Header Page 1 of 161.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ NGÂN

SỰ ỔN ĐỊNH NGHIỆM TUẦN HOÀN
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội, 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ NGÂN

SỰ ỔN ĐỊNH NGHIỆM TUẦN HOÀN
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Chuyên ngành: Toán giải tích

Khóa luận tốt nghiệp



LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em đạt được trong quá trình
học tập và nghiên cứu, dưới sự chỉ dẫn của TS. Trần Văn Bằng và
sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy chúng em.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản khóa luận này em đã tham
khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Sự ổn định nghiệm tuần
hoàn của hệ phương trình vi phân cấp một" là kết quả của việc
nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với
kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, ngày 2 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Lê Thị Ngân

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị


6

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân cấp một . .

7

1.3.1

Khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov . . . .

7

1.3.2

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến
tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.3

Tính ổn định của hệ tựa tuyến tính . . . . . . .

10

1.3.4

Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp
tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Tài liệu tham khảo

39

ii

Footer Page 6 of 161.

26


Header Page 7 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

Lời mở đầu
Phương trình vi phân là một chuyên ngành thiết yếu của toán học
và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học-kĩ thuật và công
nghệ, nó được coi như cầu nối giữa lí thuyết và ứng dụng. Do vậy,
việc nghiên cứu phương trình vi phân có ý nghĩa vô cùng quan trọng.
Trong đó, nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân
là một trong những bài toán cơ bản của lí thuyết định tính các phương
trình vi phân.
Vì vậy dưới sự hướng dẫn của T.S Trần Văn Bằng, em xin chọn
đề tài “Sự ổn định nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình
vi phân cấp một”. Nội dung khóa luận được trình bày trong hai
chương:
Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả về
nghiệm cũng như một số kết quả về tính ổn định nghiệm của hệ



dt




 dx2 = f2 (t, x1 , x2 , . . . , xn )
dt



...





dx

 n = fn (t, x1 , x2 , . . . , xn ),
dt

(1.1)

trong đó, t ∈ R là biến số độc lập, x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), . . . , xn =
xn (t) là các hàm ẩn cần tìm. Các hàm fi với i = 1, . . . , n xác định
trong miền I ⊂ Rn+1 .
Hệ n hàm khả vi x1 = ϕ1 (t), x2 = ϕ2 (t), . . . , xn = ϕn (t) xác định
trên khoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ (1.1) nếu với mọi t ∈ (a, b)

trong không gian pha Rn . Khi đó hệ (1.1) còn được gọi là hệ phương
trình chuyển động của một điểm trong không gian pha Rn mà
dx1 dx2
dxn
,
,...,
dt dt
dt
là vectơ vận tốc của điểm đó. Tại mỗi điểm M trong không gian pha
vectơ vận tốc thay đổi theo thời gian nên ta nói hệ (1.1) xác định một

Footer Page 9 of 161.

3


Header Page 10 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

trường vận tốc không dừng. Nếu kí hiệu x là vectơ (x1 , x2 , . . . , xn ), f
là vectơ (f1 , f2 , . . . , fn ) thì hệ (1.1) viết được dưới dạng vectơ sau
x˙ = f (t, x) .
Ta xét trường hợp đặc biệt của hệ (1.1) khi các vế phải không phụ
thuộc vào t, tức là


dx1


thời gian. Ta nói rằng hệ (1.2) xác định một trường vận tốc dừng và
ta gọi là hệ ôtônôm hay hệ dừng.

Footer Page 10 of 161.

4


Header Page 11 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Lê Thị Ngân

Một số kết quả về nghiệm của hệ phương
trình vi phân cấp một

1.2.1

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét bài toán giá trị ban đầu


x˙ = f (t, x)

(1.3)



Header Page 12 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

t, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho
¯ (xo , b) ,
f (t, x)−f (t, y) ≤ L x−y , ∀ (t, x) , (t, y) ∈ [to −a, to +a]×B
và giả sử
¯ (xo , b) .
f (t, x) ≤ M, ∀(t, x) ∈ [to − a, to + a] × B
Khi đó bài toán giá trị ban đầu (1.3) có duy nhất nghiệm x(t) xác định
trên đoạn [to − α, to + α], với α = min a, Mb .
1.2.2

Sự thác triển nghiệm

Giả sử f : D −→ Rn là hàm liên tục trên tập mở D ⊂ R × Rn và
x = x(t) là một nghiệm của phương trình
x˙ = f (t, x)

(1.4)

trên khoảng J = (α, β) ⊂ R. Khoảng mở J được gọi là khoảng tồn
tại cực đại về bên phải của x(t) nếu không tồn tại một khoảng mở
J = (α , β ) với α ≤ α và β < β sao cho x(t) có thể thác triển trên
J , tức là tồn tại hàm xˆ(t) xác định trên J sao cho xˆ(t) = x(t) với
mọi t ∈ J và xˆ(t) là một nghiệm của (1.4) trên J . Tương tự ta định
nghĩa khoảng tồn tại cực đại về bên trái. Khoảng tồn tại được gọi là
cực đại nếu nó là cực đại đồng thời về cả 2 phía.

x˙ = f (t, x) , t ≥ 0,

(1.5)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ, f : R+ × Rn là hàm
vectơ cho trước. Giả thiết f (t, x) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao
cho nghiệm của hệ (1.5) với điều kiện ban đầu x(to ) = xo , to ≥ 0, luôn
tồn tại.
Định nghĩa 1.2. Giả sử x(t) là một nghiệm của hệ (1.5) xác định
trên khoảng [to , +∞) .
a) Nghiệm x(t) gọi là ổn định trên khoảng [to , +∞) nếu với mỗi
số ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) của (1.5) trên khoảng
đó với y(to ) − x(to ) < δ ta đều có
y(t) − x(t) < ε, ∀t ≥ to .

Footer Page 13 of 161.

7


Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

b) Nghiệm x(t) gọi là ổn định tiệm cận trên khoảng [to , +∞) nếu
nó ổn định và tồn tại β > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) với y(to ) −
x(to ) < β sẽ thỏa mãn
lim


8


Header Page 15 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

b) Nghiệm 0 của (1.6) ổn định khi và chỉ khi ma trận cơ bản X(t)
bất kì đều bị chặn trên khoảng [to , +∞).
c) Nghiệm 0 của (1.6) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi đối với ma
trận cơ bản X(t) bất kì thì
lim X(t) = 0.

t→+∞

Chú ý: Đối với hệ vi phân tuyến tính, như ta đã thấy, sự ổn định
của nghiệm bất kì tương đương với sự ổn định của nghiệm 0. Do đó
đối với hệ tuyến tính, đôi khi ta nói hệ ổn định (tương ứng ổn định
tiệm cận) thay vì nói đến ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận) của
một nghiệm cụ thể.
Đối với hệ vi phân tuyến tính có hệ số hằng
x˙ = Ax,

(1.7)

Định nghĩa 1.3. Giả sử A = (aij ) là một ma trận vuông cấp n, trong
∞

đó aij ∈ C. Ta gọi ma trận

Định lý 1.4. Giả sử
Re(A) := max{Reλ : λ là giá trị riêng của A}. Khi đó
a) Nếu Reσ(A) < 0 thì hệ (1.7) là ổn định tiệm cận;
b) Nếu Reσ(A) > 0 thì hệ (1.7) là không ổn định;

Footer Page 15 of 161.

9


Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

c) Nếu Reσ(A) = 0 thì hệ (1.7) không ổn định tiệm cận và nó là
ổn định khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng có phần thực bằng 0 là
nửa đơn, tức là các ô Jordan tương ứng có cỡ 1 × 1.
1.3.3

Tính ổn định của hệ tựa tuyến tính

Hệ tựa tuyến tính là hệ phương trình vi phân với phần chính là
tuyến tính
x˙ = Ax + g(t, x),

(1.8)

nghĩa là g(t, x) là "nhỏ" đối với x khi x "nhỏ". Khi đó tính ổn định
của nghiệm 0 của hệ (1.8) được suy ra từ tính ổn định của phần tuyến

Lê Thị Ngân

Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp tuyến
tính hóa

Bây giờ xét phương trình Ôtônôm
x˙ = f (x).

(1.9)

Giả sử f ∈ C 1 (D), ở đó D ⊂ Rn là một tập mở chứa gốc tọa độ 0 và
0 là một điểm tới hạn của f , tức là f (0) = 0. Phương trình x˙ = Ax,
ở đó A là ma trận Jacobi Df (0), gọi là phương trình tuyến tính hóa
tại điểm 0, và quá trình chuyển phương trình phi tuyến (1.9) thành
phương trình x˙ = Df (0)x gọi là quá trình tuyến tính hóa. Nếu phương
trình (1.9) được viết lại dưới dạng
x˙ = Ax + g(x),

(1.10)

thì
g(x) = f (x) − Df (0)x,
và do đó
lim

x →0

g(x)
=0
x

dương). Trong trường hợp còn lại, điểm cân bằng 0 gọi là điểm yên
ngựa.
Ma trận mũ etA gọi là hyperbolic nếu ma trận vuông A không có
các giá trị riêng có phần thực bằng 0.
Với những điểm tới hạn hyperbolic chúng ta có các định lí quan
trọng dưới đây.
Định lý 1.8 (Định lí Harman-Grobman). Giả sử D là một lân cận của
gốc tọa độ và f ∈ C 1 (D). Nếu 0 là điểm tới hạn hyperbolic của f thì
tồn tại các lân cận U, V của gốc tọa độ và một đồng phôi h : U → V
biến các quỹ đạo của phương trình tuyến tính hóa x˙ = Df (0)x (khi
chúng thuộc U) thành các quỹ đạo của phương trình phi tuyến (1.10),

Footer Page 18 of 161.

12


Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

bảo toàn hướng.
Định lý 1.9 (Định lí đa tạp ổn định). Giả sử f ∈ C r (D) và giả sử
A = Df (0) có k giá trị riêng với phần thực âm λ1 , . . . , λk , và n − k giá
trị riêng với phần thực dương λk+1 , . . . , λn . Khi đó tồn tại các C r − đa
tạp W s = W s (0) và W u = W u (0) có số chiều lần lượt là k và n − k,
với W s ∩ W u = 0, xác định trong một lân cận của điểm x = 0, lần
lượt tiếp xúc với các không gian con E s = E s (0) = span{e1 , . . . , ek }
và E u = E u (0) = span{ek+1 , . . . , en }, ở đó {ei }ni=1 là cơ sở gồm các

tuần hoàn
Giả sử D là một tập mở trong Rn và f : R × D −→ Rn là hàm

liên tục theo cả hai biến và Lipschitz đối với biến thứ hai, và giả sử
u(., τ, ξ) là nghiệm tồn tại cực đại của bài toán Cauchy


x˙ = f (t, x)

x (τ ) = ξ.
Bây giờ giả sử T ∈ R. Ta định nghĩa toán tử dịch chuyển

uT : dom(uT ) ⊂ D −→ D

Footer Page 20 of 161.

14


Header Page 21 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

bởi
dom(uT ) = {ξ ∈ D|t− (0, ξ) < T < t+ (0, ξ)}
uT (ξ) = u(T, 0, ξ),
ở đó (t− (0, ξ), t+ (0, ξ)) là khoảng tồn tại cực đại của uT .
Ta biết rằng
D(f ) = {(t, τ, ξ) ∈ R × R × D : t− (τ, ξ) < T < t+ (τ, ξ)}

từ tính T - tuần hoàn của u(., τ, ξ) suy ra
uT (ξo ) = u(T, 0, ξo ) = u(T, τ, ξ) = u(0, τ, ξ) = ξo .
Điều kiện đủ.
Nếu ξ ∈ D là một điểm bất động của uT thì đặt
x(t) = u(t + T, 0, ξ) với t ∈ J(0, ξ) − T. Khi đó ta có x(0) =
u(T, 0, ξ) = uT (ξ) = ξ và
x(t)
˙
= u(t + T, 0, ξ) = f (t + T, x(t)) = f (t, x(t)). Do đó x là nghiệm
của bài toán giá trị ban đầu
x˙ = f (t, x), x(0) = ξ, và do tính duy nhất nghiệm ta suy ra
x(t) = u(t + T, 0, ξ) = u(t, 0, ξ), ∀t ∈ J(0, ξ) − T.
Bằng quy nạp ta nhận được u(., 0, ξ) xác định trên cả R và là một
nghiệm T - tuần hoàn của x˙ = f (t, x).

Chú ý. a) Từ chứng minh trên ta suy ra ξ ∈ D là một điểm bất
động của uT khi và chỉ khi u(., 0, ξ) là một nghiệm T - tuần hoàn của
x˙ = f (t, x).

Footer Page 22 of 161.

16


Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

b) Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính

ở đó
T

U (T, τ )a(τ )dτ

η=
0

Footer Page 23 of 161.

17

(2.2)


Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

và U (T ) = U (T, 0). Do đó ta chỉ cần chỉ ra rằng khi (2.2) không giải
được thì (2.1) chỉ có nghiệm không bị chặn. Từ kết quả của Đại số
tuyến tính ta biết rằng (2.2) không có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại
ζ ∈ Rn sao cho
ζ = [U (T )] ζ

và (ζ, η) = 0,

(2.3)



18


Header Page 25 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

và do đó bởi quy nạp
k
k+1

xk (T ) = [U (T )]

[U (T )]j η.

ξ+
j=0

Bây giờ từ (2.3) ta nhận được
k
k+1

(ζ, xk (T )) = ([U (T ) ]

([U (T ) ]j ζ, η) = (ζ, ξ)+(k +1)(ζ, η).

ζ, ξ)+
j=0


e(t−τ )A Pu g(τ )dτ,

Ps g(τ )dτ −

−∞

t

ở đó
Ps : Rn → E s và Pu : Rn → E u

Footer Page 25 of 161.

19

(2.6)