Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯNG GIÁC 
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
0
6


4



2

1

3
2

2
2

1
2

0
cos

1

3
2

2
2

1
2

0
1
2

3
3


0
cot

||
,


3

1

3
3

0
3
3


1

3

||
,


4


4
3


3
2


5
3


7
4


11
6


2

sin

0
1
2

2


2
2


1
2


0
1
2

2
2

3
2

1

tan

0
3
3

1

3
3


1

3

||
,


A. Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản

 
22
sin cos 1 R    tan .cot 1 k ,k Z
2


     

1
tan k ,k Z


 
2
2
1
1 cot k ,k Z
sin
      


Hệ quả
22
sin 1 cos   

22
cos 1 sin   1
tan
cot




2






cos x sinx
2




tan x cotx
2






cot x tanx
2





  

sinx sin(x k2 )
cosx cos(x k2 )
tanx tan(x k )
cotx cot(x k )
  
  
  
  

 
kZ

sin( x) sinx   

cos( x) cosx   

tan( x) tanx  

cot( x) cotx  

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 4
C. Bảng giá tri lượng giác
1. Tìm giá trò lượng giác theo bảng
Như trên
2. Tìm giá trò lượng giác theo đường tròn lượng giác
a. Theo trục sin

cot
O
A

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 8
D. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
Với mọi cung có số đo ,  ta có:
2. Công thức nhân đôi 3. Công thức nhân ba  
cos a b cos cos sin sin       
cos cos cos sin sin       
sin sin cos cos sin       

 
1 tan tan
cot
tan tan
  
   
  sin2 2sin cos   

1
sin cos sin
2
   22
2
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
    
  
  

22
1 cos4
sin cos
8

  
6. Công thức biến đổi tổng thành tích
2
1 cos2
cos 2
2

2
1 cos2
sin 2
2

cos cos 2cos cos
22
   
    
   
   
   cos cos 2sin sin
22
   
    
    
   
   sin sin 2sin cos
22
   
    
   
   
   sin sin 2cos sin

2

      
1
sin .cos sin( ) sin( )
2

         
1
cos .sin sin( ) sin( )
2

         
u v k2
sinu sinv ,k Z
u v k2

  
  

    

44
   

         
   
   cos sin 2 cos 2sin
44
   

         
   
   sin( )
tan tan , k ,k Z
cos .cos 2

   
         


sin( )
tan tan , k ,k Z

3
y cos 2x 1 2    

Câu 3. (6 điểm) Giải các phương trình
a.
2sin 3x 3 0
5


  


b.
   
00
cos x 30 3sin x 30 1   

c.
tan3x 3cot3x 2 0  
d.
44
sin x cos x sin2xĐềø bài. (Đề số 2)
Câu 1. (2 điểm) Tìm tập xác đònh của hàm số
a.
 
y cot x 3
b.

sinu 1 u k2
2

    

sinu 1 u k2
2

      sinu 0 u k   

cosu 0 u k
2

    cosu 1 u k2   

cosu 1 u k2     

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 12
Đề bài. (Đề số 3)

d.
cotx 3tanx 2 0  

Câu 3. (2 điểm) Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

 
3
y 3sin x x 2 2  Đề bài. (Đề 4)
Câu 1. (2 điểm) Tìm tập xác đònh của hàm số
a.
sinx
y
1 2sinx


b.
y cot x
5






Câu 2. (6 điểm) Giải các phương trình
a.
 






b.
 
0
2
sin 2x 10
2
  

c.
sin 2x sin x
34
   

  
   
   
d.
sin 2x cos2x
6








sin 2x sin
36
   

  
   
   



2x k2
36
2x k2
36


    




     





2x k2
36




 
xk
4
, k Z
5
xk
12


   





  



a.
1
sin 2x
32


  


   

  
   
   
f.
sin 2x =1
3






www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 14
b.
 
0
2
sin 2x 10
2



 
00
sin 2x 10 sin45



00
00
2x 55 k360
,k Z
2x 145 k360









00
00
x 27 30 k180
,k Z
x 72 30 k180














2x x k2
34
,k Z
2x x k2
34


     





       



7
x k2
3
,k Z
11
3x k2
12



d.




sin 2x cosx
5




sin 2x sin x
52
   

  
   
   

2x x k2
52
,k Z
2x x k2
52


    




3
3x k2
10
,k Z
3
x k2
10


  





  





2
xk
10 3
,k Z
3
x k2
10

   
   


sin x sin x
36
   

   
   
   



x x k2
36
x x k2
36


     




      






   




 
5
x k , k Z
12

    

f.
=1sin 2x
3






2x k2 ,k Z
32

    


A.
2cos2x 1 0
B.
2cos3x 2 0

C.
2
cos 2x cos x
63
   

  
   
   
D.
cos 2x cos
55






E.
cos x sinx
3





3

    

b.
2
cos3x
2




3
cos3x cos
4





3
3x k2 ,k Z
4

    

2


     




3
2x x k2
34
3
2x x k2
34


    




    



a.
1
cosx
2

b.
2


f.
cos x =sin5x
3






www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 17



 
5
x k2
12
, k Z
13
3x k2
12


  










2
2x k2
57
2
2x k2
57


   




    





2
2x k2


   





 
3
xk
70
, k Z
17
xk
70


  





   



e.
cos x sinx
3

     





x x k2
32
x x k2
32


      




      



0.x k2 ,pt vn
6
5
2x k2
6


cos x sin5x
3






cos x cos 5x
32
   

  
   
   


x 5x k2
32
x 5x k2
32


    




6
4x k2
6


  




    



 
5
xk
36 3
, k Z
xk
24 2









  



e.
3cot 2x 3 0
3


  


f.
4
2011cot 3x 0
3






_____Giải_____

a.
tanx 3



tan x 1
3





d.
2x
tan 3
35


  



e.
cot 2x 3
3





f.
4
cot 3x 0
3



0 0 0
3x
60 30 k180 ,k Z
2
    

0 0 0
3x
60 30 k180 ,k Z
2
   

00
3x
30 k180 ,k Z
2
  


2
x k ,k Z
34

    



11
x k ,k Z
12

   

d.
2x
tan 3
35


  



 
2x

x arctan 3 k ,k Z
10 2 2

     

e.
cot 2x 3
3






cot 2x cot
36








2x k ,k Z
36


cot 3x 0
3






4
3x k ,k Z
32

    



4
3x k ,k Z
32

     

5
3x k ,k Z

4


  


d.
 
0
5cot 3x 15 1

_____Giải_____

a.
2 cosx 2 0

2cosx 2



2
cosx
2







1
sin x
42






a.
2cosx 2 0
b.
4sin x 2 0
4


  



c.
3tan2x 3 0
d.
5cot3x 1





x k2
46
, k Z
5
x k2
46


   





   





5
x k2
12
, k Z




tan2x tan
3





2x k ,k Z
3

   

x k , k Z
62

  

d.
5cot3x 1

1


Bài 5. Giải các phương trình lượng giác theo phương trình bậc hai

a.
2
2sin x 3sinx 1 0  

b.
2
cos x 4cosx 3 0  

c.
2
6sin 3x 2sin3x 4 0  
d.
2
tan x tanx 2 0  

e.
2
5tan x 3tan x 8 0
33
   

     
   
   

f.
 




x k2
2
sinx sin
6


  










x k2
2
x k2 ,k Z
6
5
x k2
6


  

cosx 1



x k2 , k Z   c.
2
6 sin 3x 2sin3x 4 0  

sin3x 1
2
sin3x
3










3x k2
2

x arcsin k
3 3 3 3


  




  




  



d.
2
tan x tanx 2 0  

tanx 1
tanx 2




Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 23



tan x 1
3
8
tan x
35











  











   






    





7
xk
12
,k Z
8
x arctan k
35


  






xk
4
,k Z
2
cotx cot
3


  








xk
4
,k Z
2
xk
3






2x k
4
, k Z
tan2x tan
12


  









xk
82
, k Z
2x k
12


Lê Xuân Hiếu – 0966004478 24
Bài 6. Giải các phương trình lượng giác theo phương trình bậc hai

_____Giải_____

a.
2
cos 2x sin2 x 1 0  

2
1 sin 2x sin2x 1 0   



2
sin 2x sin2x 2 0   

sin2x 1
sin2x 2 , ptvn









2
3cos 3x 7cos3x 6 0   

cos3x 3,ptvn
2
cos3x
3










2
cos3x
3


3 3 3
,k Z
1 2 2
x arccos k
3 3 3



  








   






c.
2
6 cos x 5sinx 7 0  

  


h.
7tanx 4cotx 12

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 25



2
6sin x 5sinx 1 0   

1
sinx
3
1
sinx
2







1
x arcsin k2
3
1
x arcsin k2
3
,k Z
x k2
6
5
x k2
6

  



    





  




  











1
sinx sin
26


   



x k2
6
,k Z
7
x k2
6


   