Header Page 1 of 161.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội - 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích



Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham
khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Một số tính chất định tính
của hệ phương trình vi phân cấp một" là kết quả của việc nghiên
cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả
của các đề tài khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Phương Thúy

ii

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

Mục lục

Lời mở đầu


12

1.5

Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất .

15

2 Một số tính chất định tính của hệ phương trình vi phân
cấp một

18

2.1

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy . . .

18

2.2

Sự kéo dài nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3

Sự phụ thuộc của nghiệm vào tham số và điều kiện ban đầu 36


của phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân mà không cần giải
chúng.
Xuất phát từ nhận thức trên và lòng ham mê môn học với sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo TS. Trần Văn Bằng, em mạnh dạn chọn
đề tài: “Một số tính chất định tính của hệ phương trình vi phân
cấp một” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình.
Khóa luận được trình bày trong hai chương:

ii

Footer Page 6 of 161.


Header Page 7 of 161.

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này trình bày một số kiến thức về hệ phương trình
vi phân. Bao gồm một số khái niệm cơ bản và cách giải hệ phương
trình vi cấp một.
• Chương 2: Một số tính chất định tính của hệ vi phân cấp một
Trong chương này trình bày một số kiến thức về sự tồn tại, tính
duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy, sự kéo dài nghiệm, sự phụ
thuộc của nghiệm vào tham số và dữ kiện ban đầu.
Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực
bản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong nhận được những đóng góp, ý kiến của
các thầy cô và bạn đọc để đề tài này được hoàn chỉnh và đạt kết quả
cao hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016


dx




 dy2 = f2 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx



........................






 dyn = fn (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx

(1.1)

ở đây:
x là biến độc lập.
y1 = y1 (x), y2 = y2 (x),. . . , yn = yn (x) là các hàm phải tìm.
fi = fi (x, y1 , y2 , . . . , yn ) là các hàm liên tục của các biến x, y1 , y2 , . . . , yn .

Footer Page 8 of 161.


Y =  . ,
=  .  , F (x, Y ) =  . . . . . . . . . . . . . . .  ,

  dx

 dy 
n
fn (x, y1 , . . . , yn )
yn
dx
hệ (1.1) có thể được viết dưới dạng véc tơ:
dY
= F (x, Y ).
dx
Nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1) là tập hợp n hàm khả vi
y1 = y1 (x), y2 = y2 (x),. . . , yn = yn (x) trên một khoảng nào đó sao cho
chúng thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ (1.1) hay nói cách khác
khi thay chúng vào hệ (1.1) ta được các đồng nhất thức.

1.2

Quan hệ giữa phương trình vi phân cấp n và hệ
n phương trình vi phân cấp một

Ta có thể đưa một phương trình vi phân cấp n về một hệ n phương
trình vi phân cấp một theo cách sau đây:
Giả sử ta có phương trình:
y (n) = f (x, y, y , . . . , y (n−1) )
Đặt: y = y1 , y = y2 , y = y3 , . . . , y (n−1) = yn
Khi đó ta có hệ phương trình vi phân cấp một sau:


.........






 dyn = f (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx

(1.3)

Nếu y = y(x) là nghiệm của phương trình (1.2) thì: y1 = y(x), y2 =
y (x), . . . , yn = y (n−1) (x) là nghiệm của (1.3).
Ngược lại, nếu y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) là nghiệm của hệ (1.3) thì hàm
y = y1 (x) cho ta nghiệm của phương trình (1.2).
Tương tự, ta cũng có thể đưa hệ n phương trình vi phân cấp một về
một phương trình cấp n như sau.
Định lý 1.1. Với một số điều kiện nào đó thì từ hệ phương trình:

dy1



= f1 (x, y1 , y2 , . . . , yn )


dx



(1.5)

trong đó 1 ≤ j ≤ n.
Và từ mọi nghiệm của phương trình vi phân (1.5) cho ta một nghiệm

Footer Page 10 of 161.

3


Header Page 11 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

y1 , y2 , . . . , yn của hệ phương trình vi phân (1.4).
Chứng minh. Giả sử fi (i = 1, . . . , n) là các hàm liên tục và có các đạo
hàm riêng liên tục theo tất cả các biến đến cấp (n − 1).
Giả sử y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), . . . , yn = yn (x) là một nghiệm của hệ
(1.4), ta thay vào phương trình thứ j của hệ (1.4) ta được:
dyj
= fj (x, y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)) = fj (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx

(1.6)

Suy ra
∂fj ∂fj dy1
∂fj dyn

+
dx2
∂x

∂fj dyi
.
∂yi dx
n

i=1

∂fj
.fi
∂yn

(1.7)

n ∂f
∂fj
j
Đặt F2 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) =
.fi
+
∂x i=1 ∂yn

d2 yj
= F2 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx2
d3 yj
∂F2


Footer Page 11 of 161.

4

∂F2
.fi
∂yi

(1.9)

(1.10)


Header Page 12 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

dn yj
= Fn (x, y1 , y2 , . . . , yn ).
dxn

(1.11)

D(fj , F2 , F3 , . . . , Fn−1 )
=0
D(y1 , y2 , . . . , yj−1 , yj+1 , . . . , yn )

(1.12)


(1.13)

Giả sử

Xét hệ

Do giả thiết (1.12) từ hệ (1.13) ta có thể giải được y1 , y2 , . . . , yj−1 , yj+1 ,
dn−1 yj
dyj
, . . . , n−1 .
. . . , yn và các hàm này biểu diễn qua x, yj ,
dx
dx
Thay các hàm này vào (1.11) ta được
dn yj
dyj
dn−1 yj
=
F
x,
y
,
,
.
.
.
,
n
j

∂fj dyi
. .
∂yi dx

(1.15)

(1.16)


Header Page 13 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Trừ từng vế của (1.16) và (1.7) ta được
n

i=1,i=j

∂fj
∂yi

dyi
− fj
dx

= 0.

Tương tự như vậy từ phương trình thứ hai của hệ (1.13), lấy đạo hàm
hai vế ta được


Tiếp tục quá trình này với các phương trình còn lại của hệ (1.13),
tổng hợp lại ta có hệ

n
∂fj dyi


− fj = 0



∂yi dx
i=1,i=j



n

∂F2 dyi


− fj = 0

dx
i=1,i=j ∂yi







Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Vậy y1 , y2 , . . . , yn là nghiệm của hệ (1.4).
Dựa trên mối quan hệ này, trong một số trường hợp, chúng ta có thể
đưa hệ phương trình vi phân cấp một về phương trình vi phân cấp cao.
Từ lời giải của phương trình vi phân cấp cao đó, chúng ta có lời giải của
hệ phương trình vi phân.
Ví dụ 1.1. Giải hệ phương trình sau


 dy = z
dx

 dz = y
dx

(1)
(2)

Lấy đạo hàm phương trình (1), ta có
d2 y
dz
=
.
dx2

2

1.3

Phương pháp tổ hợp tích phân

Phương pháp tổ hợp tích phân là phương pháp cho phép ta hạ cấp
(giảm số phương trình) của hệ phương trình vi phân cấp một bằng cách
tổ hợp (nhóm) một cách thích hợp để tạo ra các hệ thức vi phân tích
phân được. Tích phân mỗi hệ thức vi phân đó cho ta một hệ thức đại số
liên hệ giữa các ẩn hàm và biến độc lập, gọi là một tích phân đầu của
hệ. Nếu như các tích phân đầu đó, ta rút ra được k ẩn hàm theo biến
độc lập và các ẩn hàm còn lại thì ta sẽ giảm được k phương trình từ hệ
ban đầu. Trước hết ta xét qua ví dụ sau:
Ví dụ 1.2. Giải hệ phương trình sau


 dy = z
dx

 dz = y
dx
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được

Footer Page 15 of 161.

8

(1)
(2)


Lấy (1) trừ (2) ta được
d(y − z)
=z−y
dx
d(y − z)
= −dx
⇔
y−z
d(y − z)
⇔
=−
y−z

dx + lnc2

⇔|y − z| = −x + lnc2
⇔y − z = c2 e−x .

Từ (3) và (4) ta có hệ

(4)



y + z = c1 ex


y − z = c e−x
2

phân để đi đến những hệ thức dạng
Φi (x, y1 , y2 , . . . , yn ) = ci ,

(1.20)

gọi là các tích phân đầu của hệ (1.19).
Nếu tìm được k tổ hợp khả tích thì sẽ có k tích phân đầu




Φ1 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) = c1






Φ2 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) = c2

(1.21)




........................





(1.19) dưới dạng đối xứng sau đây
dy1
dy2
=
= ... =
ϕ1 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) ϕ2 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dyn
dx
=
=
,
ϕn (x, y1 , y2 , . . . , yn ) ϕ0 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
trong đó
ϕi (x, y1 , y2 , . . . , yn )
= fi (x, y1 , y2 , . . . , yn ), (i = 1, 2, . . . , n).
ϕ0 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
Trong hệ đã cho dưới dạng đối xứng thì vai trò các biến số độc lập và
phụ thuộc đều như nhau.
Ví dụ 1.3. Xét hệ:

dy
2xy



= 2
dx x − y 2 − z 2
dz
2xz


Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Bây giờ lần lượt nhân tử số và mẫu số của hệ phương trình đối xứng với
x, y và z rồi áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có
xdx + ydy + zdz
dz
=
x(x2 + y 2 + z 2 )
2xy
Do đó
ln(x2 + y 2 + z 2 ) = ln|y| + lnc1
hay
x2 + y 2 + z 2
= c2 .
y
Các tích phân đầu tìm được này là độc lập. Vì thế chúng cho ta xác định
các hàm phải tìm y và z qua x, c1 , c2 .
Vậy nghiệm của hệ xác định bởi hệ hai tích phân đầu độc lập


y

 = c1
z
2
x
+ y2 + z2







 dyn = an1 (x)y1 + an2 (x)y2 + . . . + ann (x)yn ,
dx

Footer Page 19 of 161.

12

(1.23)


Header Page 20 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

trong đó
aij (x), (i, j = 1, 2, . . . , n) là các hàm số liên tục.
y1 , y2 , . . . , yn là các hàm số cần tìm.
Hệ (1.23) có thể viết dưới dạng ma trận sau
Đặt


a (x)
 11

 dx 
 1

 dy2 
 






y2
a2n (x)
dY

;Y =  ;
dx 
=


 ..  dx

 .. 
.
... 
 . 
 




Footer Page 20 of 161.

13


Header Page 21 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Định nghĩa 1.1. Các nghiệm Y1 , Y2 , . . . , Yn của hệ (1.24) được gọi là độc
 
0
 
 
n
0 

lập tuyến tính nếu
cj Yj = 0 thì cj = 0, j = 1, 2, . . . , n với 0 = 
 .. .
j=1
.
 
0
Các nghiệm Y1 , Y2 , . . . , Yn của hệ (1.24) được gọi là phụ thuộc tuyến tính
nếu tồn tại các hằng số c1 , c2 , . . . , cn không đồng thời bằng không, sao
n

cj Yj = 0.

...

yn1

yn2

...

ynn

được gọi là định thức Wronski của họ Y1 , Y2 , . . . , Yn với








y
y
 11 
 1n 
 
 
 y21 
y 
 , . . . , Yn =  2n 
Y1 = 
 .. 

ci Yi .
i=1

1.5

Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần
nhất

Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất là hệ có dạng

dy1



= a11 (x)y1 + a12 (x)y2 + . . . + a1n (x)yn + f1 (x)


dx




 dy2 = a21 (x)y1 + a22 (x)y2 + . . . + a2n (x)yn + f2 (x)
dx



................................................




...

an2 (x)

...

15

a1n (x)





a2n (x) 


... 

ann (x)

(1.25)


Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY


.
.
 . 
.


 




dyn
yn
fn (x)
dx




thì hệ (1.25) có thể viết dưới dạng ma trận tương đương như sau
dY
= A(x)Y + F (x).
dx

(1.26)

Nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có
một số tính chất được thể hiện thông qua các định lý sau.
Định lý 1.8. Nếu Y ∗ (x) là nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến
tính không thuần nhất, Y1 (x), Y2 (x), . . . , Yn (x) là hệ nghiệm cơ bản của



v (x)
u (x)
 1 
 1 




 v2 (x) 
 u2 (x) 



U (x) = 
 ..  , V (x) =  .. 
 . 
 . 




vn (x)
un (x)
với ma trận thực A(x) có nghiệm phức
Y [x] = X(x) + iZ(x)
thì phần thực X(x), phần ảo Z(x) là các nghiệm thực tương ứng của các
hệ phương trình
L[Y ] = U (x); L[Y ] = V (x).

= f1 (x, y1 , y2 , . . . , yn )


dx




 dy2 = f2 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx



........................






 dyn = fn (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx

Footer Page 25 of 161.

18

(2.1)