ThS. ðoàn Vương Nguyên
Trang
1

CHUYÊN ðỀ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I

TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I. Hệ ñối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:
f(x, y) = 0
g(x,y) = 0







, trong ñó
f(x, y) = f(y,x)
g(x,y) = g(y, x)









3 3
x y xy 30
x y 35

 + =



+ =


.
GIẢI
ðặt
S x y, P xy
= + =
, ñiều kiện
2
S 4P
≥
. Hệ phương trình trở thành:
2
2
30
P
SP 30
S
90
S(S 3P) 35
S S 35

S 5 x y 5 x 2 x 3
P 6 xy 6 y 3 y 2
   
= + = = =
   
   
⇔ ⇔ ⇔ ∨
   
   
= = = =
   
   
.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
3 3
xy(x y) 2
x y 2

− = −




− =


.
GIẢI
ðặt

  
  
.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 4
x y



+ + + =






+ + + =




.
GIẢI



   

 
 
+ + + =
 

 
 

 
 
   



ðặt
2
1 1 1 1
S x y , P x y ,S 4P
x y x y
      
   
   
= + + + = + + ≥
   
   
   

  
⇔ ⇔
  
  
  
=− =
 
 
  


+ + =
 
 

 
 
 

  


1
x 2
x 1
x
1
y 1
y 2
y





+ =



.
GIẢI
ðiều kiện
x, y 0
≥
. ðặt
t xy 0
= ≥
, ta có:
2
xy t
=
và
(2) x y 16 2t
⇒ + = −
.
Thế vào (1), ta ñược:
2
t 32t 128 8 t t 4
− + = − ⇔ =

Suy ra:

Khi ta ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác ñiều kiện u, v. Ví dụ 1 (trích ñề thi ðH khối D – 2004). Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực:
x y 1
x x y y 1 3m


+ =




+ = −



.
GIẢI
ThS. ðoàn Vương Nguyên
Trang
3

ðiều kiện
x, y 0
≥
ta có:
3 3
x y 1 x y 1
x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m



 
⇔
 
 
=
− = −
 


.
Từ ñiều kiện
2
S 0, P 0,S 4P
≥ ≥ ≥
ta có
1
0 m
4
≤ ≤
.

Ví dụ 2. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình
2 2
x y xy m
x y xy 3m 9

+ + =


2
S 4P.
≥
Hệ phương trình trở thành:
S P m
SP 3m 9

+ =




= −


.
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
2
t mt 3m 9 0
− + − =

S 3 S m 3
P m 3 P 3
 
= = −
 
 
⇒ ∨
 
 


+ =


có nghiệm.
GIẢI
ðặt
u x 4 0, v y 1 0
= − ≥ = − ≥
hệ trở thành:
2 2
u v 4
u v 4
21 3m
u v 3m 5
uv
2

+ =



+ =



⇔
 
−
 

2


−


∆ ≥


≥




⇔ ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤
 
 
−
 
≥
≥
 
 


.

ThS. ðoàn Vương Nguyên
Trang
4

+ + =
 


.
ðặt
2 2
u (x 2) 0, v (y 2) 0
= + ≥ = + ≥
. Hệ phương trình trở thành:
u v 10 S 10
uv 4(u v) m 16 P m 24
 
+ = =
 
 
⇔
 
 
− + = − = +
 
 
(S = u + v, P = uv).
ðiều kiện
2
S 4P
S 0 24 m 1
P 0



+ + =


. ðáp số:
x 1 x 2
y 2 y 1
 
= =
 
 
∨
 
 
= =
 
 
.
2.
2 2
x xy y 3
2x xy 2y 3

 + + =



+ + = −


. ðáp số:

+ =


. ðáp số:
x 2 x 0
y 0 y 2
 
= =
 
 
∨
 
 
= =
 
 
.
4.
3 3
x y 7
xy(x y) 2

 − =



− =


. ðáp số:

4 4
y 1 y 2
1 37 1 37
y y
4 4
 
 
− +
 
= =
 
 
= = −
 
 
   
∨ ∨ ∨
   
   
= = −
− − − +
   
 
= =
 
 
 
 
.
6.

y 1 y 1
2 2
   
= − = −
   
− +
   
= =
   
   
∨ ∨ ∨
   
− +
   
= =
   
= − = −
   
   
   
.
ThS. ðoàn Vương Nguyên
Trang
5

7.
x y y x 30
x x y y 35





+ = +





+ =



(chú ý ñiều kiện x, y > 0). ðáp số:
x 4 x 9
y 9 y 4
 
= =
 
 
∨
 
 
= =
 
 
.
9.
(
)
2 2

10. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình
2 2 2
x y z 8
xy yz zx 4

 + + =



+ + =


. Chứng minh
8 8
x, y,z
3 3
− ≤ ≤
.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ phương trình
2 2 2 2 2
x y 8 z (x y) 2xy 8 z
xy z(x y) 4 xy z(x y) 4
 
 + = −  + − = −
 
⇔ ⇔
 
 
+ + = + + =

xy (z 2) xy (z 2)
 
+ = − + = − −
 
 
⇔ ∨
 
 
= − = +
 
 
.
Do x, y, z là nghiệm của hệ nên:
2 2
2
2 2
(4 z) 4(z 2)
8 8
(x y) 4xy z
( 4 z) 4(z 2)
3 3

− ≥ −

+ ≥ ⇔ ⇔ − ≤ ≤

− − ≥ +


.




. ðáp số:
1
x
2
1
y
2



=





=



.
12.
sin (x y)
2 2
2 1
2(x y ) 1
π +

  
 

Z

2
2 2
2
1 2 2
x x
1
2 2 2
(2) x y 2 x y 2
1
2
2 2
y
y
2
2 2






≤ − ≤ ≤




Cách 2:
ðặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành:
sin S
2
2
S
2 1
4P 2S 1
2(S 2P) 1
π


∈
 =

 
⇔
 
 
= −
− =
 


Z
.
Từ ñiều kiện
2
S 4P
≥

2x xy 2y m

 + + = +



+ + =


có nghiệm thực duy nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:
2 2
2 2 2
3x m 6 3x 6 m m 3
m 21
x 4x m x 4x 3x 6
 

 = +  − = = −
 

⇔ ⇒
 

 
=
+ = + = −

 

= − = = −
= − =
    
  
 
 
(loại).
+ m = 21:
2 2 2
x xy y 27 (x y) xy 27
2x xy 2y 21 2(x y) xy 21
 
 + + =  + − =
 
⇔
 
 
+ + = + + =
 
 

x y 8 x y 6 x 3
xy 37 xy 9 y 3
  
+ = − + = =
  
  
⇔ ∨ ⇔
  
  


 
⇔
 
 
+ =
+ =
 


x y 1 x y m
xy m xy 1
 
+ = + =
 
 
⇔ ∨
 
 
= =
 
 
.
Hệ có nghiệm thực dương
2
m 0
1
0 m m 2
1 4m m 4
4


+ − =



có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
(
)
2
2
x y m
x y m
x y m
m m
x y xy m
xy
x y 3 xy m
3



+ =


+ =


+ =


Hệ có nghiệm
⇔
(*) có 2 nghiệm không âm
/ 2
2
0 m 4m 0
m 0
S 0 m 0
1 m 4
P 0
m m 0




∆ ≥ − ≤



=


 

⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔
 

 
≤ ≤


x y 2(1 m) (x y) 2xy 2(1 m)
(x y) 4 (x y) 4
 
 + = +  + − = +
 
⇔
 
 
+ = + =
 
 
xy 1 m xy 1 m
x y 2 x y 2
 
= − = −
 
 
⇔ ∨
 
 
+ = + = −
 
 
.
Hệ có ñúng 2 nghiệm thực phân biệt khi
(
)
2
2 4(1 m) m 0
± = − ⇔ =

 
⇔
 
 
+ = + − − = + −
 
 

2 2
2
S 2m 1
S 2m 1
3
(2m 1) 2P m 2m 3
P m 3m 2
2

= −



= −



⇔ ⇔
 
 
− − = + −
= − +



 



 
 
 

Vậy
11 6 2 4 2
min P m
4 2
− −
= ⇔ = .