Phần 1: Khái niệm phơng trình vô tỉ: là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn
Phần 2: một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ:
. Phơng pháp nâng lên luỹ thừa.
. Phơng pháp đặt ẩn phụ.
. Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
. Phơng pháp bất đẳng thức.
. Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
I/ Phơng pháp nâng lên luỹ thừa:
1. Phơng trình dạng
)()( xgxf
=
Cách giải:



=

=
)()(
0)(
)()(
2
xgxf
xg
xgxf
Chú ý: khi bình phơng dẫn đến phơng trình bậc cao thì nên sử dụng phơng pháp đặt
ẩn phụ.
Ví dụ : giải các phơng trình sau:
a)
332
=



=

=
x
xx
x
xx
x
xx

d) Đặt t=
6
7
22
2
27126

=+
t
xxxx
PT đã cho tơng đơng với PT
7;1076
2
===
tttt
từ đó suy ra x (loại t=-1)
2. Phơng trình dạng
)()()( xhxgxf

bình phơng hai lần khử căn, nghiệm là x=-1
d)đặt
012,049
2
==+
bxaxx
phơng trình là
baba 53
+=+
bình phơng
hai vế rút gọn đợc b=0 hoặc b=a .Nghiệm là
5;
2
1
3.áp dụng hằng đẳng thức (a+b)
3
=a
3
+b
3
+3ab(a+b)
Ví dụ: giảI phơng trình
333
3221
=+
xxx
Giải: Phơng trình tơng đơng với
[ ]
2
3

1
2
1
2
2
1
0)(
==+
aatat
(loại
2
1
=
at
) khi đó
aaax
==
4
1
2
2
1
)(
Ghi chú: khi đã giải đợc PT tổng quát có thể giảI PT với a=4, a=9,...đợc kết quả khá gọn
gàng.
Ví dụ2: giải PT
7234742
2342
++=++
xxxxxx

)6)(3()6)(3(29

=+++=
t
xxxxt
PT đã cho thành
3
2
9
2
=+

t
t
, học sinh tự giải tiếp.
Ví dụ4: giải phơng trình:
xxx
xx
=+
22
77
2

Giải:
7,7:
34

xxDK
chuyển vế :
22

x
x
x
phơng trình trở thành
y
2
+2y-8=0 ta đợc y=2, y=-4
với y=2, ta có
,1
3
)1(

+

x
x
x
=2 bình phơng hai vế(đk x>1) đợc x
2
+2x-7=0 chọn x=
81
+
với y=- 4, ta có
,1
3
)1(

+

x

=+++=+++
)8(13121
)83(11321
)31(11312
131211)31()21(
22
xxx
xxx
xxx
xxxx
Nghiệm là:
83

x
.
Ví dụ2: giải phơng trình
2
3
1212
+
=++
x
xxxx
(1)
Gợi ý: (1)






phải không âm . Phơng trình vô nghiệm,
b) ĐK:
1

x
khi đó (2)
121
++=
xx
vế trái luôn nhỏ hơn vế phải. Phơng trình vô
nghiệm.
2.Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:
Ví dụ1: giải phơng trình
564630527122
222
+=+++
xxxxxx
(1)
Giải: vế trái
4191)3(59)3(2
22
=++++
xx
vế phải
44)3(56
22
+=+
xxx
vậy hai vế của (1) đều bằng 4 , khi đó x=3
Ví dụ2: giải phơng trình

2
)2)(74(
+
=++
xx
xxxx
Giải: áp dụng BĐT côsi
2
ba
ab
+

với
0,0

ba
có : ta c ú
22222222222222
)()())(( bcadbdacdbcbdacadcba
++=+++=++
2
952
2
)274(
22
2
22
)2)(74(
+
+++

4;104545
2
===+=
xxxxxx
(thoả mãn đk )
V/ Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các phơng trình không mẫu mực hoặc tìm điều
kiện để phơng trình có nghiệm.
1. Hớng giải: để giải phơng trình f(x)=g(x) , ta dùng tỉ số biến thiên hoặc phơng pháp
đạo hàm để chứng minh hai miền giá trị của hàm f(x) và g(x) chỉ có chung đúng một phần
tử x
0
, từ đó kết luận x
0
là nghiệm.
+ Cụ Thể: Ta sẽ chứng minh
)()( xgxf

hoặc
)()( xgxf

hoặc
Axf

)(
và
Axg

)(


x
x
đặt :
1231)(
++++=
xxxxf

2
1
122
1
32
1
12
1
/
0)(
>>++=
++
xxf
xxx
)(xf

tăng trên
[
)
+
;
2
1

+++
=
xx
xf
luôn giảm trên R, hàm
23)(
=
xxg
luôn tăng trên R,
do đó đồ thị hàm f(x) cắt đồ thị hàm g(x) tại một điểm duynhất x=1, vậy phơng trình
đã cho có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 3: giải hệ phơng trình





=++
=++
752
725
yx
yx
Giải: điều kiện:





2

+
+
tt
tt
tt
tf
với
2

t
f(t) là hàm giảm trên
[
)
+
;2
do đó
yxyfxf
==
)()(
khi đó hệ PT
1111725
===++
yxxx
, nghiệm của hệ là (11;11).
Ví dụ 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực

4
2
12113
=++

x
t
, khi đó (1) trở
thành -3t
2
+2t=m vì t=
4
1
2
4
1
1
1
++

=
xx
x
và
101
<
tx
hàm số
10,23)(
2
<+=
ttttf

có bảng biến thiên:
t o

22
+=+
xxxx
7)
11)1()1(
3 2
3
2
3
2
=+++
xxx
3)
12611246
=+++++
xxxx
8)
61224
3
=++
xx
4)
661697
2
+=+
xxxx
9)
0321
333
=+++++