Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: [email protected]
Giới thiêu về định thức
Với một ma trận vuông cấp 2 bất kỳ, ta tìm thấy điều kiện cần và đủ để ma trận là khả nghịch. Thật vậy,
xét ma trận:

Ma trận A là khả nghịch khi và chỉ khi ad - bc ≠ 0. Ta gọi số này là định thức của A. Từ điều này,
chúng ta muốn có một kết quả tương tự cho các ma trận lớn hơn (tức là ma trận có cấp cao hơn). Vì vậy,
ta có định nghĩa định thức tương tự cho một ma trận vuông bất kỳ, nó xác định một ma trận vuông là khả
nghịch hay không?
Để tổng quát khái niệm cho các các cấp cao hơn, chúng ta cần phải nghiên cứu về khái niệm định
thức và những tính chất nào của nó được thỏa mãn. Trước hết, chúng ta sử dụng ký hiệu sau đây
cho định thức.
Định thức của = det = = ad - bc
Các tính chất của định thức
1. Định thức của ma trận A bất kỳ và chuyển vị của nó là bằng nhau, nghĩa là
Từ tính chất này ta suy ra sử dụng dòng hay cột để tính định thức đều được. Đặc biệt ta sẽ thấy
các phép biến đổi cơ bản trên hàng hữu hiệu thế nào trong việc tìm định thức. Do đó, ta có những
kết quả tương tự cho các phép biến đổi cơ bản trên cột.
2. Định thức của ma trận tam giác là tích của các phần tử trên đường chéo, tức là
3. Nếu ta đổi chỗ hai dòng thì định thức đổi dấu, tức là
1
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: [email protected]
4. Nếu ta nhân vào một dòng với một số, định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ
nhân với số đó, tức là.
Đặc biệt, nếu tất cả các phần tử trong một dòng là số 0 thì định thức bằng 0.
5. Nếu ta cộng vào một dòng với dòng khác nhân một số thì định thức của ma trận mới sẽ bằng định
thức của ma trận cũ, tức
6. Ta có
Đặc biệt, nếu A là khả nghịch (điều này xảy ra nếu và chỉ nếu det A ≠ 0), khi đó
Nếu A và B tương tự, khi đó
Ta lấy ví dụ để hiểu rõ hơn về các tính chất trên.

Sử dụng tính chất trước đây, ta được
Nếu ta nhân dòng thứ ba với 13 và cộng vào dòng thứ tư, ta được
4
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: [email protected]
định thức này bằng 3. Như vậy, định thức ban đầu là
Những tính toán dường như là khá dài. Sau này ta sẽ thấy có một công thức dùng để tính định thức của
ma trận.
Ví dụ. Tính
Trong ví dụ này, những phép biến đổi cơ bản không được trình bày chi tiết. Ta có
Ví dụ. Tính
Ta có
5
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: [email protected]
Công thức chung để tính định thức Cho A là một ma trận vuông cấp n . Ta viết A = (a
ij
), trong đó a
ij

là phần tử ở dòng i và cột j, với i = 1, …, n và j = 1, …, n. Với mỗi i, j ta đặt A
ij
(gọi là phần bù đại
số) là định thức cấp (n-1) có được từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j nhân với (-1)
i+j
. Ta có
với i cố định, và
với k cố định. Nói cách khác, chúng ta có hai công thức: công thức khai triển theo dòng (thứ i) hoặc khai
triển theo cột (thứ j). Ta khai triển theo bất kỳ dòng nào hoặc cột nào đều được. Bí quyết là sử dụng
dòng nào hoặc cột nào có nhiều số không nhất.
Đặc biệt, ta có công thức khai triển theo dòng
Hoặc

Cho ma trận vuông cấp hai, ta có
8
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: [email protected]
điều này dẫn đến
Đây là công thức đã dùng ở trang trước.
Trong trang tiếp theo, chúng ta thảo luận ứng dụng công thức trên vào hệ tuyến tính.
Ứng dụng của định thức tới hệ phương trình: Qui tắc Cramer.
Chúng ta thấy rằng định thức là hữu ích trong việc tìm ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch. Ta có
thể sủ dụng sự tìm kiếm này trong việc giải hệ phương trình tuyến tính cho ma trận hể số khả nghịch.
Xét hệ tuyến tính( dưới dạng ma trận)
A X = B
trong đó A là ma trận hệ số, B là ma trận hạn cột tự do, và X ma trận cột ẩn. Ta có:
Dịnh lí. Hệ tuyến tính AX = B có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu A là ma trận khả nghịch. Trong trường
hợp này, nghiệm được cho bởi quy tắc định thức Cramer:
trong đó x
i
là nghiệm của hệ hoặc là một phần tử của X, và ma trận A
i
được xác định từ A bằng cách
thay thế cột thứ I bởi ma trận cột B. Khi đó, ta có
với b
i
những phần tử của B.
Đặc biệt, nếu hệ tuyến tính AX = B là thuần nhất, nghĩa là , khi đó nếu A khả nghịch, nghiệm
duy nhất của hệ là tầm thường , đó là . Do đó nếu ta ta tìm nghiệm khác 0 của hệ, ma trận hệ số
9
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: [email protected]
A phải khả nghịch.Ta cũng biết rằng điều này xảy ra néu và chỉ nếu . Đây là kết quả quan
trọng.
Ví dụ. Giải hệ phương tình tuyến tính.

11
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: [email protected]
ta có
Sử dụng ma trận tích, ta được
điều này chỉ ra A đồng dạng với một ma trận chéo. Đắc biệt, ta có
với . Chú ý rằng không thể tìm A
75
, một cách trực tiếp từ dạng ban đầu của A.
Ví dụ này là phong phú để kết luận nhiều câu hỏi đặt ra một cách tự nhiên.Ví dụ , cho trước ma trận
vuông A, làm thế nào để tìm ma trận cột đồng dạng với những cái ở trên? Nói cách khác, làm thế nào để
tìm ma trận cột giúp ta tìm ma trận khả nghịch P sao cho P
-1
AP là ma trận chéo?
Từ bây giờ, chúng tôi sẽ gọi ma trận cột vectơ. Vì vậy các cột ma trận C
1
, C
2
, và C
3
là các vectơ. Chúng
ta có định nghĩa.
Định nghĩa. Cho A là ma trận vuông. Một vectơ C khác 0 được gọi là vectơ riêng của A nếu và chỉ nếu
tồn tại một số ( thực hoặc phức) sao cho
mỗi giá trị là giá trị riêng của A. Vectơ C được gọi là vectơ triêng của A tương ứng với giá trị riêng
.
12
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: [email protected]
Chú ý. Vectơ riêng C phải khác 0 bởi vì ta có
với bất kì số .
Ví dụ. Xét ma trận

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: [email protected]
Ví dụ. Xét ma trận đường chéo
Đa thức đặc trưng của nó là
Nên giá trị riêng của D a là a, b, c, và d, là các phần tử trên đường chéo.
Kết quả này là đúng cho mọi ma trận chéo có cấp tùy ý. Nên tùy thuộc vào giá trị trên đường chéo, bạn
có thể có mọt, hai hay nhiều hơn các giá trị riêng.
Nhận xét. Thật là tuyệt vời khi thấy rằng ma trận A có cùng giá trị riêng với ma trận chuyển vị A
T
của
nó bởi vì
Cho bất kì ma trận cấp 2, A, trong đó
đa thức đặc trưng được cho bởi phương trình
Số (a+d) được gọi là vết A (denoted tr(A)), và rõ ràng số (ad-bc) là định thức của A. Nên đa thức đặc
trưng của A có thể được viết lại như sau
15
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: [email protected]
Cho giá trị của ma trận
B = A
2
- tr(A) A + det(A) I
2
.
Ta có
Ta dẫn đến
Nói cách khác, ta có
Phương trình này được gọi là định lí Cayley-Hamilton . Nó đúng cho mọi ma trận vuông có cấp tùy ý.
trong đó là đa thức đặc trưng của A.
Ta có một số tính chất của các giá trị riêng của một ma trận.
Định lí. Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu là một giá trị riêng của A, thì:
1.

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: [email protected]
Trước hết ta tìm giá trị riêng của A. Chúng là nghiệm của đa thức đặc trưng
Suy ra
Nếu ta khai triên định thức này theo cột thứ ba, ta được
Sử dụng biến đổi đại số, ta có
dẫn đến các giá trị rieneg của A là 0, -4, và 3.
Tiếp theo ta tìm các vectơ riêng.
1.
Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính
điều này có thể được viết lại bởi
Có nhiều cách để giải hệ phương trình này. Phương trình thứ ba là đồng nhất với phương trình đầu
. Vì vậy, từ phương trình thứ hai, ta có y = 6x, phương trình đầu dẫn đến 13x + z = 0. Nên hệ này
tương đương với
18
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: [email protected]
Do đó vectơ X được cho bởi
Vì vậy, bất kì giá trị riêng X của A tương ứng với giá trị riêng 0 được cho bởi
trong đó c là một số tùy ý.
2.
Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ
điều này có thể được viết lại
Trong trường hợp này, ta sử dụng phương pháp khử để giải. Tước hết ta xét ma trận bổ sung
, đó là
Ta sử dụng phép biến đỏi trên dòng để nhận được ma trận chéo. Chuyển đổi các dòng cho nhau ta
được
19
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: [email protected]
Tiếp, ta lấy dòng đầu nhân với 5 cộng vào dòng thứ hai, nhân với 6 rồi cộng vào dòng ba. Thu
được
Nếu giản ước dòng thứ hai cho 8, dòng thứ ba cho 9, ta được

được viết lại như sau
22
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: [email protected]
Hệ này tương đương với mọt phương trình duy nhất của hệ
x - y = 0.
Nên nếu đặt x = c, thì bất kì vectơ riêng X của A tương ứng với giá trị riêng -3 được cho bởi
Tổng kết lại các ví dụ trên.
Tóm tắt: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử là một giá trị riêng của A. Để tìm vectơ riêng tương
ứng, ta làm các bước sau:
1.
Viết hệ phương trình tương ứng
2.
Giải hệ phương trình.
3.
Viết lại vectơ X dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ đữ biết.
Trong các ví dụ trên, giả sử rằng các giá trị riêng là số thực. Tổng quát, this is not the case except for
symmetric matrices.Chứng minh điều này là phức tập, chỉ dễ dàng với ma trận vuông cấp 2.
Xét ma trận vuông đối xứng
Phương trình đặc trưng của nó
23
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: [email protected]
Đây là phương trình bậc hai. Nghiệm phụ thuộc vào dấu của định thức
Biến đổi đại số ta được
Do đó, là một số dương, suy ra giá trị riêng của A là nững số thực.
Nhận xét. Chú ý rằng ma trận A có một giá trị riêng, đó là nghiệm kép của phương trình, nếu và chỉ nếu
. Nhưng điều này chỉ có thể a=c và b=0. Nói cách khác, Ta có
A = a I
2
.
Phần tiếp theo sẽ thảo luận về giá trị riêng phức.