TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội - 2016


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2016



cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả
của các đề tài khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Phương Thúy

ii


Mục lục

Lời mở đầu

ii

1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Một số khái niệm mở đầu về hệ phương trình vi phân . .

1.2

Quan hệ giữa phương trình vi phân cấp n và hệ n phương

1

trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Sự kéo dài nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3

Sự phụ thuộc của nghiệm vào tham số và điều kiện ban đầu 36

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

49


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Lời mở đầu
Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc
thực tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển chia thành
hai lĩnh vực đó là: Toán học lí thuyết và toán học ứng dụng. Trong lĩnh
vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến
việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân có
vai trò rất quan trọng trong lí thuyết toán học.

những thiếu sót. Em rất mong nhận được những đóng góp, ý kiến của
các thầy cô và bạn đọc để đề tài này được hoàn chỉnh và đạt kết quả
cao hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Phương Thúy

iii


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hệ phương trình vi
phân nhằm thuận tiện cho việc trình bày ở các mục sau.

1.1

Một số khái niệm mở đầu về hệ phương trình
vi phân

Hệ n phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc là hệ phương
trình sau:


dy1



= f1 (x, y1 , y2 , . . . , yn )


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Bằng cách đặt



 

dy1
y
f (x, y1 , . . . , yn )
 dx 

 1  dY
 1



 .. 

.


.
Y =  . ,
=  .  , F (x, Y ) =  . . . . . . . . . . . . . . .  ,


(1.2)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY


dy1



= y2


dx




 dy2 = y3
dx



.........







........................






 dyn = fn (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx

(1.4)

có thể đưa về phương trình vi phân cấp n dạng:
dyj d2 yj
dn−1 yj
dn yj
= Fj x, yj ,
,
, . . . , n−1
dxn
dx dx2
dx

(1.5)

trong đó 1 ≤ j ≤ n.
Và từ mọi nghiệm của phương trình vi phân (1.5) cho ta một nghiệm


+
dx2
dx
∂y1 dx
∂yn dx
Vậy
∂fj
d2 yj
=
+
dx2
∂x

n

i=1

d 2 yj
∂fj
⇔
=
+
dx2
∂x

∂fj dyi
.
∂yi dx
n



∂F2 dyi
∂F2
.
=
+
∂yi dx
∂x

(1.8)
n

i=1

d3 yj
= F3 (x, y1 , y2 , . . . , yn ).
dx3
Cứ tiếp tục như vậy đến (n − 2) lần ta được
dn−1 yj
= Fn−1 (x, y1 , y2 , . . . , yn ),
dxn−1
4

∂F2
.fi
∂yi

(1.9)

(1.10)



 d yj = F2 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx2



...........................




n−1


 d yj = Fn−1 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dxn−1

(1.13)

Giả sử

Xét hệ

Do giả thiết (1.12) từ hệ (1.13) ta có thể giải được y1 , y2 , . . . , yj−1 , yj+1 ,
dn−1 yj
dyj
, . . . , n−1 .
. . . , yn và các hàm này biểu diễn qua x, yj ,
dx

dx
Suy ra
d2 yj
∂fj
=
+
dx2
∂x
5

n

i=1

∂fj dyi
. .
∂yi dx

(1.15)

(1.16)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Trừ từng vế của (1.16) và (1.7) ta được
n


Trừ từng vế của (1.17) và (1.9) ta được
n

i=1,i=j

∂F2
∂yi

dyi
− fj
dx

= 0.

Tiếp tục quá trình này với các phương trình còn lại của hệ (1.13),
tổng hợp lại ta có hệ

n
∂fj dyi


− fj = 0



∂yi dx
i=1,i=j




Hệ (1.18) là một hệ đại số tuyến tính thuần nhất.
Do (1.12) nên hệ (1.18) chỉ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường
suy ra
dyi
dyj
= fi ;
= fj ; (i = j)
dx
dx
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Vậy y1 , y2 , . . . , yn là nghiệm của hệ (1.4).
Dựa trên mối quan hệ này, trong một số trường hợp, chúng ta có thể
đưa hệ phương trình vi phân cấp một về phương trình vi phân cấp cao.
Từ lời giải của phương trình vi phân cấp cao đó, chúng ta có lời giải của
hệ phương trình vi phân.
Ví dụ 1.1. Giải hệ phương trình sau


 dy = z
dx

 dz = y
dx




y = c1 e−x + c2 ex

z = −c e−x + c ex .
1
2

1.3

Phương pháp tổ hợp tích phân

Phương pháp tổ hợp tích phân là phương pháp cho phép ta hạ cấp
(giảm số phương trình) của hệ phương trình vi phân cấp một bằng cách
tổ hợp (nhóm) một cách thích hợp để tạo ra các hệ thức vi phân tích
phân được. Tích phân mỗi hệ thức vi phân đó cho ta một hệ thức đại số
liên hệ giữa các ẩn hàm và biến độc lập, gọi là một tích phân đầu của
hệ. Nếu như các tích phân đầu đó, ta rút ra được k ẩn hàm theo biến
độc lập và các ẩn hàm còn lại thì ta sẽ giảm được k phương trình từ hệ
ban đầu. Trước hết ta xét qua ví dụ sau:
Ví dụ 1.2. Giải hệ phương trình sau


 dy = z
dx

 dz = y
dx
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được


⇔ y + z = c1 ex .

(3)

Lấy (1) trừ (2) ta được
d(y − z)
=z−y
dx
d(y − z)
= −dx
⇔
y−z
d(y − z)
⇔
=−
y−z

dx + lnc2

⇔|y − z| = −x + lnc2
⇔y − z = c2 e−x .

Từ (3) và (4) ta có hệ

(4)



y + z = c1 ex


phân để đi đến những hệ thức dạng
Φi (x, y1 , y2 , . . . , yn ) = ci ,

(1.20)

gọi là các tích phân đầu của hệ (1.19).
Nếu tìm được k tổ hợp khả tích thì sẽ có k tích phân đầu




Φ1 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) = c1






Φ2 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) = c2

(1.21)




........................





= ... =
ϕ1 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) ϕ2 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dyn
dx
=
=
,
ϕn (x, y1 , y2 , . . . , yn ) ϕ0 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
trong đó
ϕi (x, y1 , y2 , . . . , yn )
= fi (x, y1 , y2 , . . . , yn ), (i = 1, 2, . . . , n).
ϕ0 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
Trong hệ đã cho dưới dạng đối xứng thì vai trò các biến số độc lập và
phụ thuộc đều như nhau.
Ví dụ 1.3. Xét hệ:

dy
2xy



= 2
dx x − y 2 − z 2
dz
2xz



= 2
dx x − y 2 − z 2

dz
=
x(x2 + y 2 + z 2 )
2xy
Do đó
ln(x2 + y 2 + z 2 ) = ln|y| + lnc1
hay
x2 + y 2 + z 2
= c2 .
y
Các tích phân đầu tìm được này là độc lập. Vì thế chúng cho ta xác định
các hàm phải tìm y và z qua x, c1 , c2 .
Vậy nghiệm của hệ xác định bởi hệ hai tích phân đầu độc lập


y

 = c1
z
2
x
+ y2 + z2


= c2 .

y

1.4



12

(1.23)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

trong đó
aij (x), (i, j = 1, 2, . . . , n) là các hàm số liên tục.
y1 , y2 , . . . , yn là các hàm số cần tìm.
Hệ (1.23) có thể viết dưới dạng ma trận sau
Đặt


a (x)
 11

 a21 (x)
A(x) = 

 ...

an1 (x)

a12 (x)

...

y2
a2n (x)
dY

;Y =  ;
dx 
=


 ..  dx

 .. 
.
... 
 . 
 



dyn
yn
ann (x)
dx


Khi đó hệ (1.23) tương đương với phương trình
dY
= A(x)Y.
dx


n
0 

lập tuyến tính nếu
cj Yj = 0 thì cj = 0, j = 1, 2, . . . , n với 0 = 
 .. .
j=1
.
 
0
Các nghiệm Y1 , Y2 , . . . , Yn của hệ (1.24) được gọi là phụ thuộc tuyến tính
nếu tồn tại các hằng số c1 , c2 , . . . , cn không đồng thời bằng không, sao
n

cj Yj = 0.

cho
j=1

Định nghĩa 1.2. Cho họ nghiệm Y1 , Y2 , . . . , Yn của hệ (1.24)

W = W [Y1 , Y2 , . . . , Yn ] =

y11

y12

...

y1n





y
y
 11 
 1n 
 
 
 y21 
y 
 , . . . , Yn =  2n 
Y1 = 
 .. 
 .. 
 . 
 . 
 
 
yn1
ynn
Định nghĩa 1.3. Các nghiệm độc lập tuyến tính Y1 , Y2 , . . . , Yn của hệ
(1.24) được gọi là hệ nghiệm cơ bản.
Định lý 1.4. Nếu Y1 , Y2 , . . . , Yn phụ thuộc tuyến tính thì W = 0.
Định lý 1.5. Nếu Y1 , Y2 , . . . , Yn độc lập tuyến tính thì W = 0.
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học




 dy2 = a21 (x)y1 + a22 (x)y2 + . . . + a2n (x)yn + f2 (x)
dx



................................................






 dyn = an1 (x)y1 + an2 (x)y2 + . . . + ann (x)yn + fn (x)
dx
Nếu ta kí hiệu


a (x)
 11

 a21 (x)
A(x) = 

 ...

an1 (x)



(1.25)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY



 
dy1
y
f (x)
 dx 
 1
 1 
 dy2 
 




 y2  dY
 f2 (x) 
 dx 





dx

(1.26)

Nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có
một số tính chất được thể hiện thông qua các định lý sau.
Định lý 1.8. Nếu Y ∗ (x) là nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến
tính không thuần nhất, Y1 (x), Y2 (x), . . . , Yn (x) là hệ nghiệm cơ bản của
hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng thì nghiệm
tổng quát của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có
dạng
Y = c1 Y1 (x) + c2 Y2 (x) + . . . + cn Yn (x) + Y ∗ (x),
trong đó c1 , c2 , . . . , cn là các hằng số bất kì.
Định lý 1.9. Nếu Y1 (x), Y2 (x) là hai nghiệm tương ứng của các hệ
phương trình
L[Y ] = f1 (x); L[Y ] = f2 (x)
thì Y (x) = Y1 (x) + Y2 (x) là nghiệm của hệ phương trình
L[Y ] = f1 (x) + f2 (x).

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Định lý 1.10. Nếu hệ phương trình tuyến tính
L[Y ] = U (x) + iV (x),
trong đó


với ma trận thực A(x) có nghiệm phức
Y [x] = X(x) + iZ(x)
thì phần thực X(x), phần ảo Z(x) là các nghiệm thực tương ứng của các
hệ phương trình
L[Y ] = U (x); L[Y ] = V (x).
Định nghĩa 1.4. Nếu ma trận A(x) trong phương trình (1.26) không
phụ thuộc vào x thì hệ đó được gọi là hệ phương trình vi phân tuyến
tính với hệ số hằng.

17


Chương 2
Một số tính chất định tính của hệ
phương trình vi phân cấp một
Chương này trình bày một số tính chất định tính của hệ phương
trình vi phân cấp một như: sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
Cauchy, sự kéo dài nghiệm, sự phụ thuộc của nghiệm vào tham số và dữ
kiện ban đầu.

2.1

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
Cauchy

Bài toán Cauchy của hệ phương trình vi phân

dy1

