PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CẤP 1
Bài toán dẫn về phương trình vi phân
[ ]
0
( ) 20 , (0) 100
dT
k T t T C
dt
= − =
Vận tốc nguội lạnh của một vật trong không khí tỷ lệ
với hiệu giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí.
Tìm quy luật giảm nhiệt của vật nếu nhiệt độ của
không khí là 20
0
C và nhiệt độ ban đầu của vật là
100
0
C.
Quy luật giảm nhiệt ⇔ sự thay đổi nhiệt độ theo thời gian
Gọi nhiệt độ của vật là hàm số T theo biến thời gian t
⇒ PTVP
BÀI TOÁN DẪN VỀ PTVP
1
( ) 2 ( )=
∫
x
y t dt xy x
( ) 2 ( ) 2 '( )y x y x xy x= +
2 '( ) ( ) 0xy x y x⇔ + =
(1) 1y =

) = 0 (1)
1.Hàm số y = ϕ(x,c
1
,…,c
n
) thỏa mãn (1) với c
i
là
các hằng số gọi là nghiệm tổng quát của (1).
Nếu cho c
i
các giá trị cụ thể ta được nghiệm
riêng của (1).
2.Hàm φ(x,c
1
,…,c
n
, y) = 0 thỏa mãn (1) gọi là tích
phân tổng quát của (1) (y được tìm ở dạng ẩn)
Nếu cho c
i
các giá trị cụ thể ta đươc tích phân
riêng của (1).
NGHIỆM CỦA PTVP
3.Đồ thị của hàm nghiệm gọi là đường cong
tích phân.
4.Hàm y = y(x) thỏa (1) nhưng không phải là
nghiệm riêng được gọi là nghiệm kỳ dị của
(1).
Bài toán Cauchy cho ptvp cấp 1

(1) 3 2y dy xdx⇔ =
2
3 2y dy xdx⇔ =
∫ ∫
3y
2
y’ = 2x (1)
y(0) = 1 (2)
3 2
y x C⇔ = +
( tích phân tổng quát )
Thay x = 0, y = 1 vào TPTQ ⇒ C = 1
hay nghiệm của (1) và (2) là:
3
2
1y x= +
Vậy tích phân riêng là: y
3

= x
2
+ 1
(3)
(1)
dy dx
y x
⇔ =
ln lny x c⇔ = +
ln ln⇔ − =y x c
xy’ = y (1)

3 3
x c c x
y e e e
+
⇔ = =
3
, 0⇔ = ≠ C
x
y Ce
Hàm y = 0 không thỏa đk ban đầu nên không
xét.
x = 0, y = 2 ⇒ C = 2 ⇒
nghiệm :
3
2
x
y e=
Ví dụ
(1)
( 2)
⇒ =
+
dy
xdx
y y
1 1 1
2 2
 
⇒ − =
 ÷

' 4− =u u
1
arctan
2 2
⇒ = +
u
x c
4 1
arctan 2
2
x y
x C
+ −
⇔ = +
y’ = f(ax + by + c) Đặt: u = ax + by +c
Vd: y’ = (4x + y – 1)
2
Pt trở thành
2
4
⇒ =
+
du
dx
u
DẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BiẾN
u y x= −
3 1
' 1
2

ln 1
2
⇒ + − = +
x
u u C
PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
2 2
'xyy x xy y= − +
' 1
x y
y
y x
⇒ = − +
ux
y
u
x
y⇒ ==
1
' 1u x u u
u
+ = − +
Vd:
Hay: y = ux
1
'
u
u x
u
−


1 1 1
ax by c
y f
a x b y c
 
+ +
′
=
 ÷
+ +
 
1 1
0
a b
a b
≠
1 1
0
a b
a b
=
Bước 1: giải hệ pt
Với cặp nghiệm (x
0
, y
0
), đặt :
x = X + x
0

 
⇔
 
+ − = =
 
2( 1) 4( 2) 6 2 4
' '
1 2 3
− + + + − − +
= ⇔ =
+ + + − +
X Y X Y
Y Y
X Y X Y
Giải pt:
Đổi biến: x = X + 1, y = Y + 2, pt trở thành
2 4
'
1
− +
⇒ =
+
Y
X
Y
Y
X
Đổi biến: Y = UX ⇒ Y’ = U’X + U
2 4
'

+
U U
U X
U
3
2
ln( 1) ln 2 ln | |⇒ − − + − = − +U U X c
3
2
( 2)
( 1)
−
⇒ =
−
U C
X
U
3 2
( 2 ) ( )⇒ − = −Y X C Y X
2
( 1)
3 2
U dU dX
X
U U
+ −
=
− +
(trả về x, y)
( )

+
2 2
2
cos
y
y xy
x y
= +
+
PT VI PHÂN TOÀN PHẦN
( , ) ( , ) 0
y x
P x y dx Q x y dy
P Q
+ =


′ ′
=

( , )U x y C=
0 0
0
( , ) ( , ) ( , )
x y
x y
U x y P t dty xQ t dt= +
∫ ∫
Dạng:
Tích phân tổng quát:

x y
x y
U x y P t dty xQ t dt= +
∫ ∫
0 0
03 ) ( 9 )2(
x y
t dt x t dt= + + −
∫ ∫
0 0
( , ) (3 9 )2(0)
x y
xU x y t dt t dt= + + −
∫ ∫
2 2
3 9
2
2 2
x xy y= + −
2 2
( , )
3 9
2
2 2
xU xy yx y C= + − =
Vậy tích phân tổng quát là