- 1 -
Trường ĐHQN
Khoa Toán BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

(Số tín chỉ: 2)

Dành cho sinh viên : Khoa Hóa
Hệ : Tổng hợp
Khóa : 33
Năm học : 2011-2012
Giảng viên : Nguyễn Thị Phương Lan
0
uu
xy
xy
∂∂
+=
∂∂
là phương trình đạo hàm riêng cấp một.

22
22
0
uu
xy
∂∂
+=
∂∂
là phương trình đạo hàm riêng cấp hai.
1.1 Định nghĩa:
PTVP cấp một có dạng:
(
)
,,'0
Fxyy
=
(1)
Nếu giải được đối với
'
y
thì PTVP cấp một có dạng

dx
==++=
là các PTVP cấp một.
1.2 Nghiệm của PTVP cấp một: là hàm thỏa mãn phương trình ấy.
- Nghiệm tổng quát của PTVP cấp một là nghiệm có chứa một hằng số tùy ý.
(
)
,,
yxCCconst
ϕ==.
Ví dụ hàm
2
,
yCxCconst
== là nghiệm tổng quát của PT '2=
y
y
x
.
Về mặt hình học nghiệm tổng quát xác định một họ đường (cong) gọi là họ đường
tích phân.
- Nghiệm riêng của PTVP cấp một là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát
bằng cách chọn hằng số phù hợp.

Chú ý: - Đôi khi giải PTVP ta không tìm được nghiệm tổng quát dưới dạng tường minh
- 3 -
(
)
,,
yxCCconst

00
yxy
=
với
00
,
xy
là các hằng số cho trước được gọi là điều kiện đầu.
Ví dụ: Tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện đầu
(
)
12
y
=
của phương trình '2=
y
y
x
.
1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy:
Xét phương trình
(
)
',
yfxy
=
Định lý: Nếu các hàm
(
)
,

00
yxy
=
của PTVP
(
)
',
yfxy
= có một nghiệm duy nhất.

§2 CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CẤP MỘT

2.1 Phương trình phân ly biến số (tách biến)
1. Phương trình dạng:
(
)
(
)
AxdxBydy
= (1)
trong đó
(
)
Ax
là hàm số liên tục của biến x,
(
)
By
là hàm số liên tục của biến y được
gọi là phương trình tách biến.

2. Phương trình dạng:
(
)
'
yfaxbyc
=++
(2)
được đưa về (1) bằng cách
(
)
,
zaxbyczzx
=++= .
- 4 -

2.2 Phương trình đẳng cấp và gần đẳng cấp:
2.2.1 Phương trình đẳng cấp:
Phương trình dạng:
',0
y
yfx
x

=≠


(3)
có thể đưa (3) về phương trình tách biến bằng cách đặt
,0
y

4lnln,0
dxdudu
xuCC
xfuufuu
φ
⇔=⇔==+≠
−−
∫(
)
,0
u
xCeC
φ
⇔=≠
.
Thay
,0
y
ux
x
=≠
ta được tích phân tổng quát của (1) là
,0
y
x
xCeC
φ

nó là
,
yCxCconst
==
.
Ví dụ: Giải các phương trình:
a) '
xy
y
xy
+
=
−
b)
2
2
2
'
yxy
y
x
+
= .
2.2.2 Phương trình gần đẳng cấp:
Phương trình dạng:
111
'
axbyc
yf
axbyc

thì (5) có thể đưa về phương trình đẳng cấp bằng
cách đặt:

xX
yY
α
β
=+


=+

, trong đó
,
αβ
là nghiệm của hệ
111
0
0
axbyc
axbyc
++=


++=

.
Khi đó
11
(5)

dxaxbyc
λ

++
⇔=

++

.
đặt
(
)
,
zaxbyzzx
=+= thì ta được phương trình tách biến.
Ví dụ: Giải phương trình:
(
)
(
)
2120
xydxxdy
+−−−=
.

2.3 Phương trình vi phân toàn phần, thừa số tích phân:
2.3.1 Phương trình vi phân toàn phần:
Phương trình dạng:
(
)

được gọi là PTVP toàn phần.
Khi đó sẽ tồn tại hàm
(
)
,
UxyD
∈
sao cho: ,
UU
PQ
xy
∂∂
==
∂∂
và
PdxQdydU
+=
.
và
(
)
(1),0
dUxy
⇔=
. Vậy
(
)
,,
UxyCCconst
== là tích phân tổng quát của (6) .

36640
xxydxxyydy
+++=
.

2.3.3 Thừa số tích phân:
Xét PTVP
(
)
(
)
,,0
PxydxQxydy
+=
(6). Nếu
PQ
yx
∂∂
≠
∂∂
thì (6) không
phải là PTVP toàn phần. Tuy nhiên có thể tìm được hàm
(
)
,0
xyµµ
=≠
sao cho
phương trình
0


a) Nếu
(
)
x
µµ= và
()
1
1 PQ
Fx
Qyx

∂∂
−=

∂∂

chỉ phụ thuộc vào x thì có thể tìm được
thừa số tích phân
()
1
Fxdx
eµ
∫
=.
b) Nếu
(
)
y
µµ= và

++++=


b)
(
)
10
yxydxxdy
+−=
.

2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một:
Định nghĩa: Phương trình dạng:
(
)
(
)
'
ypxyqx
+= (8)
trong đó
(
)
(
)
,
pxqx
là các hàm số liên tục.
- Nếu
(

thì (2)
()
()
,0
pxdx
dy
pxdxyCeC
y
−
∫
⇔=−⇔=≠
.
Ngoài ra nghiệm
0
y
=
cũng được ghép vào nghiệm tổng quát ứng với
0
C
=
. Vậy
nghiệm tổng quát của (9) là
()
,
pxdx
yCeCconst
−
∫
=∀= (10)
2) Để tìm nghiệm tổng quát của (8) ta dùng phương pháp biến thiên hằng số. Xem

dCqxedxCqxedxKKconst
∫∫
⇒=⇔=+=
∫
. - 7 -
Vậy nghiệm tổng quát của (8) là
()
() () () ()
()
()
,
pxdxpxdxpxdxpxdxpxdx
yqxedxKeKeeqxedxKconst
−−−

∫∫∫∫∫
=+=+=


∫∫

Chú ý: Công thức nghiệm:
Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất = nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất tương ứng + Nghiệm riêng của phương trình không thuần
nhất.

Cách giải 2: Ta tìm nghiệm tổng quát của (8) dưới dạng

+=
. Thay vào (11) có thể tìm
(
)
ux
từ phương trình
(
)
'
vuqx
= . Vậy có thể tìm được nghiệm tổng quát của (8).
Ví dụ: 1) Giải bài toán Cauchy:
()
'24,12
y
yxy
x
+==
.
2) Giải phương trình:
(
)
10
yy
edxxedy
+−=
.

2.5 Phương trình Bernoulli:
Định nghĩa: Phương trình dạng:

0
α
≠
và
1
α
≠
thì (12) được gọi là phương trình Bernoulli.

Cách giải: -
0
y
=
là nghiệm của (12).
-
0
y
≠
thì (12)
(
)
(
)
1
'
yypxyqx
αα−−
⇔+= (13)
Đặt
() ( )


2.6 Phương trình Clairaut:
Định nghĩa: Phương trình dạng:
(
)
''
yxyfy
=+ (15)
trong đó f là hàm số khả vi.

- 8 -
Cách giải: Đặt
'
yt
=
, ta có
(
)
yxtft
=+ . Lấy đạo hàm hai vế đối với x, ta được
()
''
dtdt
ytxftt
dxdx
=++=
hay
()
'0
dt

'
ytftft
=−+, đó là phương trình tham số của đường tích
phân kỳ dị E. Dễ thấy đường E tiếp xúc với mọi đường tích phân
t
D
.
Ví dụ: Giải phương trình:
2
1
''
4
yxyy
=− .

2.7 Phương trình Lagrange:
Định nghĩa: Phương trình dạng
(
)
(
)
''
yxgyfy
=+ (16)
trong đó f và g là các hàm số khả vi.

Cách giải: Đặt
'
yt
=

)
(
)
xCtt
ϕψ=+, trong đó C là hằng số tùy ý thì
(
)
(
)
(
)
(
)
yCttgtft
ϕψ=++


. Ta
được phương trình tham số của các đường tích phân.

Ví dụ: Giải phương trình:
22
''
yxyy
=+.

§3 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ PICARD (PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG
LIÊN TIẾP)

Phương pháp cho ta nghiệm gần đúng của bài toán đầu

000
10020101
,,,, ,,
xxx
nn
xxx
yxyftydtyxyftydtyxyftydt
−
=+=+=+
∫∫∫
.
- 9 -
Từ đó ta xây dựng được
(
)
1
yx
từ
0
y
và
(
)
,
fxy
;
(
)
2
yx

Với các điều kiện đặt lên hàm
(
)
,
fxy
mà ta sẽ xét đến trong định lý tồn tại và
duy nhất nghiệm. Có thể chứng minh dãy
01
,, ,,
n
yyy
hội tụ về nghiệm thực
(
)
yx
.
Do đó sơ đồ Picard là một công cụ lý thuyết hữu hiệu để chứng minh định lý tồn tại và
duy nhất nghiệm của PTVP.

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của bài toán đầu sau:

(
)
2
'1,00
yyy
=+=
.
Giải: Áp dụng sơ đồ Picard ta tính được


;
Để so sánh kết quả ta tìm nghiệm tổng quat của phương trình
2
'1
yy
=+
là
arctan
yxC
=+
. Với điều kiện đầu đã cho thì
0
C
=
và
tan
yx
=
là nghiệm của bài
toán đầu đã xét.
Khai triển Maclaurin của
tan
x
ở lân cận
0
x
=
có dạng

357

00
',,
yfxyyxy
==
.
3.1 Phương pháp Euler.
Giả sử h nhỏ, ta dùng gần đúng

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
',
yxhyxhyxyxhfxy
+=+=+ .
Đặt
0i
xxih
=+
và tính

(
)
00

.

Ví dụ: Xác định 5 xấp xỉ của phương pháp Euler giải bài toán đầu sau đây với
0,2
h
=(
)
';00
yxyy
=+=
.
Nghiệm gần đúng
(
)
1
0,2
nnnn
yyxy
+
=++.
Nghiệm chính xác
1
x
yex
=−−
.



( )
( )
*
111
,,
2
nnnnnn
h
yyfxyfxy
+++

=++

.
Kết hợp hai biểu thức ta viết bước thứ n của phương pháp Euler cải tiến ( ) ( )
{ }
1
,,,
2
nnnnnnnn
h
yyfxyfxhyhfxy
+
=++++



++
.

Ví dụ: Xác định 5 xấp xỉ của phương pháp Euler cải tiến của bài toán đầu nêu trên.
Nghiệm gần đúng
(
)
*
1
0,2
nnnn
yyxy
+
=++.

(
)
{
}
1
0,10,20,2
nnnnnnnn
yyxyxyxy
+
=+++++++



- 11 -
Do vậy

fxy
tại
các điểm xác định trong khoảng
[
]
1
,
nn
xx
+
.

( )
1
22
6
nnnnnn
h
yyABCD
+
=++++
trong đó

( )
,,,,
22
nnnnnnn
hh
AfxyBfxyA


CxyDxy=++=++

(
)
1
0,22140,0214
nnnn
yyxy
+
=+++

n
n
x

n
y

Giá trị y đúng
0 0,0 0,0 0,0
1 0,2 0,02140 0,02140
2 0,4 0,09181 0,09182
3 0,6 0,22210 0,22211
4 0,8 0,42552 0,42557
5 1,0 0,71825 0,71828

Cấp của phương pháp số.
Phương pháp số có cấp n với n nguyên dương, nếu phương pháp chính xác đến đa
thức cấp n của h. Phương pháp Euler là cấp một, phương pháp Euler cải tiến là cấp hai,
phương pháp Runge-Kutta là cấp bốn.

(
)
yyx
= của
phương trình (1) thỏa mãn các điều kiện đầu
(
)
(
)
(
)
00
,0,1
kk
yxykn
==−
, trong đó
(
)
1
'
0000
,,, ,
n
xyyy
−
là các hằng số cho trước và được gọi là các giá trị đầu.

Định lý (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy):
Xét phương trình

1
n
D
+
⊂
R
có
chứa điểm
( )
(
)
1
'
0000
,,, ,
n
xyyy
−
thì tồn tại duy nhất một nghiệm
(
)
yyx
= của bài toán
Cauchy của phương trình (1) trong một lân cận nào đó của điểm
0
x
.

1.3 Nghiệm tổng quát:
Định nghĩa: Hàm số

xyyy
−
cho trước, bài toán Cauchy bao giờ cũng giải
được.
Các khái niệm khác như nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị, tích phân tổng quát, tích phân
riêng được định nghĩa tương tự như đối với PTVP cấp một.

- 13 -
§2 HẠ THẤP CẤP PTVP CẤP CAO

2.1 Phương trình dạng:
()
(
)
,0
n
Fxy
=
.
Nếu giải được đối với
(
)
n
y
thì ta có phương trình

(


Ví dụ: Giải phương trình:
2
'''
yx
=
.

2.2 Phương trình dạng:
( ) ()
(
)
1
,0
nn
Fyy
−
=
(3)
Đặt
(
)
(
)
1
,
n
zyzzx
−
== ta có

2.3 Phương trình dạng:
( ) ()
(
)
1
,,0
nn
Fxyy
−
=
(4)
Đặt
(
)
(
)
1
,
n
zyzzx
−
== ta có
(
)
(
)
4,,'0
Fxzz
⇔=
là PTVP cấp một.

=
hoặc
(
)
'','
yfyy
= (5)
Đặt
()
',
dy
zyzzx
dx
===, xem z là hàm của y . Ta có ''.
dzdzdydz
yz
dxdydxdy
===.
Thay vào (5) ta được
,,0
dz
Fyzz
dy

=


là PTVP cấp một, trong đó y được xem là biến
độc lập, z là hàm của y.


pxqxvfx
là các hàm số liên tục.
- Nếu
(
)
0
fx
≡
thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp hai thuần nhất.
- Nếu
(
)
0
fx
≠
thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp hai không thuần nhất.
- Nếu
(
)
(
)
,
pxqx
là các hằng số thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp hai với hệ số
hằng.
Ví dụ:
2
'''0
x
yxyey

)
,
pxqx
là các hàm số liên tục.

3.2.1 Định nghĩa: Hai hàm
(
)
(
)
12
,
yxyx
được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại
các hằng số
12
,
CC
không đồng thời bằng 0 sao cho
1122
0
CyCy
+=
. Trường hợp ngược
lại thì chúng được gọi là độc lập tuyến tính.
Nhận xét: Hai hàm
(
)
(
)

là các hằng số tùy ý là nghiệm tổng
quát của (2).

Chú ý: Nếu các hàm
(
)
(
)
1122
,
yyxyyx
== là hai nghiệm riêng phụ thuộc tuyến tính
của phương trình (2) thì
(
)
121122122
,
ykykconstyCyCykCCy
==⇒=+=+ thực chất
chỉ phụ thuộc vào một hằng số nên y không phải là nghiệm tổng quát của (2).
Nhận xét: - Từ định lý muốn tìm nghiệm tổng quát của (2) chỉ cần tìm hai nghiệm riêng
độc lập tuyến của nó (các nghiệm đó được gọi là hệ nghiệm cơ bản).

3.2.3 Công thức Liouville: Nếu đã biết một nghiệm riêng
(
)
11
yyx
= của (2) thì có thể
tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính

22
'''0
11
x
yyy
xx
+−=
−−

biết một nghiệm riêng
(
)
1
yxx
=
.

3.3 PTVP tuyến tính cấp hai không thuần nhất:
Phương trình dạng:
(
)
(
)
(
)
(
)
'''3
ypxyqxyfx++=
trong đó

Y
là nghiệm
riêng của phương trình không thuần nhất (3) thì
yyY
=+
là nghiệm tổng quát của (3).

3.3.2 Nguyên lý cộng nghiệm ( chồng chất nghiệm ):

Xét phương trình không thuần nhất
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
12
'''4
ypxyqxyfxfx++=+
Nếu
1
Y
là nghiệm riêng của phương trình
(
)
(

1122
yCyCy
=+
, trong đó
12
,
CC
là các hằng số là nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất tương ứng (2). Khi đó nếu
(
)
(
)
1122
,
CCxCCx
==là những
hàm số thỏa mãn hệ phương trình:

()
''
1122
''''
1122
0
CyCy
CyCyfx

+=


,',''
yyy
vào (1) ta được phương trình đại số bậc hai
(
)
2
02
kpkq++=
và gọi là phương trình đặc trưng, nó có đúng hai nghiệm trong trường số phức
£
. Ta
có các khả năng xảy ra như sau:
- Nếu phương trình đặc trưng (2) có hai nghiệm thực
12
kk
≠
thì
12
12
,
kxkx
yeye
==là
hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1). Do đó nghiệm tổng quát của (1)
là
12
12
kxkx
yCeCe
=+, trong đó

số.
- Nếu phương trình đặc trưng (2) có hai nghiệm phức liên hợp
1
,
ki
αβ
=+

2
ki
αβ
=−
thì
(
)
(
)
(
)
(
12
cossin,cossin
ixix
xixxxixx
yeeeexixyeeeexix
αβαβ
αβααβα
ββββ
+−
−

là các hằng số.

Ví dụ : 1) Giải các phương trình:
a)
''3'20
yyy
−+=
, b)
''4'40
yyy
++=
.
2) Giải bài toán Cauchy:
(
)
(
)
''2'40;01,'01
yyyyy
++===
.

4.2 Phương trình tuyến tính không thuần nhất:
4.2.1 Phương trình dạng:
(
)
(
)
'''3
ypyqyfx++=

fxePx
γ
= , trong đó
γ
∈
R
,
(
)
n
Px
là đa thức bậc n.
- Nếu
γ
không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng (2) thì nghiệm riêng
của (3) có dạng
(
)
x
n
YeQx
γ
= .
- Nếu
γ
trùng với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2) thì nghiệm riêng
của (3) có dạng
(
)
x

cossin
x
nm
fxePxxPxx
γ
θθ
=+


, trong đó
,
γθ
∈
R
;
(
)
(
)
,
nm
PxPx
là các đa thức bậc n,m ;
(
)
max,
lmn
=
- Nếu
i

ll
YxeQxxRxx
γ
θθ
=+


.
trong đó
(
)
(
)
,
ll
QxRx
là các đa thức bậc l mà hệ số của chúng được xác định theo
phương pháp hệ số bất định.

Đặc biệt nếu
(
)
[
]
cossin
fxAxBx
θθ
=+, trong đó A,B là các hằng số.
- Nếu
i

yyyex
−+=−
b)
''4sin2
yyxx
+=
c)
'''5cos
x
yyex
−=+ .

§5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO

5.1 Định nghĩa: PTVP tuyến tính cấp n là phương trình có dạng:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
110

- Nếu
(
)
0
fx
≠
thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp n không thuần nhất.
- Nếu
(
)
(
)
(
)
011
,, ,
n
axaxax
−
là các hằng số thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp n
với hệ số hằng.

5.2 Biểu diễn dưới dạng toán tử:
Nếu ký hiệu vế trái của (1) là
(
)
Ly
và gọi là toán tử vi phân tuyến tính cấp n thì
(1) có dạng
(

(
)
1212
LyyLyLy
+=+.
-
( )
11
,
mm
kkkkk
kk
LCyCLyCconst
==

==


∑∑
.
Từ các tính chất của toán tử
(
)
Ly
ta thấy nếu các hàm
12
,, ,
n
yyy
là các nghiệm

yyxyyxyyxxab
===∈ được gọi là phụ
thuộc tuyến tính nếu tồn tại các hằng số
12
,, ,
n
CCC
không đồng thời bằng 0 sao cho
1122
0
nn
CyCyCy
+++=
.
- Các hàm trên được gọi là độc lập tuyến tính nếu chúng không phụ thuộc tuyến
tính.

5.3.2 Định thức Wronski:
Giả sử các hàm
(
)
(
)
(
)
(
)
1122
,, ,,,
nn

(
)
(
)
1122
,, ,,,
nn
yyxyyxyyxxab
===∈ của phương
trình thuần nhất (2) là độc lập tuyến tính trong khoảng
(
)
,
ab
(
)
0
,:W0
xab
⇔∃∈≠
.

5.3.3 Hệ nghiệm cơ bản, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

Định nghĩa: Hệ gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (2) được
gọi là hệ nghiệm cơ bản của phương trình ấy.

Định nghĩa: Nếu hệ n hàm
(
)


là nghiệm riêng của (1).

5.4 Phương pháp biến thiên hằng số:
Giả sử
1122

nn
yCyCyCy
=+++
, trong đó
12
,, ,
n
CCC
là các hằng số là nghiệm
tổng quát của phương trình thuần nhất. Nếu
(
)
(
)
(
)
1122
,, ,
nn
CCxCCxCCx
=== là
những hàm số thỏa mãn hệ phương trình:


+++=


thì hàm
(
)
(
)
(
)
1122

nn
yCxyCxyCxy
=+++ là nghiệm tổng quát của phương trình
không thuần nhất.

5.5 PTVP tuyến tính cấp n với hệ số hằng:
PTVP tuyến tính cấp n với hệ số hằng là phương trình dạng:

(
)
(
)
(
)
1
110
'
nn

−
−
++++=
(3)
trong đó
011
,, ,
n
aaa
−
là các hằng số.
- 20 -
Phương trình đặc trưng của (3) là:
1
110
0
nn
n
kakaka
−
−
++++=
(4)
(4) là phương trình đại số bậc n, nó có đúng n nghiệm trong trường số phức
£
.
Ta có:
- Nếu (4) có n nghiệm thực phân biệt thì nghiệm tổng quát của (3) là:
12
12

m
CCC
là các hằng số.
- Cặp nghiệm phức liên hợp
i
αβ
±
của (4) cho nghiệm của (3) là:
(
)
12
cossin
x
eCxCx
α
ββ
+ ;
12
,
CC
là các hằng số.
- Cặp nghiệm phức liên hợp
i
αβ
±
bội m
(
)
mn
≤

+++ ;
12
,, ,
m
DDD
là các hằng số.

Chú ý: Nghiệm tổng quát của (3) phải chứa đúng n hằng số.

Ví dụ : Giải các phương trình:
a)
(
)
4
3'''3'''0
yyyy
−+−=
b)
(
)
4
0
yy
−=
.

5.5.2 Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n:
Giải tương tự như phương trình không thuần nhất cấp hai.
Ví dụ : Giải phương trình:
(

'.
dydydzdy
y
dxdzdxxdz
===.
( )
22
222222
1111111
'''
dddydyddydydydzdydy
yy
dxdxxdzxdzxdxdzxdzxdzdxxdzxdz

===−+=−+=−+


.
- 21 -
Thay vào (1) ta được

( )
22
2
222
11
.010
dydydydydy
xAxByABy
xdzdzxdzdzdz

1010
k
xkkAkBkkAkB
−++=⇔−++=

(
)
2
10
kAkB
⇔+−+=
(2).
và gọi là đặc trưng của (1).
- Nếu (2) có hai nghiệm thực
12
kk
≠
thì
12
12
,
kk
yxyx
==là hai nghiệm riêng độc lập
tuyến tính của (1). Do đó nghiệm tổng quát của (1) là
12
12

=+ , trong đó
12
,
CC
là các hằng số.
- Nếu (2) có hai nghiệm phức liên hợp
12
,
kiki
αβαβ
=+=−
thì nghiệm tổng
quát của (1) là
(
)
(
)
12
coslnsinln
yxCxCx
α
ββ=+


, trong đó
12
,
CC
là các
hằng số.

(
)
1
1
110
'0
nn
nn
n
xyAxyAxyAy
−
−
−
++++=
(3)
trong đó
011
,, ,
n
AAA
−
là các hằng số.
- 22 -
Phương trình đặc trưng của (3) là một phương trình đại số bậc n, nó có đúng n
nghiệm trong trường số phức
£
(

(
)
(
)
1
1
110
'0
nn
nn
n
axbyAaxbyAaxbyAy
−
−
−
+++++++=
(4)
trong đó
011
,, ,
n
AAA
−
là các hằng số.
Có thể đưa (4) về (3) bằng cách đặt
taxb
=+
hoặc giải (4) bằng cách đặt
(
)

dy
fxyyy
dx

=



=





=


(1)
trong đó
12
,, ,
n
fff
là các hàm số liên tục trong miền mở
1
,
n
Gx
+
⊂



là hệ chuẩn tắc cấp một.

7.1.1 Định nghĩa: Tập hợp n hàm
(
)
(
)
(
)
12
,, ,
n
yxyxyx
khả vi, liên tục trong khoảng
(
)
,ab
⊂
R
sao cho điểm
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
12
,, ,
n
yxyxyx
của hệ (1) thỏa
mãn các điều kiện
(
)
0
0
,1,
ii
yxyin
== trong đó
00
01
,, ,
n
xyy
là những số cho trước.

7.1.3 Định lý: ( về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy)
Giả sử các hàm số
12
,, ,
n

0
x
thỏa mãn các điều kiện
(
)
0
0
,1,
ii
yxyin
== trong đó
(
)
00
01
,, ,
n
xyyD
∈
.

7.1.4 Nghiệm tổng quát:
Giả sử
DG
⊂
là miền thỏa mãn các điều kiện của định lý. Tập hợp n hàm
(
)
12
,,, ,,1,


Ví dụ: 1) Chứng minh rằng hệ hàm:

(
)
()
3
112
3
212
3cos
xx
xx
yxCeCe
yxCeCex
−−
−−

=+


=++



là nghiệm tổng quát của hệ phương trình:

'
12
'

- 24 -
Ví dụ: Giải các hệ phương trình:
a)
'
'
yz
zyx
=


=+

b)
'
'
yyz
zyzx
=+


=++

c)
2
'
1
'
2
y
y

.
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
2
2
'
'
yyyz
zzyz

=+

=+

.

§8 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT VỚI
HỆ SỐ HẰNG

8.1 Định nghĩa: Hệ PTVP tuyến tính cấp một với hệ số hằng là hệ phương trình dạng:

()
()
()
1
11112211
2
21122222
1122
(1)
trong đó
,1,,1,
ij
ainjn
== là các hằng số,
(
)
,1,
i
fxin
= là các hàm số liên tục,
(
)
,1,
ii
yyxin
== là các hàm cần tìm.
Nếu các hàm số
(
)
0,1,
i
fxin
≡= thì hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất.
Nếu ít nhất một trong các hàm số
(
)
0,1,
i

ayaz
dx
dz
ayaz
dx

=+




=+


(2)
trong đó
;,1,2
ij
aij
=
là các hằng số,
(
)
(
)
,
yxzx
là các hàm cần tìm.
Cách giải:
Ta tìm nghiệm riêng của (2) dưới dạng

−+=

+−=

(3)
(3) là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất. Nó có nghiệm khác 0 khi
( )( )
1112
11221221
2122
00
aka
akakaa
aak
−
=⇔−−−=
−
(4)

(4) là phương trình đại số bậc hai đối với k, nó có đúng hai nghiệm trong trường số phức
£
và được gọi là phương trình đặc trưng của (2).

- Nếu (4) có hai nghiệm thực
12
kk
≠
thì thay
1
k

. Các nghiệm riêng độc lập tuyến tính
1212
,,,
yyzz
được gọi là hệ nghiệm cơ
bản. Do đó nghiệm tổng quát của (2) là:
12
12
1122
1122
1122
1122
kxkx
kxkx
yCyCy
yCeCe
zCzCz
zCeCe
αα
ββ
=+

=+

⇔

=+
=+

