hợp sau:
a) m ≠ ± 1: Δ ≠ 0 nên hệ (1) có duy nhất một nghiệm đònh bởi:
2
2
m(m 17)
x
m1
Δ
−
==
Δ

12x 24y 12z 0
−+ − =
⎧
⎪
−+ − =
⎨
⎪
−+ −=
⎩

và dễ thấy hệ này vô nghiệm.
3.2. Hệ quả:
Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn: AX = B có duy
nhất nghiệm khi và chỉ khi detA ≠ 0.
3.3. Hệ quả:
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn: AX
= O có vô số nghiệm khi và chỉ khi detA = 0.
Chú ý: Đối với hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn:
AX = B, nếu detA = 0 thì hệ này có thể vô nghiệm nhưng cũng có thể có vô số
nghiệm.

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com