50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389
BÀI TẬP TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1:
Phương trình (1) x
2
+ x – 12 = y
2
– 7y x
2
+ x – (y
2
– 7y + 12) = 0.
= 4y
2
(Chú ý là x
2
+ 1 1,
nên ta chọn f(t) trong miền t ).
Thay vào Pt2 x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
+ x – 2 = 0. (x
2
+ x – 1)(x
2
+ x + 2) = 0.
Bài 3:
= 3. Ta thấy vế trái là hàm đơn
điệu (f’(x) > 0). Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Bài 4:
Pt1 4x
4
+ 4x
2
y
2
+ y
= 1. Vậy 2x
2
+ y
2
= 2xy + 1 4x
4
+ 4x
2
y
2
+ y
4
= 4x
2
y
2
+ 4xy + 1. Vậy
= 4xy + 1. Thay vào pt2 (xy)
7
+ 4xy = 5. Chú ý phương trình bậc lẻ, hệ số dương luôn là hàm
đồng biến. Vậy xy = 1.
Do đó ta có hệ:
x
2
+ 3t
2
= 4xt.
Bài 6:
Đặt y + 2 = t + 1 hay y = t – 1. Ta có
Hàm đặc trưng f(t) =
Pt1 x
6
+
= (–y)
3
+
. Hàm đặc trưng f(t) = t
3
+
là hàm đồng biên nên ta có y = –x
2
. Thay vào pt2
ta có:
3x
2
+ 2x + 7 = 3(x + 1)
Chia 2vế phương trình 1 cho x
5
. Ta có: x
10
+ 2x
2
=
+ 2.
. Do đó
= x
2
hay y = x
3
. Thay vào pt2 ta có:
x
2
+ 5x + 7 = 7.
6(x
3
– y
3
) = (8x + 2y)(x
2
– 3y
2
) (Phương trình đồng bậc)
Bài 10:
vào pt 2 ta có:
Kết luận: x = 1, y =
Bài 11:
+ 6x + 2, f”(x) = 12x
2
– 24x, f
(3)
(x) = 24x – 24. Vậy f’(x) và f
(3)
(x) có nghiệm chung x = 1. Ta đặt x =
X + 1.
Vậy (X + 1)
4
– 4(X + 1)
3
+ 3(X + 1)
2
+ 2(X + 1) – 1 = 0 X
4
– 3X
2
+ 1 = 0. Tìm ra X rồi tìm ra x.
Bài 12:
50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389
Kỹ thuật này ta gọi là kỹ thuật trục căn thức 2 lần.
Bài 13:
) = 0
Bài 14: 3x
2
5.
(x + 1)
3
+ 5(x + 1) = (x
3
+ 1) + 5.
3
Ta có hàm đặc trưng f(t) =
. Do đó f(x) = f(
) khi x =
vô nghiệm.
Bài 17: x
3
+
(x + 2 +
Với x + 2 +
Phương trình (1) làm giống bài 13 x = 2y. Do đó 3x
2
+ 5x + 2 =
(x + 1)
3
+ 2(x + 1) = (x
3
+ 1) +
.
Hàm đặc trưng f(t) = t
3
+ 2t. Trong đó f(x + 1) = f(
. Đặt a =
, b =
ta có a
2
+ 2ab – 3b
2
=
0 nên a = b (Do a, b là các số không âm). Vậy y = x
2
+ 2. Thay vào pt2 ta có:
Phương trình 1
Bài 22:
Bài 23:
+ 3x
2
+ 3x – 5 =
(x + 1)
3
+ (x + 1) = (x + 7) +
. Hàm đặc trưng f(t) = t
3
+ t là hàm đồng biến.
Do đó f(x + 1) = f(
) khi x + 1 =
.
Tổng quát: f(x) = α
với α > 0 và n lẻ thì ta tách phương trình đó dưới dạng β.[h(x)]
n
và P
k
(x) = a
k
x
k
+
a
k-1
x
k-1
+ … + a
1
x + a
Pt1 x
7
+ x
5
y
2
+ xy
6
= y
14
+ y
12
+ y
8
. Chia 2 vế cho y
7
ta có:
Thay vào pt 2 ta có: x
3
+ 9x
2
+ 27x + 27 = 2
do đó (x + 3)
3
+ 2(x + 3) = (2x + 6) + 2
. Hàm đặc trưng f(t) =
t
3
+ t là hàm đồng biến nên f(x + 3) = f(
) hay x + 3 =
Bài 26:
>
4
+ 4t
3
+ 12t
2
+ 18t + 24 = (t
2
+ 2t)
2
+ (8t
2
+ 18t + 24) > 0 với mọi t. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất là t =
2 x = 3 và y = .
Bài 27:
Thay vào phương trình số 1 ta được:
x
2
+
= 2.
x
3
+
+
+ t
2
)(x + 2t) x = 0 hoặc x = t.
Bài 29:
Phương trình (1) (x + y – 4)(x
2
+ y
2
+ 4x + 4y) = 0 x + y = 4 vì (x + y) > 0.
Bài 30:
y
2
+ 5 – 4
= 0
(y + 1)(y – 2)(1 +
+
) = 0. Do đó y = hoặc y = 2.
Bài 31:
Pt2
=
+
Pt1 2x
3
– 2x = (y
2
+ 1)
3
+ 4(y
2
+ 1). Đặt y
2
+ 1= t. Ta có hệ:
Phương trình (1) x
3
+ 3x = (y + 2)
3
+ 3.(y + 2) y = x – 2.
Thay vào phương trình 2 x
3
+ x
2
– 4x – 1 =
Bài 35:
Phương trình (1) 4(2x – 1)
= 4(y + 1)
3
+ (y + 1). Do đó y + 1 =
(y x =
3
= 0. Do đó x = t =
hoặc x =
50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389
Với x
ta có x và phương trình (2) trở thành: x
2
+ 16x + 8
= 60. Ta dễ dàng thấy f’(x) > 0.
Do đó f(x) f(0) = 8
< 60.
Với x =
ta có x
2
+ 4x + 2
= 16. Ta dễ dàng thấy f’(x) > 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Bài 37:
Bài 38:
Bài 39:
Pt (1) x
6
+ 2x
2
= (y + 3)
3
+ 2(y + 3). Do đó y + 3 = x
2
. Thay vào (2) ta có x
2
– x – 3 =
Đặt
= t. Ta có Pt1 (2x
2
+ t
2
)
2
= 3xt
2
(x + t). Do đó 2x = t hay y = 4x
2
(x > 0). Thay vào pt2 ta có:
.
50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389
Phương trình 1 (x
2
+ 1)(x
2
– y) = 0. Do đó y = x
2
. Thay vào pt2 x
(4 – x) =
2x. Giải điều kiện ta có được
. Ta bình phương 2 vế được: (2x
2
– 4)(x
2
– 8x + 16) = 4x
2
(x – 2)
2
(x
2
– 4x – 8) =
0. Do đó x = 2.
Pt 2 x
2
+ (3y + 3)x + 2y
2
+ 2y – 4 = 0. Dùng biệt thức x + y = 1 hoặc x + 2y + 4 = 0 (Loại vì không thỏa mãn điều
kiện)
Thay vào pt1
. Sử dụng trục căn thức 2 lần giống như Bài 34 với x =
và x =
Bài 46:
Bài 47:
Phương trình 2 (x
2
y + 2x)
Bài 48: 4x
2
+ 11x +8 = (x + 2)
Phương trình (1) x
3
– 3x
2
+3x – 1 = y
2(x
2
– 2x – 8) + 3(x + 5) = 5
. Đặt
Copyright: Tài liệu đại học ©