Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Ví dụ 1: Giải bất phương trình
2
1
1
1
+
≤
+ + +
x
x x x
.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
2 3
3 2
2 4 2 3 4
1
8 2 27 4
− + + − −
≤
+ + − −
x x x
x x x
.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có

của tam giác
ABC
biết phương trình
: 3 9 0
CF x y
+ + =
,đường
thẳng BC đi qua
(
)
5;12
K
và điểm C có hoành độ dương.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có
(
)
6;2
M
là trung điểm của BC ,
đường tròn tâm B bán kính AB cắt đường thẳng DM tại
21 22
;
5 5
H
 
 
 
. Tìm to
ạ


( ) ( )
2
4 1 2 2 1x x x x x+ + − ≥ + ∈
ℝ
.
Lời giải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
( )
1
4 1 0
0
4
2 0
2
x
x
x x
x

+ ≥

− ≤ ≤


⇔

( )
(
)
(
)
( )
{ }
2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 2 2 0 0
4 1 2 6 1 0 3 10;3 10
a b a b a ab b a b a b a b
x x x x x x
⇔ + ≥ + ⇔ + + ≥ + ⇔ − ≤ ⇔ − =
⇔ + = − ⇔ − − = ⇔ ∈ − +

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm
{
}
3 10;3 10
S = − + .
Cách 2:
Nhận xét bất phương trình không thỏa mãn với
1
4
x
= −
.
Ngoài tr

4 1 4 1
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x
+ + − ≥ + ⇔ + + − ≥ +
− −
⇔ + + − ≥ − + + ⇔ + ≥ +
+ +

RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 7)

Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Đặt
( )
2
2
0
4 1
x x
t t
x
−
= ≥
+
thu được
( )

4 1 2 2 1 4 1 2 2 1
4
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
+ + − ≤ + + + − = + + = +
 
⇒ + + − ≤ + ⇒ + + − ≤ + ∀ ≥ − ∗
 
 

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi (*) xảy ra dấu đẳng thức
{ }
2
2 2
4 1 2
4 1 2 6 1 0 3 10;3 10
1 1
x x x
x x x x x x
+ −
⇔ = ⇔⇔ + = − ⇔ − − = ⇔ ∈ − +
.
Quan sát điều kiện ta thu được nghiệm
{
}
3 10;3 10
S = − + .

Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải bất phương trình
( )

− + ≠

.
Do đó
( )( )
( )
2 2 2
1
2 1 10 1 0 10 8 1 0 4 5 2 6 25 2 5 2 6 5
2
x x x x x x x x x
∀ > ⇒ − + > ⇔ − − > ⇒ − + > ⇒ − + >
.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
(
)
( )
2 2 2 2

ợ
p t
ấ
t c
ả
các tr
ườ
ng h
ợ
p ta thu
đượ
c nghi
ệ
m
1
;
2
S
 
= +∞
 
 
.
Ví dụ 7. [Tham khảo]:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ

x y
− + =
và C có hoành độ dương,
Lời giải:
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Gọi K là điểm đối xứng với E qua M khi đó AKCE là hình bình hành ( có
2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường )
Khi đó:
/ /
, ,
/ /
AK CE
A B K
AB CE

⇒


thẳng hàng.
Dễ thấy M là trực tâm tam giác BKC do vậy
BM KC BM AE
⊥ ⇒ ⊥
.
Phương trình đường thẳng
AE
qua
E
và vuông góc với
AM

)
(
)
1 1; 4
t C loai
= − ⇒ − −

Với
(
)
(
)
1 7;0 :3 1 0 0; 1
t C AB x y B AB BI
= ⇒ ⇒ − − = ⇒ = ∩ = −

Vậy
(
)
(
)
(
)
1;2 ; 0; 1 ; 7;0
A B C−
là các điểm cần tìm.

Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
3
3

x
>
. T
ừ

đ
ó d
ẫ
n
đế
n
3 3
3 0 3 0
x y
+ >
⇒
+ ≥
.
Ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
t
ươ


Vì
2 2
3
3 3
2 3 0, ;
3 3
x xy y
x x y x y
x y
+ +
+ + > ∀ ∈
⇒
=
+ + +
ℝ
.
Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình th
ứ
hai tr
ở
thành
( ) ( ) ( )
2
2 2
2

t y
t t y y t y t y t y t y
t y
t x y

+ + =
=


⇒
+ = + ⇔ − + − = ⇔ − + + = ⇔


+ + =
− + =




•
2 2
1 1
3
2 1 6 5 1;
2 2
2
4 4 1 6 5 2 5 3 0
x x
t y x x x
x x x x x

 
 
 
 
x y .

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABCD là hình thang vuông tại A và D có
2 2 .
= =
BC AB AD
Trung đ
i
ể
m c
ủ
a BC là
đ
i
ể
m M(1; 0),
đườ
ng th
ẳ
ng AD có ph
ươ
ng trình
3 3 0
− + =

ế
u c
ủ
a B trên MN
( ; ) 2
⇒ = =
MN d M AB
Theo giả thiết
2
2
3
,
2 4 2
= = = = ⇒ = − =
a a a
AB AD BM a BE EM a
Do AB < CD và MN = 2 nên
3
2 2 8 4 3
2
+ = ⇔ + = ⇔ = −
a
NE EM a a
G
ọ
i
3 3 0 ( 3 3; )
∈ − + = ⇒ −
A x y A m m


2 2 3 3;2
2 3 2 3 2 3;2 3 2

= ⇒ −

⇒

= − ⇒ − −


m A
m A

Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
( )
3
2 2 2
2 3 1
7 1 14 2 3 8 5 10 4 5 4

+ + = − +


− + − − − = − + − +


x x x y y
x y y y y x x

Lời giải:

t
>
(
)
( 1)
f x f y
⇒ = −

Ta có
2
'( ) 3 6 2 0
f t t t
= + + >
với
2
t
∀ >
mà
(
)
( 1) 1 1
f x f y x y y x
= − ⇒ = − ⇔ = +Thay
1
y x
= +
vào phương trình (2) ta có


⇒
− = ⇔ ⇔


=
− + − =



t x x
t t
t
x x

Xét pt(3) ta có
( )
1 2
1 2 4 4 1 0 1 2
1 1 4 1
x x x x y
x x
 
− + − = ⇔ − + = ⇒ = ⇒ =
 
− + − +
 

Xét ph
ươ

đ
ã cho có 2 c
ặ
p nghi
ệ
m là
(1;2)
và
(
)
10 4 2; 10 4 2 1
− − +

Ví dụ 11. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có
AB AC
<
,
phương trình đường trung tuyến
AM
là:
: 2 4 0
d x y
− − =
, đường tròn
(
)
C
có tâm thuộc cạnh AC đi qua
2 điểm A và M cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại
5

ủ
a
đườ
ng tròn
(
)
C
thu
ộ
c
AC
mà
AB AC
⊥
nên
AB
là ti
ế
p
tuy
ế
n c
ủ
a
đườ
ng tròn
( )


C BAM AHC

1
90
2
BHM MB MA MH BC
= ⇒ = = = .
Do v
ậ
y 2 tam giác cân t
ạ
i M là :
MAB MAH
∆ = ∆
.
Do
đ
ó
AB AH
=
và
MB MH
=
nên
AM
là trung tr
ự
c c
ủ
a
BH.



21
2 0
1 3
5; 6;
2
2 2
2 4 0
x y
E B
x y

+ − =

   
⇒ ⇒ −

   
   

− − =


Khi đó:
( )
( )
5 5
2 ; .
; 4
ABC

 
 

+ ⇒ = − + + = ⇔
 

 
 
= ⇒ ⇒

 
 


Vậy
( ) ( )
3
6; ; 1;1 ; 7;4
2
B C C
 
−
 
 
là các điểm cần tìm.