TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ NGÂN

SỰ ỔN ĐỊNH NGHIỆM TUẦN HOÀN
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội, 2016


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ NGÂN

SỰ ỔN ĐỊNH NGHIỆM TUẦN HOÀN
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Chuyên ngành: Toán giải tích

Khóa luận tốt nghiệp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Trần Văn Bằng

Hà Nội, 2016



Sinh viên
Lê Thị Ngân


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

2

1.1

Hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . .

1.2

Một số kết quả về nghiệm của hệ phương trình vi phân

1.3

2

cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5



1.3.3

Tính ổn định của hệ tựa tuyến tính . . . . . . .

10

1.3.4

Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp
tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Tính ổn định nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình
vi phân cấp một

14

2.1

Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số tuần hoàn 14

2.2

Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . .
i

24


đề tài “Sự ổn định nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình
vi phân cấp một”. Nội dung khóa luận được trình bày trong hai
chương:
Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả về
nghiệm cũng như một số kết quả về tính ổn định nghiệm của hệ
phương trình vi phân cấp một.
Chương 2 trình bày về tính ổn định nghiệm tuần hoàn của hệ
phương trình vi phân cấp một.
Em xin chân thành cảm ơn T.S Trần Văn Bằng đã tận tình hướng
dẫn em đọc tài liệu và tập dượt nghiên cứu.
Do lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản
thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý
thầy cô và bạn đọc để đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn.
1


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Hệ phương trình vi phân cấp một

Định nghĩa 1.1. Hệ n phương trình vi phân cấp một là hệ


dx1


= f1 (t, x1 , x2 , . . . , xn )

điểm (t, ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)) ∈ I và khi thay chúng vào hệ (1.1) ta
được hệ đồng nhất thức trên (a, b).
Tập hợp điểm Γ = {(t, ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t))} với t ∈ (a, b) được
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

gọi là đường cong tích phân ứng với nghiệm ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t).
Hiển nhiên Γ ⊂ Rn+1 .
Bây giờ ta coi (x1 , x2 , . . . , xn ) như tọa độ của mỗi điểm trong không
gian n chiều Rn mà ta gọi là không gian pha. Khi đó tập hợp điểm
γ = {(ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)) , t ∈ (a, b)}
được gọi là đường cong pha hay quỹ đạo pha. Hiển nhiên đường cong
pha chứa trong không gian pha. Không gian Rn+1 được gọi là không
gian pha suy rộng. Đường cong tích phân chứa trong không gian pha
suy rộng.
Bài toán Côsi: Cho điểm (to , xo1 , xo2 , . . . , xon ) ∈ I.
Tìm nghiệm x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) của hệ (1.1) thỏa mãn điều
kiện ban đầu:
x1 (to ) = xo1 , x2 (to ) = xo2 , . . . , xn (to ) = xon .
Sau này ta sẽ xét với những điều kiện nào thì bài toán Côsi có
nghiệm và có nghiệm duy nhất.
Nếu ta coi t là biến độc lập, x1 , x2 , . . . , xn là tọa độ của một điểm
trong không gian pha Rn . Khi đó hệ (1.1) còn được gọi là hệ phương
trình chuyển động của một điểm trong không gian pha Rn mà
dx1 dx2
dxn


 dx2 = f2 (x1 , x2 , . . . , xn )
dt



...





dx

 n = fn (x1 , x2 , . . . , xn ) .
dt
hay được viết dưới dạng vectơ
x˙ = f (t, x) .

(1.2)

Đối với hệ (1.2), vectơ vận tốc tại mỗi điểm M không thay đổi theo
thời gian. Ta nói rằng hệ (1.2) xác định một trường vận tốc dừng và
ta gọi là hệ ôtônôm hay hệ dừng.

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


x(t) = xo +

f (s, x(s)) ds.
to

Trong mục này, ta sẽ đề cập tới một số kết quả cơ bản về sự tồn tại
nghiệm của bài toán (1.3).
¯ (xo , b) là hình cầu đóng tâm xo bán kính b
Dưới đây ta kí hiệu B
trong Rn
¯ (xo , b) −→
Định lý 1.1 (Picard-Lindel¨of). Giả sử f : [to −a, to +a]× B
Rn là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với x đều theo

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

t, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho
¯ (xo , b) ,
f (t, x)−f (t, y) ≤ L x−y , ∀ (t, x) , (t, y) ∈ [to −a, to +a]×B
và giả sử
¯ (xo , b) .
f (t, x) ≤ M, ∀(t, x) ∈ [to − a, to + a] × B
Khi đó bài toán giá trị ban đầu (1.3) có duy nhất nghiệm x(t) xác định
trên đoạn [to − α, to + α], với α = min a, Mb .
1.2.2

khi t → w+ ”.

1.3

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân cấp
một

1.3.1

Khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov

Xét hệ phương trình vi phân cấp một
x˙ = f (t, x) , t ≥ 0,

(1.5)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ, f : R+ × Rn là hàm
vectơ cho trước. Giả thiết f (t, x) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao
cho nghiệm của hệ (1.5) với điều kiện ban đầu x(to ) = xo , to ≥ 0, luôn
tồn tại.
Định nghĩa 1.2. Giả sử x(t) là một nghiệm của hệ (1.5) xác định
trên khoảng [to , +∞) .
a) Nghiệm x(t) gọi là ổn định trên khoảng [to , +∞) nếu với mỗi
số ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) của (1.5) trên khoảng
đó với y(to ) − x(to ) < δ ta đều có
y(t) − x(t) < ε, ∀t ≥ to .

7



điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình tuyến tính, mọi
nghiệm của hệ này luôn thác triển được một cách duy nhất trên toàn
khoảng [to , +∞).
Định lý 1.3. Các khẳng định sau đây là đúng:
a) Nghiệm bất kì của (1.6) ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận)
khi và chỉ khi nghiệm 0 ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận).
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

b) Nghiệm 0 của (1.6) ổn định khi và chỉ khi ma trận cơ bản X(t)
bất kì đều bị chặn trên khoảng [to , +∞).
c) Nghiệm 0 của (1.6) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi đối với ma
trận cơ bản X(t) bất kì thì
lim X(t) = 0.

t→+∞

Chú ý: Đối với hệ vi phân tuyến tính, như ta đã thấy, sự ổn định
của nghiệm bất kì tương đương với sự ổn định của nghiệm 0. Do đó
đối với hệ tuyến tính, đôi khi ta nói hệ ổn định (tương ứng ổn định
tiệm cận) thay vì nói đến ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận) của
một nghiệm cụ thể.
Đối với hệ vi phân tuyến tính có hệ số hằng
x˙ = Ax,

(1.7)

được gọi là ma trận

cơ bản của hệ (1.6).
Ta có đặc trưng đại số sau đây về tính ổn định, thông qua tập phổ
σ(A) gồm tất cả các giá trị riêng của ma trận A.
Định lý 1.4. Giả sử
Re(A) := max{Reλ : λ là giá trị riêng của A}. Khi đó
a) Nếu Reσ(A) < 0 thì hệ (1.7) là ổn định tiệm cận;
b) Nếu Reσ(A) > 0 thì hệ (1.7) là không ổn định;
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

c) Nếu Reσ(A) = 0 thì hệ (1.7) không ổn định tiệm cận và nó là
ổn định khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng có phần thực bằng 0 là
nửa đơn, tức là các ô Jordan tương ứng có cỡ 1 × 1.
1.3.3

Tính ổn định của hệ tựa tuyến tính

Hệ tựa tuyến tính là hệ phương trình vi phân với phần chính là
tuyến tính
x˙ = Ax + g(t, x),

(1.8)

nghĩa là g(t, x) là "nhỏ" đối với x khi x "nhỏ". Khi đó tính ổn định

Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp tuyến
tính hóa

Bây giờ xét phương trình Ôtônôm
x˙ = f (x).

(1.9)

Giả sử f ∈ C 1 (D), ở đó D ⊂ Rn là một tập mở chứa gốc tọa độ 0 và
0 là một điểm tới hạn của f , tức là f (0) = 0. Phương trình x˙ = Ax,
ở đó A là ma trận Jacobi Df (0), gọi là phương trình tuyến tính hóa
tại điểm 0, và quá trình chuyển phương trình phi tuyến (1.9) thành
phương trình x˙ = Df (0)x gọi là quá trình tuyến tính hóa. Nếu phương
trình (1.9) được viết lại dưới dạng
x˙ = Ax + g(x),

(1.10)

thì
g(x) = f (x) − Df (0)x,
và do đó
lim

x →0

g(x)
=0
x

bởi định nghĩa của tính khả vi. Do đó từ Định lí 1.5, Định lí 1.6 ta có

trọng dưới đây.
Định lý 1.8 (Định lí Harman-Grobman). Giả sử D là một lân cận của
gốc tọa độ và f ∈ C 1 (D). Nếu 0 là điểm tới hạn hyperbolic của f thì
tồn tại các lân cận U, V của gốc tọa độ và một đồng phôi h : U → V
biến các quỹ đạo của phương trình tuyến tính hóa x˙ = Df (0)x (khi
chúng thuộc U) thành các quỹ đạo của phương trình phi tuyến (1.10),
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

bảo toàn hướng.
Định lý 1.9 (Định lí đa tạp ổn định). Giả sử f ∈ C r (D) và giả sử
A = Df (0) có k giá trị riêng với phần thực âm λ1 , . . . , λk , và n − k giá
trị riêng với phần thực dương λk+1 , . . . , λn . Khi đó tồn tại các C r − đa
tạp W s = W s (0) và W u = W u (0) có số chiều lần lượt là k và n − k,
với W s ∩ W u = 0, xác định trong một lân cận của điểm x = 0, lần
lượt tiếp xúc với các không gian con E s = E s (0) = span{e1 , . . . , ek }
và E u = E u (0) = span{ek+1 , . . . , en }, ở đó {ei }ni=1 là cơ sở gồm các
vectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng {λi }ni=1 sao cho:
i, W s và W u là bất biến, tức là nếu p ∈ W s (tương ứng với p ∈ W u )
thì x(t, p) ∈ W s (tương ứng với x(t, p) ∈ W s ).
ii, p ∈ W s khi và chỉ khi lim x(t, p) = 0.
t→+∞

u

iii, p ∈ W khi và chỉ khi lim x(t, p) = 0.


14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

bởi
dom(uT ) = {ξ ∈ D|t− (0, ξ) < T < t+ (0, ξ)}
uT (ξ) = u(T, 0, ξ),
ở đó (t− (0, ξ), t+ (0, ξ)) là khoảng tồn tại cực đại của uT .
Ta biết rằng
D(f ) = {(t, τ, ξ) ∈ R × R × D : t− (τ, ξ) < T < t+ (τ, ξ)}
là mở trong R × R × D và do dom(uT ) là hình chiếu của
D(f ) ∩ (T × {0} × D)
trong D, dom(uT ) mở trong D và do đó uT liên tục Lipschitz từ
dom(uT ) vào D.
Định lí đơn giản nhưng quan trọng sau đây quy bài toán tồn tại
nghiệm T - tuần hoàn của hệ phương trình vi phân x˙ = f (t, x) về bài
toán tồn tại điểm bất động của toán tử dịch chuyển.
Định lý 2.1. Giả sử f (t, x) là hàm liên tục theo cả hai biến, Lipschitz
đối với biến thứ hai và T - tuần hoàn theo t, tức là
f (t + T, x) = f (t, x), ∀t ∈ R, x ∈ D.
Khi đó hệ phương trình vi phân x˙ = f (t, x) có nghiệm T tuần hoàn
khi và chỉ khi toán tử dịch chuyển u(t) có điểm bất động.
Chứng minh. Điều kiện cần.
15





Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

b) Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính
x˙ = A(t)x + a(t),
toán tử dịch chuyển uT cho bởi dom(uT ) = Rn và
T

uT (ξ) = U (t, 0)ξ +

U (T, τ )a(τ )dτ,

ξ ∈ Rn .

0

Ở đây U (t, s) là toán tử tiến hóa của hệ phương trình thuần nhất
tương ứng.
Dưới đây ta xét hệ phương trình tuyến tính T - tuần hoàn
x = A(t)x + a(t),

(2.1)

với A ∈ C(R, Rn×n ) và a ∈ C(R, Rn ) thỏa mãn
A(t + T ) = A(t), a(t + T ) = a(t),

∀t ∈ R, T > 0.

và (ζ, η) = 0,

(2.3)

ở đó [U (T )] là ma trận liên hợp của ma trận U (T ). Bây giờ nếu x là
một nghiệm bất kì của (2.1) thì
t

U (T, τ )a(τ )dτ,

x(t) = U (t, 0)ξ +

ξ ∈ Rn , t ∈ R,

0

với ξ ∈ Rn nào đó. Do đó suy ra
x(T ) = U (T )ξ + η

(2.4)

và
x(t
˙ + kT ) = A(t + kT )x(t + kT ) + a(t + kT ) = A(t)x(t + kT ) + a(t),
với mọi k ∈ N và t ∈ R. Từ đây do tính duy nhất nghiệm, xk (t) =
x(t + kT ) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu
y˙ = A(t)y + a(t),

y(0) = x(kT ).


j=0

Bởi vì (ζ, η) = 0 nên (ζ, xk (T ))

=

(ζ, xk+1 (T ))

−→ +∞ khi

k −→ ∞. Do đó x không bị chặn.

Định lí dưới đây đưa ra điều kiện cần và đủ để (2.1) có duy nhất
một nghiệm bị chặn và do đó một nghiệm T - tuần hoàn duy nhất khi
A là ma trận hằng.
Định lý 2.3. (Perron). Giả sử A là ma trận hằng và g : R −→ R là
hàm liên tục bị chặn. Khi đó phương trình
x˙ = Ax + g(t)

(2.5)

có duy nhất một nghiệm liên tục bị chặn u : R −→ R khi và chỉ khi
etA là hyberbolic. Khi đó nghiệm u cho bởi
t

+∞
(t−τ )A

u(t) =