1
BÀI TẬP GIẢI TÍCH II

HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

Phép tính vi phân hàm nhiều biến, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt,
phương trình vi phân.
2012
T
ạ Ngọc Ánh

Bộ môn Toán - Khoa CNTT - HVKTQS
(Sưu tầm và biên soạn)
2

Chương 1
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

1. Tìm tập xác định của hàm số
a)
u x y
  b)
2 2
1 1
u x y
   
c)
2 2

khi
( ; ) (0;0)
x y


c)
2 2
x
xy
u
x y
 

 

 
khi
( ; ) ( ; )
x y
  
d)
1
( )sin
u x y
xy
 
khi
( ; ) (0;0)
x y


 
  khi
( ; ) ( ; )
x y
  
h)
sin
xy
u
x
 khi
( , ) (0;3)
x y


3. Xét tính liên tục của các hàm số
a)
2 2
1
khi 0
0 khi 0
x y
e xy
u
xy






2
y
u x

c)
xz
u e x y
 
d)
2
cos
x xy
u e


e)
2
arctan( )
u x y
 
5. Tính các đạo hàm riêng của hàm số tại
(0;0)
O
a)
3 3
2 2
2
khi ( ; ) (0;0)
0 khi ( ; ) (0;0)
x y

a)
2
2 3
u x y xyz
   b)
3
xy
u
x y


c)
arcsin
x
u
y

d)
2
ln( )
u x y
 
7. Kiểm tra xem hàm số
3 3
3
u x y
 
có khả vi tại
(0;0)
O hay không ?

c)
z
x y z e
  
d)
2
0
x y z
xe y e ze
  
e)
0
y xy
xe yz ze
  
tại điểm (1;1)
10. Tính các đạo hàm riêng cấp hai
a)
2
ln( )
u x x y
   b)
3
ln( )
u x x y
 
c)
ln sin .ln
x
u e y y x

f . Chỉ ra
rằng
'' ''
(0;0) (0;0)
xy yx
f f .
12. Tính vi phân cấp hai của hàm số
3

a)
4 2 3
3
u x xy y
  
b)
2 2 2
u x y z
  
, chứng minh
2
0
d u

.
c)
2 2 3
3 3
u x y z xy xz
     tại điểm
(1;1;1)

2 2
( )
z f x y
  và
( )
f t
là hàm khả vi.
b)
. " . " 2 ' 0
xx xy x
x z y z z
  
với
2
( )
xy
z
x y


c)
" " 0
xx yy
z z
 
với
2 2
ln( )
z x y
 

     

c)
2 4 5
" 12 2, ' 30 , (0;0) 1, (1;1) 2
xx y
z x y z x xy z z
      

16. Tính đạo theo hướng của vector
v

tại điểm
M

a)
2 2
, (1;1), (3;4)
u x y M v  

b)
2 3
, (1;2;3), (1;2;2 5)
u xy z M v 


17. Tìm cực trị của hàm số
a)
3 2
3 30 18

4 2 2
1
8 (1 )
4
u x x y x
    i)
3 3
3
u x y xy
  
j)
4 4 2
3( )
u x y x y
    k)
2 2 2
3 2 8 6
u x y z x y z
     

l)
2 2 4
3 12 8 2
u x y z y z
     
m)
3 2 2
12 2
u x y z xy z
    

d)
2
3
u x y y
  
với
2 2
3
x y xy
  

e)
2 2
cos cos
u x y
  với
4
x y

 
f)
2
1
2 khi
1
x y
u x y z
z xy
 




19. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong miền tương ứng
a)
u x y
 
trong miền
2 2
25
x y
 
b)
2 2
u x y
 
trong miền
2 2
1
4 9
x y
 

c)
2 2
3
u x y xy xy
   trong miền
0 4, 0 3
x y
   

 

f)
u x y z
  
trong miền
2 2
1
x y z
  

20. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
a)
3 3
4 5 12 0
y xy y x
    
tại điểm
(1;2)
M b)
2
3
( ) 0
x
x x y e y
   
tại điểm
(0;1)
M
c)

a.
2
( )
D
I x xy dxdy
 

với D giới hạn bởi
, 2 , 2
y x y x x
  
(Đs
10
I

)
b.
D
I xydxdy


với D giới hạn bởi
2
4 0, 2
x y x y
    (Đs
90
I

)

e.
2 2
D
x
I dxdy
x y



với D giới hạn bởi
2
,
2
x
y y x
 
(Đs
ln 2
I

.)
f.
2
( )
D
I x y dxdy
 

với D giới hạn bởi
2 2

2
( , ) ( , ) ( , )
x x
I dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy

  
     
)
b.
2
1 2
0
2
( , )
x
x x
I dx f x y dy


 
(Đs
2
2 2
1 1
1 2 1
0 1
2 2
( , ) ( , )
y
y y

3. Đổi biến để tính tích phân
a.
D
I dxdy


với D giới hạn bởi
1 , 2 , 2 1, 2 3
y x y x y x y x
       
(Đ/s
2
3
I

)
b.
D
I xdxdy


với D xác định bởi
3, 2 1 2 5
x y x x y x
        
(ĐS
2
I

)



)
e.
2 2
ln(1 )
D
I x y dxdy
  

với D xác định bởi
2 2
1, . 0
x y x y
  
(Đs
 
2ln 2 1
2
I

 
)
f.
2 2
2 2 4
(4 )
x y
D
I x y e dxdy

D
dxdy
I
x y

 

với D xác định bởi
2 2
2 ,
x y y x y
  
(Đs
3
4 2
2
I

   )
k.
2
2
D
y
I xy x y dxdy
x
 
   
 
 

2 2
D
I x y dxdy
 

với D là miền giới hạn bởi
i)
2 2 2
2 2 2
, 0
4
x y a
a
x y a

 



 


(Đs
3
14
3
a
I

 )


   
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a.
2 2
, 2
y x y x x
  

b.
cos , cos , 0
r a r b b a
 
   
(Đs
2 2
( )
4
b a
S


 )
c.
(1 cos ), 0
r a a

  
(Đs
2


      

(Đs
2
3
S a

 )
f.
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 0
x y a x y a
   
(Đs
2
S a

)
g.
2/3 2/3 2/3
0
x y a a
  
(Đs
2
3
8
a
S

2 2
x y
z
a b
  nằm trong mặt
2 2
2 2
1
x y
a b
 
với
, 0
a b


d.
2 2 2 2
x y z a
  
nằm trong mặt
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 0
x y a x y a
   

e.
2 2 2
z x y
 


)
6

c. Vật thể giới hạn bởi và
2 2 2 2
x y z a
  
và mặt
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 0
x y a x y a
   

7. Xác định trọng tâm của bản phẳng đồng chất giới hạn bởi các đường
a.
2
4 4
y x
 
và
2
2 4
y x
  
b.
2 2
1
25 9
x y

, 1
x y z z
  
(Đs
4
21
I

 )
b.
V
I xy zdxdydz


với V giới hạn bởi
2
0, , , 1
z z y y x y
   
(Đs
8
189
I  )
c.
2
V
I x dxdydz


với V giới hạn bởi

2
V
I z dxdydz


với V xác định bởi
2 2 2 2 2 2
4, 4
x y z x y z z
     
(Đs
59
15
I

 )
f.
2 2
V
I x y dxdydz
 

với V xác định bởi
2 2 2 2 2 2
1, , 0
x y z x y z z
     
(Đs
2
2

x y x z z a
    
(Đs
2
16
9
a
I  )
i.
2 2 2
V
I x y z dxdydz
  

với V là miền
2 2 2
x y z x
  
(Đs
10
I


)
j.
2 2
( )
V
I x y dxdydz
 

 )
l.
2 2 2
( )
V
I x y z dxdydz
  

với V giới hạn bởi
2 2 2 2
3( ) 3 , 0
x y z a a
   

m.
2 2 2
V
I x y z dxdydz
  

với V là miền
2
2 2
1 1
2 4
x y z
 
   
 
 

, ,0 1
z x y z a a
    

p.
2 2 2
V
I x y z dxdydz
  

với V giới hạn bởi
2 2 2
x y z z
  
(Đs
10
I


)
7

q.
2 2 2
( )
V
I x y z dxdydz
  

với V là miền


với V là miền
2 2 2
4
x y z
  

t.
V
I ydxdydz


với V giới hạn bởi
2 2
, 0
y x z y a
   

9. Hãy tính tích phân sau bằng cách chuyển sang
a.
2
2 2
2 2
0 0 0
x x a
I dx dy z x y dz

 
  
hệ tọa độ trụ (Đ/s


 


  


b.
2 2
2 2
2 2
2( )
2 0
z x y
z x y
x y x

 

 


  

c.
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
4

2 2 2 2 2 2
2 , 3 , 0, 0
x y az x y z a z a
      

b.
2 2
1, , 0, 0, 0
x y z x y x y z
      
Chương3
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT

1. Tính các tích phân đường loại I
a)
I xyd




với
2 2
2 2
: 1
x y
a b
  



  


c)
( 2 )
I x y d

 


với
2 2 2 2
:
0
x y z a
x y z

  


  


d) 2
C
I yd






với C là đường cong cos , sin , ,0
2
x a t y b t z ct t

    

2. Tính khối lượng đường cong
8

a)
,0
2
x x
a a
a
y e e x a

 
   
 
 
biết khối lượng riêng là
1
( , )x y
y



   

với

là đường
2
y x

nối
( 1;1)
A

và
(1;1)
B .
b)
( ) ( )
I x y dx x y dy

   

với

là đường elip
2 2
2 2
1
x y
a b
 

2
1
4
y
x
 
nối
(1;0)
A và
(0;2)
B
f)
( ) ( )
C
I xy x y dx xy x y dy
     

với C:
2 2
2
x y x
 
. Tính trực tiếp và sử dụng công thức Green
g)
2 2
AB
I x dx y dy
 

với AB là đường tròn

I x y xy dx xy x x xy dy
     

với AB là cung tròn
2 2
4
x y
 
và
( 2;0), (2;0)
A B

.
j)


2 2
2 2 2 2
( 1) ( 1) 1
ln
x y
I x y dx y xy x x y dy
   
 
     
 
 


k)



m)
2 2
4
( ) ( )
x y x
I xy x y dx xy x y dy
 
     



n)
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
I x y dx xy dy
 
  


n’)
2 2
C
xdy ydx

.
9

q) Vẫn tính tích phân trong p) với C là đường tròn trong không gian cho bởi
2 2 2
45
2 0
x y z
x y

  

 

.
r)
C
I zdx xdy ydz
  

trong đó C là đường
2 2 2
1
1
x y z
x z

  

 


với C là giao tuyến của các mặt
2 2 2
9
0
x y z
x y z

  

  

. Tích phân
lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía
0
x


u) 3 3
C
I ydx dy zdz
   


với C là đường tròn
2 2
1
1
x y
z


. Tích phân lấy theo chiều ngược
chiều kim đồng hồ khi nhìn từ gốc tọa độ O.

5. Tính tích phân mặt loại I
a)
4
( 2 )
3
S
y
I z x ds
  

trong đó S là mặt
1
2 3 4
x y z
  
với
, , 0
x y z

.
b)
S
I yds


trong đó S là mặt

với S là phần mặt
2 2 2
x y z
  
nằm trong góc
, , 0
x y z


e)
2
1
S
I x y ds
 

với S là phần mặt
2
4 16
y z
 
cắt bởi
0, 1, 0
x x z
  

6. Tìm khối lượng và trọng tâm của mặt
2 2
, 1
z x y z

c)
2 2 2
S
I x dydz y dzdx z dxdy
  

trong đó S là phía ngoài của mặt cầu
2 2 2
4
x y z
  
.
d) Tính tích phân như trong c) với S là phía ngoài của mặt nón
2 2 2
,0 4
z x y z
   
.
e)
S
I xdydz ydzdx zdxdy
  

với S là phía ngoài mặt paraboloid
2 2
, 1
z x y z
  

f)

I x dydz y dzdx z dxdy
  

trong đó S là phía ngoài của mặt cầu
2 2 2
9
x y z
  
.
i)
2 2
S
I xzdydz yx dzdx zy dxdy
  

trong đó S là phía ngoài của mặt
2 2
9, 0, 9
x y z z
   
.
k) ( ) ( ) ( )
S
I y z dydz z x dzdx x y dxdy
     

trong đó S là phía ngoài của mặt
2 2
,0 1
4 9

5.
2 2
1 1 0, (0) 1
x y dx y x dy y
    

6.
2 2
( 1) ' 4, (1) 2
x y y y
   

7.
2
sin cos2 2
'
1
x x
y
y
 



8.
3
' ( ')
x y y
 
9.

12.
2 2
xdy ydx x y dx
  
13.
2
' 2
x
y xy xe

 
14.
2 2 3
(1 ) ' 2 (1 )
x y xy x
   
15.
2
(1 ) ' 1, (0) 0
x y xy y
   

16.
2
( 1) ( 3) 0
x y dx x y dy
     

17.
2 2

22.
3
'
yy xy x
 

23.
"
" " 0
y
x y e y
  

24.
1
"y
y

11

25.
2
4 " 2 " ( ') 1
y yy y
  

26.
2 2ln
" ( ') 0
y

y y y x
  

31.
2
" 6 ' 8
x x
y y y e e
   
32.
" 4 sin 2
y y x x
 

33.
" sin
y y x
 

34.
2
2
" 2 4
x
y y x e
 
35. Lập phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai nhận
2
1 2
,

39.
' 2
' 2
y y z
z y z
 


 


40.
' 2
' 2
y y z
z
y y z
 


 


41.
'
' 3
y y z
y y z
 


z
y








44.
' 2 2
' 3 2 4
x
x
y y z e
z y z e

  


  



45.
'
' 5
y y z x
z y z










b)
 
2
1 1
sin cos
2
khi , 0
,
1 khi . 0
x
x y
e x y
f x y
x y








 
 
2 2
2
2 2
khi , (0,0)
. 2
,
0 khi , (0,0)
x y
x y
x y x y
f x y
x y




 






e)
 
 
2 2 2 2
2 2

2
, , 0
2 2
x y z
u x y z
x y z
    

c)
3 2 2 2
3 2
u x y z x y
    

d)
2 3 4
3
u x y x y
  

e)
2 2
arctan 2
u x y y
  

f)
2 2 2
2 4 6
u x y z x y z



 


c)
u xy yz
 
với điều kiện
 
2 2
4
, , 0
4
x y
x y z
y z

 


 


d) 2
u x y z
  
với điều kiện
2
2 2

u x y x y
    trong miền
2 2
{(x,y): 36}
D x y  
5. Tính vi phân, đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến, đạo hàm của hàm ẩn
a) Cho z là hàm ẩn xác định bởi
/
0
x z
z ye
 
. Tính


0; 1
dz

.
b) Cho


2 2 2
ln 1 4 4
u x y z
    và điểm


1;1; 1
A

0
(1;1;0)
M với
2 2
i j k
  
   

.
d)
( , )
z z x y

là hàm ẩn hai biến xác định bởi hệ thức:
0
z y
yz e xe
  
. Tính


1;0
dz . Áp dụng tính
gần đúng


0,95;0,05
z .
e) y = y(x) là hàm số ẩn xác định từ biểu thức:
3



 



b)
3
( ) ( )
D
x y x y dxdy
 

với D là miền được giới hạn bởi các đường thẳng
1, 3, 1, 1
x y x y x y x y
        

c)
2 2
2
4
D
x
dxdy
x y 

D là miền

2 2

f)
2 2
V
z x y dxdydz


trong đó V là miền giới hạn bởi mặt trụ
2 2
2 , 0 4
x y x z
   
.
7. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt
a)
2 2
1
z x y
  
và

3
z


b)
2 2 2
3
2
x y z xyz
   nằm trong góc


g)
2 2
4
x y
 
và
2 2
4
x z
 

8. Tính diện tích
a) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2 2 2 3
( ) 2
x y x
 
14

b) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2
2 2
2
4 9
x y
xy
 
 
 

x y z
  
nằm trong mặt trụ
2 2
3
x y x
 

9. Tính tích phân đường, tích phân mặt
a)

2
( )
AB
x y ds


với

AB
là nửa phía trên trục hoành của cung tròn
2 2
1
x y
 

b)




   
có pháp tuyến hướng ra phía
ngoài.

d)






C
y z dx z x dy x y dz
    



trong đó C là đường
2 2
4
x y
 
,
1
2 3
x z
 
chiều lấy tích phân
ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía dương của trục Oz.


2 2
2 0
x y x y
  
theo chiều từ O(0,0) đến A(2,0).

g)
3 2 2
S
x y z dydz



với S là biên của miền
2 2 2
: ,0 2
V x y z x
   
có pháp tuyến hướng ra phía
ngoài.

h)





2 2
-x 2 2
OA

   
2 2
2 2 4
x y
   
lấy
theo chiều dương.

j)




2 2
C
x y dx x y dy
x y
  


với C là đường tròn bán kính
3
R

bao quanh gốc tọa độ. Trong trường
hợp này có áp dụng công thức Green được không?

k)
Tìm điều kiện của m để tích phân đường


c)
2
" 4 '
y y y x
  

15

d)
2
" 6 ' 8
x x
y y y e e
   
e)
" 4 sin 2
y y x x
 

f)
" sin
y y x
 

g)
2
2
" 2 4
x
y y x e

j)
3
3 2
x
y y y xe
 
  
k)
2
' 2
x x y
y x y

 


  


l)
2
4
x x y
y x y

 



 



 


p)
1 ln
'
x
y y
x x
 
q)
2
sin
xy y x x

 
r)




2 2
1 0
x y dx x y x dy
   

s)
2 2 3

sin sin 2 0
y x dx x ydy
  
bằng cách nhân thêm thừa số tích phân
2
1
x

x)
sin
y
xy y x
x

  với điều kiện
 
1
2
y



y) 2
x
xy y xy e
 
  
bằng phép đổi biến
.
z x y