Phú Q – Phương trình Lơgarit – phương trình mũ.
Bài 1: Giải các phương trình sau
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1
1
2
2 1
2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
1/ 2log 2x 2 log 9x 1 1
Bài giải
1
Điều kiện: x>
9
2log 2x 2 log 9x 1 1
log 2x 2 log 9x 1 1

x
2
− + =
⇔ − + =
=


⇔

=


( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1
3 1
3
3 1
3
2
3
3
2
3 3
2

+
⇔ − = +
⇔ − + = 27+
( )
2
16x 42x 18 0
x 3
3
x loại
8
⇔ − − =
=


⇔

= −

Bài 2: Giải phương trình sau:
3
3
3
2x
x
3
3
2x
x
6 4
2x

log 2 log x 3log x 3
+ =

>



>
 
⇔ ≠
 
≠
 
≠
 
≠


+ =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ 6. + =
3
⇔ + =
+
( )
2 2
2
2
2

+
⇔ + =
+
+ +
⇔ =
+
⇔ + + = +
⇔ − − =
=


⇔

= −

= ⇒ = ⇔ =
= − ⇒ = − ⇔ = = =
1
Phú Q – Phương trình Lơgarit – phương trình mũ.
Bài 3: Giải phương trình sau:
1 3
5
1 3
5
0
3
3
3
1
log log x 2 0

− =

⇔

− = −

=

⇔

= −

Bài 4: Giải phương trình sau:
( )
7 x
7 x
7
7
7 7 7
2
7 7
7
2
7
log x log 7 2
Bài giải
Điều kiện: x>0, x 1
Pt log x log 7 2
1
log x 2 0



⇔
 
≠


≠

+ =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2


=

+ =
+ =
⇔
( )
( )
( )
( )
1
2
2 2
1
2
2
1
2
2
2 2
og x 2 log x
x 2 x Binh phương hai vế .
x 2 x
x 2 x x x 2 0
+ =
⇔ + =
 
⇔ + =
 ÷
 

⇔ =
⇔ =
+
⇔ =
+
2
Phỳ Quý Phng trỡnh Lụgarit phng trỡnh m.

( )
( )
( )
3 3
3 3
2
3 3
3
3
3
1 1
log x 1 log x 6
log x 1 log x 6
log x log x 6 0
log x 3 x 3
log x 2 x 9

=
+
+ =
+ =


2
log 2 1 .log 2 2 2
log 2 1 .log 2 .2 2 2
log 2 1 .log 2. 2 1 2
log 2 1 . log 2 log 2 1 2
log 2 1 . 1 log 2 1 2
log 2 1 log 2 1 2 0
log 2 1 1 2 1 2 2 1 x 0
log 2 1 2 2 1 2 2
+

+ + =
+ + =
+ + =

+ + + = + + + = + + + =

+ = + = = =

+ = + = =
3
0
4


2 16 x 4

+ =


>


+ >


+ =
=
=
= =
Bi 9: Gii phng trỡnh sau.

x
3 2
x
2
x 2x
2
x x
2
2
2
log log x 2 9 2x
x>0
ẹieu kieọn:

x 2
x
x
x
x
x x
x x
2
x x
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
log 4 144 log 2 log 5 log 2 1
4 144
log log 5. 2 1
16
4 144
5. 2 1
16
2
4 144 16.5 1
4
2
4 144 16.5. 16.5
4
4 144 20.2 80
4 20.2 64 0
2 20.2 64 0
2




( )
( )
( )
( )
( )
x x
2 2
x
x
2
x x
2 2
x
2
x x
2 2
2
x
x x
2 2
2
x
x x
2 2
2
x
x x
x
1
log 4 15.2 27 2log 0


+ +


( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
x x x
2 2
x x x x
2
x x
x
2
x
1
4 15.2 27 4.2 3
15.2 27 16. 2 24.2 9
15. 2 39.2 18 0
2 3 x log 3
2
2 loaùi
5
=
+ + =
2 + + = +
=

3
log x 2 .log x 2log x 2
x>0
Ñieàu kieän: x 2
x-2>0
Pt log x 2 .log x 2log x 2
log x 2 .log x 2log x 2
2log x 2 .log x 2log x 2
log x 2 .log x log x 2
log x 2 .log x log x 2 0
log x 2 . log x 1 0
log x 2
− = −

⇔ >


⇔ − = −
1
⇔ − = −
1
2
⇔ − = −
⇔ − = −
⇔ − − − =
⇔ − − =
− =
⇔
5
0

4x 2
x
x 1
4x 2 x x 1
4x 2 x x
x x 4x 2
x 5x 2 0
5 33
x
2
5 33
x loaïi
2
− − =


⇔ >



+
⇔ =
−
+
⇔ =
−
⇔ + = −
⇔ + = −
⇔ − = +
⇔ − − =

1 1
log log x log log log x 2
2 2
1
log log x log log x 1 2
2
1
1 log log x 3
2
3
+ =


> ⇔ >


>

⇔ + =
 
⇔ + =
 ÷
 
⇔ + + =
⇔ + − =
 
⇔ + =
 ÷
 
⇔

3.4 .9 6.4 .9
3 2
1 1
9 .9 6.4 3.4
3 2
1 1
.9 .9 .9 .9 6.4 .4 3.4
3 2
81 9
.9 24 3 .4
3 2
63
.9 21.4
2
63.9 21.2.4
63.9 42.4
9 42
4 63
9 2
4 3
2 1
x log
3 2
+ + +
+ + +
+ = −
⇔ + = −
⇔ + = −
 
⇔ + = −

x
x
x
x
x
2
2
3
2
2 3 3 2
2 3
2 .2 3
2 3
1 1
4 2 1 3
2 3
9 4
.2 .3
2 3
4
2
3
9
3
2
2 4 2
.
3 9
3
8

2 lnx
log x
2 lnx
log x
2 lnx
2
2
2
e x 3
Điều kiện: x>0
Pt e .e x 3 CT: a x
e .x x 3 (Chú ý: e =e =x).
e .x x 3
e 1 .x 3
3
x
e 1
+
= +
⇔ = + =
⇔ = +
⇔ − =
⇔ − =
⇔ =
−
Bài 18: Giải phương trình sau.
( )
( )
( )
4 lnx

2
x 2x
x 2x
7 7
x 2x
7 7
2
7 7
2
7
2
2
7 7
2
7 7
7 .5 7
Lấy lôgarit cơ số 7 hai vế, ta được:
log 7 .5 log 7
log 7 log 5 1
x .log 7 2x.log 5 1
x 2.log 5.x 1 0 (*)
' log 5 1. 1 log 5 1 0
Pt * có hai nghiệm: x=-log 5 log 5 1
=
=
⇔ + =
⇔ + =
⇔ + − =
∆ = − − = + >
± +

2 1 0
@: 2 4 0 2 2 2x 2 x 1.
@: 2 1 0 2 2
x 0
x x 0
x 1
+ −
− + −
− −
−
−
−
− −
− − + =
⇔ − − − =
⇔ − − − =
⇔ − − − =
⇔ − − =

− =
⇔

− =


− = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
− = ⇔ =
=

⇔ − = ⇔

8 3 1 1 x log 1 0
3 3
− − + =
⇔ − − + =
⇔ − − + =
⇔ 8 − − − =
⇔ − − =

2 − = ⇔ = ⇔ =
⇔

− =

 
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = =
 ÷
 
x
5
Phú Q – Phương trình Lơgarit – phương trình mũ.
Bài 22: Giải phương trình sau.
( )
x x 10
5 10
x x
1
5 10
x
x
10

−
−
+ =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ + =
 
⇒ = = =
 ÷
 
⇔ + − =

= ⇔ = = ⇔ = ⇔ =

⇔


= −


( )
x x
5 10
x 1 x
.
5 2 5
1
x x
2
5 5

x
t 9 3 9 3 81 4 x 20
5
+ =
⇔ + =
 
⇔ + =
 ÷
 
⇔ + =
 
⇒ = =
 ÷
 ÷
 
⇔ + − =
=


⇔

= −

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Bài 23: Giải phương trình sau.

( )
( )
( )
x 1 x 2


3
⇔


= −


Bài 24: Giải phương trình sau.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
2
2 1 1 2
2 4
2
2 1 1 2
2 4
2
2 2
2 2
2

2
4 2
x 3 log x 1 x 1 log 5
log x 3 x 1 x 1 log 5
x 3 x 1 x 1 5
x 2x 8 0
x = -4 loại
x 2
x 2
x 2 loại
+ + − + =
⇔ + − + =
⇔ + − + =
⇔ + − =

⇔

=


=
⇔

= −


Bài 25: Giải phương trình sau.

( )
( )

Chú ý: Áp dụng công thức:
( ) ( )
a
n m
log x
x m.n m n
a
a x, log a x, a a a
= = = =
( )
( )
( )
1
8
2
3
8 2 2
81
81 4
3
3
3
1
5
3
1 5
5
5
log 15
1 1

−
−
−
−
=
= = = = − = −
−
=
= = = = = =
 
=
 ÷
 
   
= = = = =
 ÷  ÷
   
Bài 27: Tính giá trị biểu thức.
1
2
4
2
6
2
2
2
16
3
16 2
2

3 3 3
4 3 3
3 3 3
3 3
3 2log 3
2
3 2log 3 2log 3 log 3
3 3
3 2 3
A 3
A 3 3 3 3 3
3 3 .3 3 3 3 3
B 10
B 10 10 .10 10 . 10
10 .3 10 .9 9000
+
+
=
= = = = =
= = = =
=
= = =
= = =
Bài 29: Rút gọn biểu thức:
3
5
a
1
1
3 3

3 2
3
3 2 3 2 3
3
1 1 1
3 3 3
1
3
2
3
2
1 1 1
3 3 3
1 1 1
3 3 3
1 1 1
3 3 3
1 1
3 3
B 3
B 3 3 2 32
C log log 8
C log log 8 log log 2 log 3 1
1
D 2log 6 log 400 3log 45
2
log 6 log 400 log 45
log 36 log 400 log 45
log 36 log 20 log 45
log 36 log 45 lo

( ) ( )
4
0,75
3
3 4
4 3
4 3
3 4
4 . 3 .
4 3
3 4
1 1
A
16 8
2 2
2 2
2 2 8 16 24
− −
− −
− −
   
− − − −
 ÷  ÷
   
   
= +
 ÷  ÷
   
= +
= +

⇔ − + >
⇔ ∈ ∞ ∪ +∞
− + −
⇔ − + − >
⇔ ∈
Bài 34 : Giải các phương trình sau :
7
Phú Quý – Phương trình Lôgarit – phương trình mũ.
1/
2 8
1
log (5 ) 2log 3 1
3
x x− + − =
Giải
Điều kiện : x<3 .
Pt
( )
3
1
2
8
2
log (5 ) 2log 3 1x x⇔ − + − =

( )
8 8
8
1
log (5 ) 2. log 3 1

Đặt t=
3
log 2
3
x+
, t>0 .
Pt
2
2 0
1( )
2
t t
t
t
⇔ − − =
= −

⇔

=

loai

Với t=2
3
log 2
3 3
3 2 log 2 log 2 0
x
x x

= +
Giải
Pt
1
6. 2 1
2
x
x
⇔ = +
.
Đặt t=2
x
, t>0
Pt
2
2
1
1
6. 1
6
6 0
3( )
2 2 2 1
x
t
t
t t
t t
t
t x

2
2
9 10.3 9 0
3 10.3 9 0
3 10.3 9 0
⇔ − + =
⇔ − + =
⇔ − + =
2 2
2
x +x
2
2
x +x 2
x +x x +x
x +x
x +x
Đặt t=
3
2
x + x
, t>0 .
Pt
2
10 9 0
1
9
t t
t
t


⇒ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔

= −

2 2
x + x x +x
2/
9 9 3
log log log 27
4 6.2 2 0
x x
− + =

Giải
Pt
( )
3
9
9 3
log
log log 3
2
2 6.2 2 0
x
x
⇔ − + =

( )
log

9 9
log log
1
9
2 2 2 2 log 1 9
x x
x x⇒ = ⇒ = ⇔ = ⇔ =
9 9
log log
2 2
9
2 4 2 2 log 2 9 81
x x
x x⇒ = ⇒ = ⇔ = ⇔ = =
3/
3 3 3
log log log 9
4 5.2 2 0
x x
− + =

Giải
Pt
( )
2
3
3
log
log 3log
2

⇔ − + =
=

⇔

=

Với t=1
3 3
log log
0
3
2 1 2 2 log 0 1
x x
x x⇒ = ⇒ = ⇔ = ⇔ =
Với t=4
3 3
log log
2 2
3
2 4 2 2 log 2 3 9
x x
x x⇒ = ⇒ = ⇔ = ⇔ = =
8