Bài giảng bổ sung môn Giải tích A3: Tích phân Bội,
Tích phân Đường, Tích phân Mặt
Huỳnh Quang Vũ
Current address: Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc
gia Thành phố Hồ Chí Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Thành phố Hồ Chí
Minh. Email:
v
u
x
z
y
s
t
ψ
r

r
S
V
U
TÓM TẮT NỘI DUNG. Đây là tập bài giảng bổ sung cho môn Giải tích A3 (TTH024).
Đây là môn bắt buộc cho tất cả các sinh viên Khoa Toán-Tin vào học kì thứ 3.
Tập bài giảng này không thay thế giáo trình. Giáo trình chính tương đương
với quyển sách của Stewart [Ste08]. Mục đích của tập bài giảng này là cung cấp tài
liệu đọc thêm, sâu hơn, nhưng vẫn sát với nội dung môn học.
Những phần có đánh dấu * là tương đối khó hơn.
Đây là một bản thảo, sẽ được tiếp tục sửa chữa. Bản mới nhất có trên trang
web />Ngày 7 tháng 9 năm 2011
Mục lục
Chương 1. Tích phân bội 1
1.1. Tích phân trên hình hộp 1

, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
thì ||x|| = (x
2
1
+ x
2
2
+ ···+ x
2
n
)
1/2
.
1.1. Tích phân trên hình hộp
Tích phân trên không gian nhiều chiều là sự phát triển tương tự của tích phân
một chiều. Do đó các ý chính đã quen thuộc và không khó. Người đọc có thể xem
lại phần tích phân một chiều để dễ theo dõi hơn.
1.1.1. Chia nhỏ hình hộp. Một khoảng (interval) là một tập con của R có dạng
[a, b] với a < b.
Một hình hộp n-chiều (rectangle) là một tập con của R
n
có dạng [a
1
, b
1

2
) ···(b
n
− a
n
).
Khi số chiều n = 1 ta thường thay từ thể tích bằng chiều dài (length). Khi
n = 2 ta thường dùng từ diện tích (area).
Một phép chia (hay phân hoạch) (partition) của một khoảng [a, b] là một tập
con hữu hạn của khoảng [a, b] mà chứa cả a và b.
Ta thường đặt tên các phần tử của một phép chia là x
0
, x
1
, . . . , x
n
với
a = x
0
< x
1
< x
2
< ··· < x
n
= b.
Mỗi khoảng [x
i−1
, x
i

hình hộp ban đầu. Cụ thể một hình hộp con của hình hộp I có dạng
∏
n
i=1
T
i
trong
đó T
i
là một khoảng con của khoảng [a
i
, b
i
] ứng với phép chia P
i
.
1.1.2. Ví dụ. Tập P = {0,
1
2
, 1} là một phép chia của khoảng [0, 1]. Đối với hình
hộp [ 0, 1]
2
thì Q = P × P = {(0, 0), (0,
1
2
), (0, 1), (
1
2
, 0), (
1

3
,
1
2
, 1} là một
phép chia mịn hơn P.
1.1.2. Ý của tích phân trên hình hộp. Ý của tích phân Riemann đã quen thuộc,
ta chỉ nhắc lại dưới đây.
Cho I là một hình hộp, và f : I → R. Ta muốn tính tổng giá trị của hàm f trên
hình hộp I. Ta sẽ chia nhỏ hình hộp I bằng những hình hộp con. Trên mỗi hình
hộp con đó ta xấp xỉ giá trị của hàm f bằng một hàm hằng. Nếu như hàm f liên
tục thì lượng biến thiên của giá trị của f sẽ nếu như kích thước của hình hộp con
là “nhỏ”, do đó sự xấp xỉ bằng hàm hằng sẽ là “tốt”. Nếu ta cho số hình hộp con
tăng lên vô hạn thì ta sẽ được giá trị đúng của tổng.
Sau đây là một cách giải thích hình học. Giả sử thêm hàm f là không âm, ta
muốn tìm "thể tích" của khối bên dưới đồ thị của hàm f bên trên hình hộp I . Ta sẽ
xấp xỉ khối đó bằng những hình hộp với đáy là một hình hộp con của I và chiều
cao là một giá trị của f trong hình hộp con đó. Khi ta cho số hình hộp tăng lên vô
hạn thì sẽ được giá trị đúng của thể tích.
Cụ thể hơn, với một phép chia P của I, thành lập tổng Riemann
∑
R
f (x
R
)|R|
ở đây tổng được lấy trên tất cả các hình hộp con R của P, và x
R
là một điểm bất kì
trong R .
“Giới hạn” của tổng Riemann khi phép chia “mịn hơn và mịn hơn” sẽ là tích

dưới (lower sum), hay xấp xỉ dưới.
Tương tự,
U( f , P) =
∑
R
(sup
R
f )|R|,
được gọi là tổng trên (upper sum), hay xấp xỉ trên.
1.1.4. Bổ đề. Nếu phép chia P

là mịn hơn phép chia P thì
L( f, P

) ≥ L( f , P),
và
U( f , P

) ≤ U( f , P).
CHỨNG MINH. Mỗi hình hộp con R

của P

nằm trong một hình hộp con R của
P. Ta có inf
R

f ≥ inf
R
f . Vì thế

Lấy tổng hai vế của bất đẳng thức trên t heo tất cả hình hộp con R của P ta được
L( f, P

) ≥ L( f , P). 
Nếu P =
∏
n
i=1
P
i
và P

=
∏
n
i=1
P

i
là hai phépchia của hình hộp I =
∏
n
i=1
[a
i
, b
i
]
thì
∏

). 
Một hệ quả củakết quả trên làchặn trênnhỏ nhấtcủa cácxấp xỉ dưới sup
P
L( f, P)
và chặn dưới lớn nhất của các xấp xỉ trên inf
P
U( f , P) tồn tại, và sup
P
L( f, P) ≤
inf
P
U( f , P).
1.1.6. Định nghĩa (Tích phân Riemann). Cho hình hộp I. Một hàm f : I → R là
khả tích (integrable) nếu f bị chặn và sup
P
L( f, P) = inf
P
U( f , P).
Nếu f khả tích thì tích phân (integral) của f được định nghĩa là số t hực
sup
P
L( f, P) = inf
P
U( f , P), và được kí hiệu là

I
f .
1.1.7. Ví dụ. Nếu c là hằng số thì

I

(2) cf khả tích và

I
c f = c

I
f .
(3) Nếu f ≤ g thì

I
f ≤

I
g.
Bài tập.
1.1.9. Giả sử f liên tục trên hình hộp I và f (x) ≥ 0 trên I. Chứng minh rằng nếu

I
f = 0
thì f = 0 trên I.
1.1.10. Điều sau đây là đúng hay sai, giải thích:

[0,1]×[1,4]
(x
2
+
√
y) sin(xy
2
) dA = 10.

. Khi đó
U( f , P

) − L( f , P

) ≤ U( f , P

) − L( f , P) < 2
(⇐) Giả sử với  > 0 cho trước bất kì có phép chia P sao cho U( f , P) −
L( f, P) < . Bất đẳng thức này dẫn tới 0 ≤ inf
P
U( f , P) − sup L( f , P) <  với
mọi >0. Do đó inf
P
U( f , P) = sup
P
L( f, P). 
Sau đây là một điều kiện đủ đơn giản quen thuộc cho sự khả tích, rất thường
được dùng:
1.2.2. Định lí (liên tục thì khả tích). Một hàm liên tục trên một hình hộp thì khả
tích trên đó.
CHỨNG MINH. Ta sẽ dùng các kết quả sau trong Giải tích 2 (bạn đọc nên xem
lại):
(1) Một tập con của R
n
là compắc khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.
(2) Một hàm thực (tức một hàm vào R) liên tục trên một tập con compắc của
R
n
thì bị chặn trên đó.

6 1. Tích phân bội
1.2.3. Ví dụ. Cho f : [0, 1] → R,
f (x) =



0, x =
1
2
1, x =
1
2
Nếu ta lấy phép phân chia P của [0, 1] sao cho chiều dài của các khoảng con
nhỏ hơn  thì sai khác giữa U( f , P) và L( f , P) nhỏ hơn . Vì thế hàm f khả tích.
Chú ý rằng f không liên tục tại
1
2
.
1.2.4. Ví dụ. Cho f : [0, 1] → R,
f (x) =



1, x ∈ Q
0, x /∈ Q
Với bất kì phép chia P nào của khoảng [0, 1] ta có L( f , P) = 0 and U( f , P) = 1. Do
đó f không khả tích. Chú ý rằng f không liên tục tại bất kì điểm nào.
1.2.1. Tập có thể tích không.
1.2.5. Định nghĩa. Một tập con C của R
n

n
có thể tích không.
Một tập vô hạn cũng có thể có thể tích không, ví dụ như cạnh của một hình
chữ nhật trong R
2
. Về sau ta sẽ thấy nhiều tập khác có thể tích không. Vì vậy điều
kiện đủ sau là một kết quả mạnh:
1.2.7. Định lí (liên tục trừ ra tập t hể tích không thì khả tích). Một hàm thực bị
chặn trên một hình hộp và liên tục trên đó trừ ra một tập có thể tích không thì khả
tích trên đó.
CHỨNG MINH. Gọi f là một hàm thực bị chặn trên hình hộp I, do đó có số thực
M sao cho |f (x)| ≤ M với mọi x ∈ I. Cho C là tập hợp các điểm thuộc I mà tại đó
hàm f không liên tục. Giả thiết rằng C có thể tích không. Cho  > 0, có một họ các
hình hộp U phủ C và có tổng thể tích nhỏ hơn . Mở rộng mỗi hình hộp thuộc U
thành một hình hộp mới có kích thước lớn hơn, để được một họ mới các hình hộp
U

phủ C với tổng thể tích nhỏ hơn 2. Có thể giả sử mỗi hình hộp U

i
thuộc U

là
một tập con của I, bằng cách thay U

i
bằng U

i
∩ I nếu cần.

f )|R| < 
∑
R⊂T
|R | ≤ |I|
Nếu hình hộp con R của P

không phải là tập con của T thì R là tập con của
một hình hộp thuộc họ U

, do đó
∑
RT
(sup
R
f −inf
R
f )|R| ≤
∑
RT
2M|R| = 2M
∑
RT
|R | < 2M2.
Kết hợp hai đánh giá trên ta có U( f , P

) − L( f , P

) < (|I| + 4M). Từ đó ta kết
luận hàm f khả tích. 
1.2.2. Điều kiện cần và đủ cho sự khả tích. Trong phần này chúng ta sẽ trả lời

bằng một họ đếm được hình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn số dương cho trước bất
kì.
1.2.9. Ví dụ. Một tập có thể tích không thì có độ đo không.
Một mệnh đề P(x) thường được gọi là đúng hầu khắp (almost everywhere)
nếu nó đúng với mọi x trừ ra một tập có độ đo không.
1.2.10. Định lí (khả tích=bị chặn+liên tục hầu khắp). Một hàm thực bị chặn trên
một hình hộp là khả tích trên hình hộp đó khi và chỉ khi tập hợp những điểm tại
đó hàm không liên tục có độ đo không.
Nói cách khác, một hàm bị chặn là khả tích trên một hình hộp khi và chỉ khi
nó liên tục hầu khắp trên đó.
1.2.11. Ví dụ. Sau đây là một ví dụ kinh điển của một hàm khả tích có tập hợp các
điểm không liên tục có độ đo không nhưng không có thể tích không.
Cho f : [0, 1] → R,
f (x) =



1
q
, x =
p
q
, p, q ∈ Z, q > 0, gcd(p, q) = 1
0, x /∈ Q
2
Chữ "độ đo" ở đây chỉ độ đo Lebesgue. Lí thuyết tích phân Lebesgue được phát triển sau lí thuyết tích
phân Riemann.
8 1. Tích phân bội
Rõ ràng f không liên tục tại các số hữu tỉ. Mặt khác có thể chứng minh là f liên
tục tại các số vô tỉ (Bài tập 1.2.20). Tập hợp các số hữu tỉ trong khoảng [0, 1] có độ

p
q
ở dạng tối giản không thuộc C

thì
1
q
< , do đó
∑
R/∈U
(sup
R
f )|R| < 
∑
R/∈U
|R | ≤ . Vậy U( f , P) < 2. Từ đây ta kết luận f khả
tích, hơn nữa

[0,1]
f = 0.
Định lí sau nói rằng giá trị của một hàm bị chặn trên một tập có thể tích không
không ảnh hưởng đến tích phân.
1.2.12. Định lí. Giả sử f và g là hàm bị chặn trên một hình hộp I và f (x) = g(x)
trên I trừ ra một tập con có thể tích không. Nếu f khả tích trên I thì g cũng khả
tích trên I, và

I
f =

I


I
f =

I
g. Đặt h = g − f thì h khả tích, và h(x) = 0 trừ ra
trên D. Ta chỉ cần chứng minh

I
h = 0.
Lấy một phép chia P của I bất kì và xét một hình hộp con R của P bất kì. Vì D
có thể tích không trong khi R có thể tích khác không nên D không thể chứa R. Do
đó có điểm x trong R không thuộc D, và h(x) = 0.
Từ quan sát trên ta suy ra L(h, P) ≤ 0 và U(h, P) ≥ 0. Vì h khả tích nên ta phải
có

I
h = 0. 
1.2.3. * Chứng minh Định lí 1.2.10.
1.2. Sự khả tích 9
1.2.14. Bổ đề. Trong Định nghĩa 1.2.5 và 1.2.8, hình hộp đóng có thể được thay
bằng hình hộp mở, chính xác hơn, giả thiết phủ bằng một họ các hình hộp có thể
được thay bởi giả thiết phủ bằng một họ phần trong của các hình hộp.
CHỨNG MINH. Cho  > 0. Ta cần chứng minh rằng nếu có một phủ của A
bằng các hình hộp đóng U
1
, U
2
, . . . sao cho
∑

i
có cùng tâm với U
i
nhưng lớn hơn một chút, cụ t hể là sao cho
|U
i
| < |V
i
| < |U
i
|+
δ

2
i
.
Khi đó họ các phần trong của các hình hộp V
1
, V
2
, . . . phủ A và
∞
∑
i=1
|V
i
| <

∞
∑

( sup
B(x,δ)∩D
f − inf
B(x,δ)∩
f ) = lim
δ→0
( sup
B(x,δ)∩D
f − inf
B(x,δ)∩D
f )
1.2.16. Bổ đề. Hàm f liên tục tại x khi và chỉ khi o( f , x) = 0.
CHỨNG MINH. (⇒) Giả sử o( f , x) = 0. Cho trước  > 0, có δ > 0 sao cho
sup
B(x,δ)
f − inf
B(x,δ)
f < . Suy ra f (y) − f (x) <  và f (x) − f (y) < , vì thế
|f (y) − f (x)| <  với mọi y ∈ B(x, δ) ∩ D. Vậy f liên tục tại x.
(⇐) Giả sử f liên tục tại x. Cho số dương , có δ > 0 sao cho |f (y) − f (x)| < 
với mọi y ∈ B(x, δ). Vì vậy với y, z ∈ B(x, δ) ta có |f (y) − f (z)| < 2. Suy ra
sup
B(x,δ)
f −inf
B(x,δ)
f ≤ 2. Vậy o( f , x) = 0. 
1.2.17. Bổ đề. Với mọi  > 0, tập {x ∈ D | o( f , x) ≥ } là tập đóng trong D.
CHỨNG MINH. Ta sẽ chứng minh rằng A = {x ∈ D | o( f , x) < } là tập
mở trong D. Giả sử x ∈ A. Có δ > 0 sao cho sup
B(x,δ)


là một tập
compắc trong R
n
và là tập con của C. Do 1.2.15 và 1.2.14có một họ U các hình hộp
U
1
, U
2
, . . . , U
m
(có thể giả sử mỗi hình hộp này là tập con của I) sao cho C

được
phủ bởi họ các phần trong của các U
i
, nghĩa là C ⊂

m
i=1
◦
U
i
, và
∑
m
i=1
|U
i
| < .

j
, 1 ≤ i ≤ k và 1 ≤ j ≤ m sinh ra một phép chia nhỏ P
của I (tạo ra từ các tọa độ đỉnh của các hình hộp).
Với mỗi hình hộp con R của P nằm trong T ta có R ⊂ R
i
với i nào đó, và vì thế
sup
R
f −inf
R
f < . Do đó
∑
R⊂T
(sup
R
f −inf
R
f )|R| < 
∑
R⊂T
|R | < |I|
Nếu hình hộp con R của P không chứa trong T thì R ⊂ U
i
với i nào đó. Khi đó
∑
RT
(sup
R
f −inf
R

.
Cho  > 0. Với mỗi i có một họ hữu hạn các hình hộp {U
i,j
| 1 ≤ j ≤ n
i
} phủ
A
i
và
∑
n
i
j=1
|U
i,j
| <

2
i
.
Bây giờ ta liệt kê các tập U
i,j
theo thứ tự
U
1,1
, U
1,2
, . . . , U
1,n
1

i
, . . . , x
n
) với a
j
≤ x
j
≤ b
j
cho j = i và x
i
= c. Cho trước
 > 0. Lấy hình hộp R phủ D có cạnh ở chiều thứ i đủ bé, cụ thể R gồm các điểm
có dạng (x
1
, x
2
, . . . , x
i
, . . . , x
n
) với a
j
≤ x
j
≤ b
j
cho j = i và c − δ ≤ x
i
≤ c + δ. Khi

nằm trong một quả cầu chứa trong R. Do đó
sup
R
f −inf
R
f ≥ o( f , x) ≥ 1/m. Vậy
 >
∑
R∈S
(sup
R
f −inf
R
f )|R| ≥
∑
R∈S
1
m
|R |.
Vậy ta được
∑
R∈S
|R | < m.
Gọi T là hội của biên của các hình hộp con của P. Ta có C
1/m
⊂ T ∪(

R∈S
R).
Theo 1.2.19 tập T có thể tích không. Có một phủ Q của T bằng hữu hạn các hình

k
< M. Dãy {q
n
k
}
k∈Z
+
bị chặn, nên có dãy con {q
n
k
l
}
l∈Z
+
hội tụ về một số nguyên c.
1.2.21. Tập hợp các số hữu tỉ trong khoảng [0, 1] có độ đo không nhưng không có thể tích
không.
Hướng dẫn: Tập hợp các số hữu tỉ là đếm được. Dùng 1.2.13.
1.2.22. Nếu f khả tích thì |f | khả tích và




I
f



≤



[a,b]×[c,d]
f là
"thể tích" của khối bên dưới mặt z = f (x, y) bên trên hình chữ nhật [a, b] × [c, d].
Đặt I(x) =

[c,d]
f (x, y) dy. Khi đó I(x
0
) là diện tích của mặt cắt (cross-section) của
khối bởi mặt phẳng x = x
0
. Vậy định lí Fubini nói rằng thể tích của khối bằng tổng
diện tích các mặt cắt song song.
Có thể giải tích điều này bằng cách xấp xỉ thể tích của khối như sau. Chia
khoảng [a, b] thành những khoảng con. Ứng với những khoảng con này, khối được
cắt thành những mảnh bởi những mặt cắt song song. Vì chiều dài mỗi khoảng con
là nhỏ, ta có thể xấp xỉ thể tích của mỗi mảnh bởi diện tích một mặt cắt nhân với
chiều dài của khoảng con.
Có thể giải thích công thức Fubini theo cách định lượng như sau: tổng giá trị
của hàm trên hình hộp bằng tổng giá trị trên các mặt cắt.
Cũng có thể giải thích bằng xấp xỉ theo tổng Riemann như sau. Giả sử a =
x
0
< x
1
< ··· < x
m
= b là một phân hoạch của khoảng [a, b] và c = y
0


[c,d]
f (x, y) dy

|∆x
i
|
=
m
∑
i=1

n
∑
j=1
f (x
∗
i
, y
∗
j
)|∆y
j
|

|∆x
i
|
=
∑


A×B
f =

A


B
f (x, y) dy

dx
Các giả thiết về hàm f sẽ được thỏa mãn nếu f liên tục, do đó ta có dạng
thường dùng sau:
1.3.3. Hệ quả. Cho A là một hình hộp trong R
m
và B là một hình hộp trong R
n
.
Cho f liên tục trên hình hộp A × B trong R
m+n
. Khi đó

A×B
f =

A


B
f (x, y) dy

giải thích bằng xấp xỉ với tổng Riemann ở trên.
Gọi P là một phép chia bất kì của hình hộp A × B. Khi đó P là tích của một
phép chia P
A
của A và một phép chia P
B
của B .
Đối với tổng dưới, ta có:
L(

B
f (x, y) dy, P
A
) =
∑
R
A
[ inf
x∈R
A

B
f (x, y) dy]|R
A
|
≥
∑
R
A
( inf

|)|R
A
|
=
∑
R
A
(
∑
R
B
[ inf
R
A
×R
B
f (x, y)]|R
B
|)|R
A
|
=
∑
R
A
×R
B
inf
R
A

Bài tập.
1.3.5. Cho f : R
2
→ R. Giả sử
∂
2
f
∂x∂y
(x, y) và
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) liên tục.
(a) Trên hình chữ nhật [a, b] ×[c, d], dùng định lí Fubini, hãy chứng tỏ

[a,b]×[ c,d]
∂
2
f
∂x∂y
dA =

[a,b]×[ c,d]
∂
2
f
∂y∂x
dA.
(b) Dùng phần (a), chứng tỏ



f (x), x ∈ D
0, x /∈ D
Ta định nghĩa một cách tự nhiên:
1.4.1. Định nghĩa. Tích phân của f trên D được định nghĩa là tích phân của F trên
I.
Ta nhận thấy ngay định nghĩa này không mâu thuẫn với định nghĩa đã có khi
D là một hình hộp. Một điều kiện cần để tích phân của f trên D được định nghĩa
là f phải bị chặn trên D.
Định nghĩa tích phân của f trên D cần phải không phụ t huộc vào cách chọn
hình hộp I.
1.4.2. Bổ đề. Tích phân

D
f không phụ thuộc vào cách chọn hình hộp I.
CHỨNG MINH. Giả sử F
1
là mở rộng của f lên I
1
⊃ D, bằng không ngoài D và
F
2
là mở rộng của f lên I
2
⊃ D, bằng không ngoài D. Ta cần chứng minh điều sau:
nếu F
1
khả tích trên I
1

khả tích trên I
3
, và khi đó

I
1
F
1
=

I
3
F
3
.
Đặt F

1
xác định trên I
1
sao cho F

1
trùng với F
1
trừ ra trên biên của I
3
, nơi mà
F


của I
1
bằng cách thêm
vào tọa độ các đỉnh của I
1
. Bất kì một hình hộp con nào của P cũng là một hình
hộp con của P

, từ đó U(F
3
, P) = U(F

1
, P

) và L(F
3
, P) = L(F

1
, P

) (ở chỗ này có
dùng giả thiết F

1
bằng không trên biên của I
3
). Do tiêu chuẩn 1.2.1 ta kết luận nếu
F

. Hạn chế P

lên I
3
ta
được một phép chia P của I
3
. Giống như đoạn vừa rồi ta có U(F
3
, P) = U(F

1
, P

)
và L(F
3
, P) = L(F

1
, P

). Do đó nếu F

1
khả tích thì F
3
khả tích và khi đó tích phân
của chúng bằng nhau. 
16 1. Tích phân bội

ta có kết quả. 
Giờ ta có thể chứng minh định lí.
CHỨNG MINH 1.4.4. Cho D là miền bị chặn trong R
n
, lấy một hình hộp I chứa
D và lấy hàm F bằng 1 trên D và bằng 0 ngoài D. Tập hợp các điểm không liên tục
của F là chính tập biên của D. Vậy F khả tích khi và chỉ khi biên của D có độ đo
không, và điều này xảy ra khi và chỉ khi nó có thể tích không. 
1.4.2. Sự khả tích. Tích phân

D
f tồn tại nếu và chỉ nếu tích phân

I
F tồn tại.
Theo 1.2.10 ta biết tích phân

I
F tồn tại khi và chỉ khi F liên tục hầu khắp trên I.
Tập điểm tại đó F không liên tục gồm những điểm trên D mà f không liên tục
và có thể một số điểm khác trên biên của D.
1.4. Tích phân trên tập tổng quát 17
1.4.6. Định lí. Cho D là tập con bị chặn của R
n
với biên ∂D có thể tích không. Khi
đó f khả tích trên D khi và chỉ khi f bị chặn và liên tục hầu khắp trên D .
CHỨNG MINH. Cho C là tập những điểm tại đó f không liên tục. Cho I là một
hình hộp chứa D và cho F là mở rộng của f lên I, bằng không ngoài D. Gọi E là
tập điểm tại đó F không liên tục.
Như đã nói ở trên, ta có C ⊂ E ⊂ (C ∪∂D).

R
f , sup
R
f ] với R ∈ S. Tổng thể tích của các hình hộp này nhỏ hơn
|I|. 
1.4.8. Ví dụ. Do kết quả này và 1.2.18, trên mặt phẳng một đoạn thẳng có diện tích
không, một đường tròn có diện tích không (và do đó hình tròn có diện tích), biên
của một hình bình hành có diện tích không . . . Trong không gian ba chiều thì mặt
cầu có thể tích không (và do đó quả cầu có thể tích).
18 1. Tích phân bội
1.4.3. Tính chất của tích phân. Một số kết quả trong phần này đòi hỏi những
điều kiện về sự khả tích. Người đọc có thể giả sử mọi thứ trong các công thức đều
được xác định để có phát biểu đơn giản hơn.
Tương tự như kết quả cho hình hộp 1.2.12, ta có:
1.4.9. Định lí. Cho D là tập bị chặn trong R
n
. Giả sử f và g bị chặn trên D, và
f (x) = g(x) trừ ra một tập có thể tích không. Nếu f khả tích thì g cũng khả tích và
khi đó

D
f =

D
g.
CHỨNG MINH. Lấy một hình hộp I chứa D. Gọi F và G là các mở rộng của f
và g lên I, bằng không ngoài D. Khi đó F(x) = G(x) trên I trừ ra một tập có thể
tích không. Nếu f khả tích trên D thì theo định nghĩa F khả tích trên I. Theo 1.2.12
ta có kết quả. 
1.4.10. Định lí. Cho D


D
2
f
Định lí này cho phép ta tính tích phân trên một miền bằng cách chia miền đó
thành những miền đơn giản hơn.
1.4.11. Ví dụ. Trong định lí trên lấy f = 1, ta có kết quả: Nếu biên của D
1
và biên
của D
2
có thể tíchkhông, và D
1
∩D
2
có thể tíchkhông, thì
|
D
1
∪ D
2
|
=
|
D
1
|
+
|
D

2
. Có thể kiểm dễ dàng là f
1
và f
2
khả tích trên D. Ta có
f
1
+ f
2
= f trên D \ (D
1
∩ D
2
). Do 1.4.9 ta có f khả tích trên D và

D
f =

D
( f
1
+ f
2
) =

D
f
1
+

| a ≤ y ≤ b, f (y) ≤ x ≤ g(y)}.
1.4. Tích phân trên tập tổng quát 19
1.4.12. Định lí (Định lí Fubini cho miền phẳng đơn giản). Cho miền đơn giản
theo chiều đứng D = {(x, y) ∈ R
2
| a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x)}. Giả sử g và h
bị chặn trên [a, b]. Giả sử f khả tích trên D, và giả sử với mỗi x ∈ [a, b] tích phân

h(x)
g(x)
f (x, y) dy tồn tại. Khi đó

D
f (x, y) dA =

b
a


h(x)
g(x)
f (x, y) dy

dx
Lưu ý rằng tất cả những giả thiết của định lí về sự khả tích sẽ được thỏa mãn
nếu f , g và h liên tục.
CHỨNG MINH. Lấy một hình chữ nhật I = [a, b] × [c, d] chứa D. Gọi F là mở
rộng của f bằng không ngoài D. Theo định nghĩa f khả tích trên D nếu và chỉ nếu
F khả tích trên I, và khi đó




h(x)
g(x)
f (x, y) dy

dx

1.4.5. Định lí Fubini cho miền đơn giản ba chiều. Hoàn toàn tương tự trường
hợp hai chiều ta có thể nói về miền đơn giản ba chiều.
Để đơn giản dưới đây ta chỉ phát biểu kết quả cho trường hợp miền bên dưới
một đồ thị (tức một khối đơn giản theo chiều trục z).
1.4.13. Định lí. Cho z = g(x, y) là một hàm bị chặn, không âm, xác định trên miền
phẳng bị chặn D. Gọi E là miền dưới đồ thị của g bên trên mặt phẳng Oxy, tức
E = {(x, y, z) ∈ R
3
| (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ g(x, y)}.
Giả sử f khả tích trên E. Giả sử với mỗi (x , y) ∈ D tích phân

g(x,y)
0
f (x, y, z) dz
tồn tại. Khi đó

E
f (x, y, z) dV =

D




D


[0,a]
F(x, y, z) dz

dA
=

D


g(x,y)
0
f (x, y, z) dz

dA
20 1. Tích phân bội

1.4.14. Mệnh đề. Các giả thiết của Định lí 1.4.13 được thỏa nếu f và g liên tục,
miền D đóng với biên có diện tích không.
CHỨNG MINH. Ta chỉ cần kiểm là biên của E có thể tích không trong R
3
. Biên
của E là hội của đồ thị của hàm g, miền D, và mặt bên hông của E. Mặt bên hông
của E là một tập con của tập ∂D ×[0, a], trong đó ∂D là biên của D, và [0, a] là một
khoảng sao cho hình hộp D × [0, a] chứa E, như trong chứng minh của 1.4.13. Vì
∂D có diện tích không trong R
2

1.4.17. Tính tích phân

R
(
√
x −y
2
) dA
trong đó R là miền bao bởi các đường cong y = x
2
, x = y
4
.
1.4.18. Tính thể tích của khối bao bởi mặt z = 4 − x
2
−y
2
và mặt phẳng xOy.
1.4.19. Tính tích phân

R

x
2
+ y
2
trong đó R là miền bao bởi hai đường cong x
2
+ y
2

y dV.
1.4.23. Tính tích phân

E
y dV
trong đó E là khối tứ diện với 4 đỉnh (0, 0, 0), (1, 0, 0), (2, 1, 0) và (0, 0, 1).
1.4.24. Gọi E là khối được bao phía trên bởi mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= 2 và được bao phía
dưới bởi mặt paraboloid z = x
2
+ y
2
.
(a) Chứng tỏ phần giao của hai mặt trên là một đường tròn.
(b) Tính thể tích của khối E.
1.4.25. Tìm thể tích của khối bị chặn trên bởi mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= 4 và bị chặn dưới bởi
mặt nón z
2
= 3x

= 1, 0 ≤ z ≤ 1
bằng với thể tích của khối bao bởi mặt x
2
+ y
2
= 1, 0 ≤ z ≤ 1.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
0
1
2
3
4
5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
HÌNH 1.4.3. Mặt x
2
+ y
2