HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
ĐỊNH NGHĨA
F
1
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
, x
1
’,x
2
’,…,x
n
’) = 0
….
F
n
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
, x
1
’,x
2
’,…,x

, x
2
, …, x
n
: ẩn hàm
BÀI TOÁN CAUCHY
x
1
’ = f
1
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
)
………………………
x
n
’ = f
n
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
)
Tìm nghiệm hệ

B
1
: xây dựng một ptvp cấp n theo 1 hàm chọn trước.
B
2
: giải ptvp cấp n vừa tìm được và rút về hệ với (n – 1)
hàm
Vd:
(1)
(2)
' 3 ' 2 3 '
' 2 ' 2
t t t
t t
y x y e y y e y e
x y e x y e
 
′′ ′′
= − + − = − − + −
 
⇒ ⇒
 
= + = +
 
 
(3)
(3) " 3 ' 2 2⇔ − + = −
t
y y y e
Tt cấp 2 hệ số hằng

2 (4 3)
2

= + + −


= + +


t t t
t t t
x C e C e t e
y C e C e te
Cách khử cho hệ 2 pt (tuyến tính)
1. Lấy đạo hàm pt (1) theo t được (3)
2. Thay y’ từ pt (2) vào (3) được (4)
3. Rút y từ (1) thay vào (4)
4. Pt kết quả là pt cấp 2 theo ẩn hàm x và biến t
1 1 1
2 2 2
( )
( )
x a x b y f t
y a x b y f t
′
= + +


′
= + +

′′ ′
⇒ = + ++ +
( )
(1)
3 32 4
t t
x x x e ex x t
′′ ′
⇒ = + + − + +
′
−
7 10 3
t
x x x e t
′′ ′
⇒ − + = − +
7 10 3
t
x x x e t
′′ ′
− + = − +
5 2
1 2
3 1 7
4 10 100
t t t
x C e C e e t= + − + +
5 2
1 2
5 2

HỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG
1
( )
( )
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
M
n
x t
x t
1
( )
( )
′
 
 ÷
 ÷
 ÷
′
 
M
n
x t
x t
1
( )
( )

' '( ) 3
t
t
x x t y e
y y t x y e

= = +


= = − + −


( )
( )
( )
x t
X t
y t
 
=
 ÷
 
0 2
1 3
A
 
=
 ÷
−
 

 ÷
 ÷
 ÷
−
 
−
 
( )
( ) ( )
( )
x t
X t y t
z t
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
2
' 2 sin
2 / ' 2 4
' 3 2 ln
t
x x y z t t
y x y z t
z y z e t
= + + + +



y y
y y
y y
λ
λ
λ
′
    
    
′
    
=
    
    
′
    
K
K
K
1 1 1
2 2 2
0 0
0 0

0 0
n n n
y y
y y
y y
λ

λ
=


=
′
′
′

⇔



=

X = PY
1
2
1
2
1
2

( )
( )
( )
n
t
t
t

n n nn
P P P
x y
x P P P y
x y
P P P
 
   
 
   
 
   
=
 
   
 
   
   
 
K
K
K
1
2
1
11 12 1
1
2 21 22 2
2
1 2

 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
K
K
K
1
2
1
11 12 1
1
2 21 22 2
2
1 2
n
t
n

 
 
 
 
 
 
 
K
K
K
1
P
2
P
n
P
1 2
1 1 2 2
n
t
t t
n n
X C Pe C P e C P e
λ
λ λ
= + + +L
1 2
1 2
1 2
11 1 12 2 1 2

=
 
 
 
 
K
K
K
Định lý: Hệ X’ = AX(t), ma trận A có n giá trị riêng thực
λ
1
, λ
2
… λ
n
(kể cả trị riêng bội), và n vector riêng P
1
, P
2
,
… , P
n
độc lập tuyến tính
⇒ Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất:
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
1 2
1
, , ,
k

 
=
 ÷
−
 
( ) ( )
2
det 3 2P A I
λ λ λ λ
= − = − +
1 1
2
1, ,
1
P
λ
 
= =
 ÷
 
Trị riêng và VTR của A:
1 2
1
2, ,
1
P
λ
 
= =
 ÷

= + +


′
= + +


′
= + +

A
2
1 1 2
1 1 2 (6 ) 0
2 2 4
A I
λ
λ λ λ λ
λ
−
− = − = − =
−
1
2
0
6
λ
λ
=


 ÷
 ÷
⇔ =
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Chọn vector riêng:
1 2
1 2
1 , 0
0 1
P P
   
 ÷  ÷
= − =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
   
1
2 2
3
5 1 2
( ) 0 1 5 2 0
2 2 2
p
A I P p

k k
k
X C X
=
⇒ =
∑
6
1 2 3
1
6
2 1 3
6
3
2 3
2
2
t
t
t
C C C e
x
x C C e
x
C C e
 
+ +
 
 ÷
 ÷
⇔ = − +

= − + +
 ÷  ÷
 ÷
 
 ÷
 ÷
 ÷


   
÷
−

( )
1 1 2
2 1 2
( ) 3
2
( ) 2 4

′
= + +

′
= + +

t
x t x x e
x t x x t
3 1

 ÷
 
1
2 / 3 1/ 3
1/ 3 1/ 3
P
−
−
 
=
 ÷
 
Đặt :
1 1
1
2 2
2 / 3 1/ 3
1/ 3 1/ 3
y x
Y P X
y x
−
−
   
 
= ⇔ =
 ÷
 ÷  ÷
 
   

 ÷
 ÷  ÷
′
   
 ÷
+
 
1
2
2 / 3 1/ 3
3 3
1/ 3 1/ 3 1
3 3
t
t
t
t
e
e
P F
t
t
e
−
 
−
 ÷
−
 
 


X PY⇒ =
1 1
2 2
1 1
1 2

x y
hay
x y
   
 
=
 ÷
 ÷  ÷
−
 
   
1 1
2 2
2
2
3 3
1
5
3 3
t
t
t
y y e

1
+ C
2
X
2
+ …+ C
n
X
n
{ X
k
, k = 1, ,n }: hệ nghiệm độc lập tuyến tính của (1)
(1)
PP biến thiên hằng số tìm X
r
C’
1
(t)X
1
+ …+ C’
n
(t)X
n
= F(t)C
i
tìm từ hệ pt:
( )
0 1 1 2 2
1
k