GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
01
LÝ THUYẾT & BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH PHỨC
(Tài liệu chỉ có nh chất tham khảo – hp://nguyenchiphuong.WordPress.com )
Trong tài liệu này xin tổng hợp lại tất cả các dạng bài tập có liên quan tới đề thi của các năm.
Riêng các bài tập căn bản các bạn xem lại trong các ví dụ ở giáo trình trên lớp. Môn giải ch
phức thực chất là một môn tương đối cơ bản nhưng lại có “môt chút rắc rối” (không phải ở
môn học mà ở… các bạn chắc đã hiểu) vì vậy mọi người đừng chủ quan nhé. Sau đây là một
số dạng bài tập mà chúng ta sẽ ôn tập
I. BÀI TOÁN 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
1.1. Kiến thức bổ trợ
a. Đồng nhất số phức
Cho = + khi đó phương trình = + ⇔
=
=
b. Căn thức
Số phức được gọi là căn bậc của số phức nếu
= (1) và phương trình (1) có
đúng nghiệm được xác định bởi công thức
=
√
+ 2+ 10 = 0 ⇔
=
= −
+
=
= −
−
b.
+ 81 = 0 ⇔
, = 0,1,2
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
02
= 0 ⇒
= 3 cos
+ sin
= 3
√
+
√
= 1 ⇒
= 3 cos
= 3 ⇒
= 3 cos
+ sin
= 3
√
−
√
Vậy
,
,
,
là nghiệm của phương trình
+ 81 = 0
c. 2=
(
−= −
⇔
= −
=
Vậy = −
+
e.
+ 1 =
√
3⇔
= −1 +
√
3
Ta có −1 +
√
6
= √2
cos
+ 3
9
+ sin
+ 3
9
= 0 ⇒
= √2
cos
9
+ sin
9
= 1 ⇒
= √2
cos
4
9
+ sin
4
03
= 4 ⇒
= √2
cos
13
9
+ sin
13
9
= 5 ⇒
= √2
cos
16
9
+ sin
16
9
Vậy
,
,
2
+ 2
2
= cos
+ 4
4
+ sin
+ 4
4
, = 0,1.
= 0 ⇒
= cos
4
+ sin
4
=
√
2
2
+
√
2
2
= 1 ⇒
Giải:
(
1 −
)
= 16 ⇔
−
+ 16 = 0 ⇔
= 1 + 3
√
7
= 1 −3
√
7
Xét 1 + 3
√
7 có =
√
1 + 63 = 8
cos =
2
, = 0,1.
= 0 ⇒
= 2√2 cos
2
+ sin
2
= 1 ⇒
= 2√2 cos
+ 2
2
+ sin
+ 2
2
= −2√2 cos
2
+ sin
2
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
= ±
√
Chọn cos
=
; sin
=
√
, khi đó
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
= 2√2
=
; sin
= −
√
, khi đó
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
= 2√2
3
4
−
√
7
4
là nghiệm của phương trình
(
1 −
)
= 16
II. BÀI TOÁN 2: TÌM ẢNH VÀ TẠO ẢNH QUA ÁNH XẠ PHỨC
2.1. Kiến thức bổ trợ
Để m ảnh của một điểm, đường thẳng hay đường tròn qua ánh xạ phức =
(
)
=
(
,
)
+ (, ), ta xác định mối liên hệ của , dựa trên miền cho trước
Ngược lại để m tạo ảnh của hàm
(
,
)
, (, ), ta xác định mối liên hệ của , .
2.2. Bài tập mẫu
Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm ảnh của đường = qua ánh xạ phức =
Ứ
C
05
⇒
(
,
)
=
+
(
,
)
= −
+
Với = 1, khi đó
(
= ⇔
−+
= 0 ⇔−
1
2
+
=
1
4
Vậy ảnh của đường = 1 là đường tròn tâm (
, 0), bán kính là
.
Bài 2.2 (bài 7, SGK, tr 55): Dùng tham số hóa để m ảnh của đường tròn
|
−
|
= qua
ánh xạ phức = −.
+
+
(
cos + sin
)
−2
=
(
−
−2 −sin
)
+
(
+ cos
)
=
(
,
)
+ (, )
⇒
(
,
)
+ 2
)
)
+
(
−
)
=
Vậy ảnh của đường tròn
|
−
|
= qua ánh xạ = −2 là đường tròn tâm
(
−
−2,
)
, bán kính .
(
,
)
=
−
(
,
)
= 2
Ta có phương trình tham số của đường tròn
|
|
= 2 là:
= 2 cos
= 2 sin
0 ≤≤2
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
06
= 2.2 cos . 2 sin = 4 sin 2
⇒
4
+
4
= cos
2+ sin
2= 1 ⇔
+
= 16
Vậy ảnh của đường tròn
|
|
= 2 trong mp
(
)
là đường tròn có tâm là gốc tọa đô, bán kính
thì 2 biến thiên từ 0 đến .
Vậy ảnh của miền quạt 0 < <
là nửa mặt phẳng trên 0 < < .
Bài 2.4: Cho hàm =
, = + . Tìm:
a. Ảnh của đường =
b. Tạo ảnh của đường = .
Giải:
a. Ta có:
=
1
=
1
+
=
−
+
=
+
+
+ Trường hợp = = 0, khi đó
(
,
)
= 0
(
,
)
= −
,
(
≠0
)
⇒= −
Vậy ảnh của đường = 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ
+ Trường hợp = ≠0, khi đó
GI
⇒
+
=
+
(
+
)
=
1
+
=
⇔
−
=
+ Trường hợp = 0 ⇒= 0
Vậy tạo ảnh của đường = 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ
+ Trường hợp ≠0, khi đó
+
=
⇔
−
+
= 0 ⇔−
+
=
→
=
=
+
⇔
lim
→
=
lim
→
=
b. Giới hạn hàm phức
Cho
(
)
=
Nếu khi xét →
theo các hướng khác nhau thì có các kết quả khác nhau thì ta kết luận
không tồn tại giới hạn tại =
.
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
08
c. Hàm liên tục
Cho () xác định trong lân cận điểm
, khi đó:
() liên tục tại
⇔
+
(
)
á địℎ ạ
+ ồ ạ lim
→
)
+ =
−
+
(
2+ 1
)
=
(
,
)
+ (, )
⇒
(
,
)
=
−
(
,
)
= 2+ 1
;
2+ 1
)
= 3
Vậy lim
→
(
+ 1
)
= lim
→
→
(
,
)
+ lim
→
→
(
,
)
= 3
Bài 3.2 (bài 6, SGK, tr51): Chứng minh rằng
→
+
(
5 −2
)
+ 5
]
−
= lim
→
[
3
+
(
3−2
)
+
(
5 −2
)
+ 5
]
= 3
+
c.
→
(
)
Giải:
a. Đặt
(
)
=
+ 1;
(
)
=
+ 1, khi đó
(
)
= lim
→
5
3
=
5
3
=
5
3
⇒lim
→
+ 1
+ 1
=
5
3
.
b. lim
→
Ta có lim
→
= 1 và lim
→
= 1
⇒lim
→
1 −cos
sin
+ Cho →0 theo hướng trục khi đó = 0
lim
→
̅
= lim
→
+
−
= lim
→
= lim
→
1 = 1 (1)
+ Cho →0 theo hướng đường thẳng =
lim
= −1 (2)
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
10
Từ (1) và (2) ta suy ra không tồn tại giới hạn lim
→
̅
Lưu ý: điều kết luận trên cũng có nghĩa là hàm số
(
)
=
̅
không liên tục tại = 0.
Bài 3.5: Xét nh liên tục của hàm
(
= 3 và lim
→
(
)
= lim
→
= lim
→
(
+ + 1
)
= 3
Vậy lim
→
(
)
= (1) nên hàm số liên tục tại
= 1
+ Tại
)
≠(1) nên hàm số gián đoạn tại
=
Bài 3.6: Cho các hàm
a.
(
)
=
()
b.
(
)
=
|
|
c.
(
)
=
()
|
→
(
)
= lim
→
1
1
= lim
→
1 = 1
lim
∗
→
(
∗
) = lim
∗
→
(
và
∗
=
+
, khi đó
,
∗
→0 khi →∞
Xét
lim
→
(
) = lim
→
|
∗
|
= lim
→
1
+
1
+
1
= lim
→
1 +
√
2
=
1 +
√
2
=
(
,
)
+ (, )
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
(
,
)
=
+
(
|
|
= 0 nên lim
→
→
(, ) = lim
→
→
= 0 (1)
0 ≤
≤
→
()
|
|
= 0
Vậy có thể gán giá trị
(
)
= 0 tại = 0 để nó trở thành hàm liên tục tại = 0.
Bài 3.7 (câu 2, đề thi môn GTP – K16): Chứng minh rằng hàm
(
)
=
liên tục trên ℂ.
Giải:
Giả sử = + , khi đó
(
)
= ̅= −=
(
,
)
+ (, )
GI
Ả
−
Xét
lim
→
→
(
,
)
= lim
→
→
=
lim
→
→
(
,
=
(
)
Suy ra hàm số liên tục tại =
Do
lấy tùy ý trong ℂ nên hàm () liên tục trên ℂ.
Bài 3.8 (bài 10, SGK,tr 52): Chứng minh rằng hàm
(
)
=
liên tục đều trên miền
|
|
<
.
Giải:
Đặt : {:
|
|
|
(
|
|
+
|
|
)
< 2|−′|
Vậy ∀> 0, ∃=
, ∀,
∈:
|
−
|
< ⇒
|
(
)
−
(
|
< .
Giải:
IV. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHỨC
4.1. Kiến thức bổ trợ
a. Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng đại số)
Cho hàm
(
)
=
(
,
)
+ (, ) có đạo hàm tại điểm = + thì:
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
13
+
(
,
)
,
(
,
)
,
(
,
)
có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm
(
,
)
và thỏa (1) thì
(
)
=
(
,
)
+ (, ) có đạo hàm tại điểm = + và
(
)
=
(
+
, = arctan
, khi đó điều kiện Cauchy-
Rieamann dạng phức là
=
1
à
= −
1
4.2. Bài tập mẫu
Bài 4.1: Khảo sát sự tồn tại đạo hàm của các hàm số sau:
a.
(
)
(
3
−
)
=
(
,
)
+
(
,
)
⇒
(
,
)
=
−3
(
,
)
= 3
= 3
−3
à
= −
= −6
Vậy
(
,
)
,
(
,
)
có các đạo hàm riêng liên tục tại mọi điểm
(
,
)
và thỏa điều kiện
Cauchy-Riemann nên
(
)
(
,
)
=
+
(
,
)
= 0
Suy ra
= 2;
= 0;
= 2;
= 0
Hàm () có đạo hàm khi
⎩
⎪
không tồn tại tại mọi điểm
thuộc mặt phẳng phức.
Giải:
+ Chứng minh
̅
không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
Giả sử = + , đặt
(
)
= ̅, khi đó
(
)
= ̅= −=
(
,
)
+ (, )
⇒
(
,
)
=
(
,
(
̅
)
không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
Giả sử = + , đặt
(
)
=
̅, khi đó
(
)
=
̅=
(
+
)
(
−
)
=
(
,
)
=
+
Suy ra
= 3
+
;
=
+ 3
;
= 2;
⇔= = 0
Suy ra hàm () có đạo hàm tại điểm = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm ≠0
Vậy
(
̅
)
không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
Bài 4.3: Cho hàm (, ) có
(
)
=
−
. Giả sử () có đạo hàm, m ().
Giải:
Giả sử = + ,
(
)
=
(
,
)
+ (, )
= −
⇔
⎩
⎨
⎧
= 2 (1)
= 2 (2)
Từ (1):
= 2⇒
(
,
)
= 2+
(
)
⇒
(
+
)
+ =
+ .
Bài 4.4: Tìm sao cho các hàm sau khả vi
a.
(
)
=
−
−+
(
−
+
)
b.
(
)
=
(
)
=
−
−2+
(
−
+ 2
)
=
(
,
)
+ (, )
⇒
(
,
)
=
−
−2
= −
= −2−2
Vậy
(
,
)
,
(
,
)
có các đạo hàm riêng liên tục tại mọi điểm
(
,
)
và thỏa điều kiện
Cauchy-Riemann nên
(
)
có đạo hàm hay khả vi tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
b. Giả sử = (cos + sin ), khi đó
(
)
=
(
,
)
=
cos 5+ cos
(
,
)
=
sin 5−sin
Suy ra
= 5
cos 5+ cos ;
= 5
sin 5−sin
= −5
sin 5−sin ;
1
(
−5
sin 5−sin
)
= 5
sin 5+ sin ≠
Vậy
(
,
)
,
(
,
)
có các đạo hàm riêng không thỏa điều kiện Cauchy-Riemann nên
(
)
không khả vi tại mọi .
c. + Tập =
{
:
(
,
)
= 0
Suy ra
= 0;
= 0;
= 0;
= 0
⇒
=
= 0 à
= −
)
= 1
Xét dãy
= (1 +
)
|
|
= 1 +
1
|
|
= 1 +
1
3 > 3 ⇒
(
)
= 2
Ta có
|
|
<
Hàm () có đạo hàm tại =
nào?
Giải:
+ Xét tập =
{
:
|
|
> 1
}
là tập mở
Ta có
(
)
=
= (+ )
=
−
= −2;
= 2
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
18
⇒
=
= 2 à
= −
= −2
Vậy
(
,
)
,
(
,
)
= 0
Suy ra
= 0;
= 0;
= 0;
= 0
⇒
=
= 0 à
= −
)
=
= 1 = 1 + 0 ta chứng minh được () khả vi tại =
±1
Với ≠±1. Xét dãy
= (1 −
)
|
|
= 1 −
1
|
|
= 1 −
1
1 < 1 ⇒
(
)
nếu khả vi trong lân cận của điểm
+
(
)
=
(
,
)
+ (, ) giải ch trong miền , các
(
,
)
,
(
,
)
có đạo hàm riêng liên
tục trên thì
(
,
)
, (, ) thỏa phương trình Laplace:
Φ
(
)
=
(
,
)
+ (, ) xác định trên miền đơn liên và giải ch trên thì
(
,
)
,
(
,
)
là các hàm điều hòa trên .
+
(
,
)
là hàm điều hòa trên thì tồn tại
(
)
giải ch trên sao cho
(
)
=
−4
−1,
Φ
= 12
−12
Φ
= 12
−4
+ 1,
Φ
= 12
−12
,
)
+ iΨ(, ), với Ψ(, ) là hàm điều
hòa liên hợp với Φ
(
,
)
, khi đó Φ
(
,
)
, Ψ(, ) phải thỏa điều kiện Cauchy-Riemann
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
20
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
Φ
=
Ψ
= 12
−4
−1 ⇒Ψ= 4
−4
−+
(
)
⇒
= 4
−12
+ ′() thay vào (2) ta có
4
−12
+
(
(
)
= 6
−
−
+ −+ 1 +
(
4
−4
−−+
)
.
Bài 5.2 (đề thi môn GTP – K15): Cho
(
,
)
=
( − )
a. Chứng tỏ (, ) là hàm điều hòa trên một miền thích hợp.
b. Tìm một hàm giải ch
(
= −
(
sin −sin + cos
)
−
sin =
(
−2 sin + sin −cos
)
=
(
cos −cos + sin
)
b. Hàm
(
)
=
(
,
)
+ (, ) giải ch trên miền nên
(
,
)
, (, ) thỏa điều kiện
Cauchy-Riemann:
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
21
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
=
)
(2)
Từ (1):
=
(
sin −sin + cos
)
⇒
(
,
)
=
(
−cos + cos + sin + cos
)
+ ()
=
(
cos + sin
)
+ ()
⇒
)
=
(
−cos + cos −sin
)
⇔
(
)
= 0 ⇔
(
)
= =
⇒
(
,
)
=
(
cos + sin
)
+
Vậy
(
(
cos + sin
)
+
)
=
sin −
cos +
cos +
sin +
=
(
sin +
sin
)
−
(
cos −
cos
(
+
)
sin +
(
+
)
cos +
=
(
+
)
(
sin + cos
)
+
= −
(
+
)
(
+
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
22VI. BÀI TOÁN TÌM VÀ PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG
6.1. Kiến thức bổ trợ
a. Điểm bất thường
+
được gọi là điểm bất thường của () nếu () không giải ch tại
.
+
được gọi là điểm bất thường cô lập của () nếu tồn tại một lân cận bán kính > 0
sao cho trong lân cận đó hàm () không có điểm bất thường nào khác.
+
được gọi là điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tại số nguyên dương sao cho
lim
→
(
được gọi là điểm cực đơn.
6.2. Bài tập mẫu
Bài 6.1: Xác định các điểm bất thường của các hàm số sau:
a.
(
)
=
b.
(
)
=
c.
(
)
=
√
)
có 2 điểm bất thường = 2 và = −2
+ Xét lim
→
(
−2
)
() = lim
→
(
−2
)
(
)
= lim
→
(
)
=
GPT: cos
= 0 ⇔
=
+ , ∈ℤ⇔=
(
)
, ∈ℤ
Vậy =
(
)
, ∈ℤ là các điểm bất thường của ().
+ Xét lim
→
(
)
)
=
(
)
(
)
=
, ∈ℤ là các điểm cực đơn của ().
+ Các điểm =
()
là các điểm rời rạc được đặt trên trục thực trong một khoảng hữu
hạn chứa điểm 0. Do đó tại mỗi điểm tồn tại lân cận bán kính > 0 nào đó không chứa
điểm bất thường nào khác. Do đó =
(
)
là các điểm bất thường cô lập.
+ Do =
(
)
→0 khi →∞ nên với mọi > 0, mọi lân cận bán kính luôn chứa điểm
bất thường khác 0. Do đó = 0 không là điểm bất thường cô lập.
+ Xét lim
→
(
−0
)
(
= 1 . Do đó = 0 là điểm bất thường bỏ được của ().
Bài 6.2 (đề thi môn GTP – CH K18):
a. Xác định tất cả các điểm bất thường của hàm sau
(
)
=
+
+
(
−
)
(
+
)
.
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
24
(
)
(
)
= lim
→
(
)
=
≠0
Do đó = 1 là điểm cực bậc 3 của ().
+ Xét lim
→
()
= −
≠0
Do đó = −
là điểm cực bậc 2 của ().
+ Tại điểm = 1 tồn tại lân cận bán kính = 1 > 0 mà trong đó không chứa điểm bất
thường nào khác trừ điểm = 1. Do đó = 1 là điểm bất thường cô lập của hàm ().
Tương tự = −
cũng là điểm bất thường cô lập của hàm ().
+ Xét tại = ∞
Đặt =
⇒
(
)
=
=
)
(
)
Rõ ràng = 0 là điểm bất thường của hàm
Xét lim
→
(
−0
)
(
) = lim
→
(
−0
)
≠0
Do đó = 0 là điểm cực bậc 3 của hàm
hay = ∞ là điểm cực bậc 3 của hàm ().
b. Theo câu a thì
(
)
sẽ giải ch tại mọi điểm : ≠1, ≠−
, ≠∞
Bài 6.3 (bài 28, SGK, tr54): CMR hàm
(
)
=
(
)
có hai điểm cực bậc 2 tại = ±
và một cực điểm đơn tại vô cực.
Giải:
→
(
−1 −2
)
() = lim
→
(
−1 −2
)
(
)
(
)
(
)
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
≠0
Do đó = 1 + 2 là điểm cực bậc 2 của ()
Tương tự ta cũng có = 1 + 2 là điểm cực bậc 2 của ().
+ Tại = ∞.
Đặt =
⇒
(
)
=
=
(
)
(
)
= lim
→
(
)
(
)
= 1 ≠0
Do đó = 0 là điểm cực đơn của
hay = ∞ là điểm cực đơn của hàm
(
Rõ ràng
không xác định tại = 0 nên = 0 là điểm bất thường của hàm
Xét lim
→
(
−0
)
= lim
→
(
−0
)
= lim
→
(
,
)
+ (, ) thì ch phân đường của () trên đường cong
(
)
= −
+ +
Copyright: Tài liệu đại học ©