BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN BÁ TRUNG
SỰ KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN
VÀ NEWTON-KANTOROVICH GIẢI HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. Khuất Văn Ninh
HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS Khuất Văn
Ninh, người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả
hoàn thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc
và sự chỉ bảo ân cần của thầy Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác
giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm
cao khi hoàn thành luận văn của mình.
Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô
giáo dậy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, phòng
Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức,
đóng góp ý kiến giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu
và hoàn thành luận văn này. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn
Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu, Tổ Tự nhiên 3 Trường THPT Xuân
Giang đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả an tâm học tập và hoàn
thành tốt luận văn.Và qua đây cũng cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn
bè đã động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Bá Trung

2.2. Phương pháp Newton-Kantorovich giải bài toán Cauchy đối với
hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . 25
1
2
2.3. Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp Newton-
Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . .
29
2.3.1. Áp dụng phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến 29
2.3.2. Áp dụng phương pháp sai phân (phương pháp Euler) giải hệ phương trình vi
phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.3. Phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một 32
2.3.4. Sự kết hợp phương pháp sai phân và phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ
phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Chương 3. ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CẤP MỘT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1. Giải hệ phương trình vi phân cấp một bằng phương pháp sai
phân (phương pháp Euler) . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Giải hệ phương trình vi phân cấp một bằng phương pháp Newton-
Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.3. Giải hệ phương trình vi phân cấp một bằng sự kết hợp hai phương
pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán giải hệ phương trình vi phân được nhiều nhà toán học quan
tâm, đã có nhiều phương pháp giải được đưa ra, chẳng hạn, các phương
pháp giải tích như phương pháp giải xấp xỉ liên tiếp; các phương pháp
số như phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta,

1.1.1. Một số khái niệm
a. Phương trình vi phân
Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa các biến độc lập, hàm
phải tìm và đạo hàm hay vi phân của hàm phải tìm. Phương trình vi
phân cấp n là một hệ thức có dạng:
F

x, y, y

, y

, , y
(n)

= 0. (1.1)
Trong đó x là biến độc lập, y là hàm số cần tìm, y

, y

, , y
(n)
là các đạo
hàm của hàm số y = y(x). Ta gọi cấp của phương trình vi phân là cấp
cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình. Nghiệm của phương
trình vi phân là một hàm số y = ϕ(x), khi thay vào phương trình ta
được một đồng nhất thức.
b. Hệ phương trình vi phân
Hệ phương trình vi phân là hệ có dạng
φ


n

(1.2)
trong đó x là biến độc lập y
1
, y
2
, . . . , y
n
là các hàm số phải tìm.
5
6
Giải hệ (1.2) là tìm các hàm số:
y
1
= y
1
(x) , , y
n
= y
n
(x)
sao cho thỏa mãn (1.2).
1.1.2. Một số phương trình, hệ phương trình vi phân đã biết
cách giải
a. Phương trình tách biến
dy
dx
= f
1


∀x = 0. (1.4)
Đặt u =
x
y
ta có
x
du
dx
= f(u) − u.
Giả sử f (u) = u ta có (1.4) tương đương với

du
f (u) − u
=

dx
x
+ c,
với c là hằng số tùy ý.
7
Giả sử f (u) = u ta có (1.4) (c là hằng số tùy ý).
c. Phương trình tuyến tính cấp một
dy
dx
+ p(x)y = q(x) (1.5)
q(x) = 0 thì (1.5) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất
cấp một.
q(x) = 0 thì (1.5) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp
một. Công thức nghiệm tổng quát

f. Phương trình Clero
Dạng tổng quát là
y = x
dy
dx
+ f

dy
dx

. (1.8)
g. Phương trình Lagrange
Dạng tổng quát là
y = xg

dy
dx

+ f

dy
dx

. (1.9)
1.1.3. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân
a. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp một
• Bài toán Cauchy
Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình y

= f(x, y) sao cho khi


y
xác định và liên tục trên miền D
của không gian R
2
. Giả sử (x
0
, y
0
) ∈ D khi đó trong một lân cận nào đó
của điểm x
0
tồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x) của bài toán Cauchy.
b. Bài toán Cauchy với phương trình vi phân cấp n
9
Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng
F (x, y, y

, y

, , y
(n)
) = 0 (1.10)
trong đó x là biến độc lập, y là biến phải tìm, y

, y

, , y
(n)
là các đạo

, , y
(n−1)
(x
0
) = y
(n−1)
0
(1.12)
trong đó x
0
, y
0
, y

0
, , y
(n−1)
0
là các giá trị cho trước tùy ý gọi là các giá
trị ban đầu.
• Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Cho phương trình vi phân cấp n (1.11) và các giá trị ban đầu
x
0
, y
0
, y

0
, , y

∈ D (là một điểm thuộc D) khi đó
10
trong một lân cận nào đó của điểm x
0
: |x − x
0
| < δ tồn tại duy nhất
một nghiệm y = y(x) của phương trình (1.12) và thỏa mãn các điều kiện
ban đầu (1.12).
c. Bài toán Cauchy với hệ phương trình vi phân
Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm của hệ phương trình
x

(t) = f(x(t), t), t ∈ [0; 1] (1.13)
thỏa mãn điều kiện ban đầu:
x(0) = x
0
, (1.14)
trong đó f(x, t), x(t) là các hàm vectơ n chiều, hàm f xác định trên hình
hộp D := [0; 1] × R
n
.
Ở đây ta hiểu nghiệm theo nghĩa cổ điển và địa phương, tức là nghiệm
của (1.13)-(1.14) là một hàm khả vi x(t) trên, [0; α] α ≤ 1 sao cho
x

(t) ≡ f(x(t), t) trên [0; α] và x(0) = x
0
.
Cùng với bài toán (1.13) ta cũng xét trường hợp hàm f(x, t) là tuyến


= y
3
, , y
n
= y
(n−1)
khi đó ta có hệ phương trình vi phân cấp một sau



















dy
1
dx

(x)
là nghiệm của phương trình (1.17). Ngược lại, nếu y
1
(x), y
2
(x), , y
n
(x)
là nghiệm của (1.17) thì hàm y(x) = y
1
(x) cho ta nghiệm của phương
trình (1.16). Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.16) thỏa mãn
điều kiện ban đầu
y(x
0
) = y
0
, y

(x
0
) = y

0
, , y
(n−1)
(x
0
) = y
(n−1)

.
1.2. Sai phân
1.2.1. Định nghĩa sai phân
Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên tập X, h là hằng số lớn hơn 0.
Biểu thức
∆f(x) = f(x + h) −f(x)
được gọi là sai phân cấp 1 của f(x) tại điểm x. Biểu thức:
∆
2
f = ∆ [∆f(x)] = [f(x + 2h) −f(x + h)] − [f(x + h) −f(x)]
= f(x + 2h) − 2f(x + h) + f(x)
được gọi là sai phân cấp 2 của f(x) tại x. Tương tự, ta có
∆
k
f(x) = [∆
k−1
f(x)]
được gọi là sai phân cấp k của f(x) tại x.
1.2.2. Tính chất sai phân
• [∆
k
[f(x) ± g(x)] = ∆
k
f(x) ± ∆
k
g(x);
• ∆
k
[β.f(x)] = β∆
k

C
i
n
∆
i
f[x + (n − i)h].
1.3. Đạo hàm Fréchet
Cho X, Y là hai không gian Banach và toán tử f : X → Y (không nhất
thiết tuyến tính).
Định nghĩa 1.1. Cho x là một điểm cố định trong gian Banach X. Toán
tử f : X → Y gọi là khả vi (theo nghĩa Fréchet) tại x nếu tồn tại một
toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y sao cho
f(x + h) − f(x) = A(h) + α(x, h), (∀h ∈ X)
và
lim
h→0
α(x, h)
h
= 0,
A(h) được gọi là vi phân cấp một của toán tử f tại x và kí hiệu là
df(x, h). Toán tử A gọi là đạo hàm cấp một (theo nghĩa Fréchet) của f
tại x. Kí hiệu là f

(x).
Vậy
df(x, h) = f

(x)(h).
14
Định lý 1.1. Một toán tử được định nghĩa trên một tập con mở của

khi  → 0 thì k → 0 nên vế phải dần tới θ do đó
A(k) = B(k), ∀k ∈ X
15
hay
A ≡ B.
Định lý 1.3. Cho X, Y, Z là những không gian Banach thực. Nếu g :
X → Y là khả vi Fréchet tại x ∈ X và f : Y → Z là khả vi Fréchet tại
y = g(x) ∈ Y thì Φ = f ◦ g cũng khả vi Fréchet tại x và
Φ

(x) = f

(g(x))g

(x).
Chứng minh. Với ∆x, h ∈ X, ta có
Φ(x + h) −Φ

(x) = f(g(x + h)) −f(g(x)) = f(g(x + h) − g(x)) −f(g(x))
= f(d + y) −f(y),
trong đó d = g(x + h) − g(x). Do đó,
Φ(x + h) −Φ

(x) −f

(y)d = (||d||)
trong biểu diễn của d −g

(x)h = 0(h). Suy ra,
Φ(x + h) −Φ(x) −f

) ∈ R
n
, f(x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, và f(x) =
(f
1
(x), f
2
(x), , f
n
(x)) ∈ R
n
, ||f|| = q < 1.
Giải phương trình
f(x) = 0 (1.18)
trong R
n
, giả sử f ∈ C
2
(R
n
) và ξ là nghiệm của phương trình f(x) = 0
ta có

thay thế phương trình đã cho bởi phương trình xấp xỉ
− f(x
0
) = f

(x
0
)(x −x
0
), (1.19)
17
trong đó
f

(x
0
) =
D(f
1
, f
2
, f
n
)
D(x
1
, x
2
, , x
n

(x
0
)
∂x
n
∂f
2
(x
0
)
∂x
1
∂f
2
(x
0
)
∂x
2

∂f
2
(x
0
)
∂x
n

∂f
n


.
Giả sử nghiệm của (1.19) là x
1
ta có
f

(x
0
)(x −x
0
) = −f(x
0
)
⇔x
1
− x
0
= −[f

(x
0
)]
−1
f(x
0
) (1.20)
⇔x
1
= x

1
)(x
2
− x
1
) = −f(x
1
)
⇔x
2
= x
1
− [f

(x
1
)
−1
f(x
1
). (1.23)
Tương tự như vậy, ta được dãy
x
n+1
= x
n
− [f

(x
n



f
1
(x
m−1
)
f
2
(x
m−1
)

f
n
(x
m
)









,
f


1
(x
m−1
)
∂x
n
∂f
2
(x
m−1
)
∂x
1
∂f
2
(x
m−1
)
∂x
2

∂f
2
(x
m−1
)
∂x
n

∂f



.
Ta có









x
1
(m)
x
2
(m)

x
n
(m)









−











∂f
1
(x
m−1
)
∂x
1
∂f
1
(x
m−1
)
∂x
2

∂f
1

(x
m−1
)
∂x
1
∂f
n
(x
m−1
)
∂x
2

∂f
n
(x
m−1
)
∂x
n

















.
Ta có
x
m
− ξ ≤ c.q
2
m
; 0 < q < 1,
19
x
0
là điểm nằm trong lân cận đủ nhỏ của ξ.
1.4.2. Phương pháp Newton-Kantorovich
Xét phương trình toán tử dạng
P (x) = 0 (1.25)
trong đó P là toán tử phi tuyến, khả vi xác định trong hình cầu S. Các
xấp xỉ liên tiếp được xây dựng như sau.
Lấy x
0
bất kỳ thuộc S. Giả sử toán tử P có đạo hàm P

(x) liên tục
trong S. Khi đó phương trình (1.25) tương đương với phương trình
P (x

0
)(x
0
− x
1
) = P (x
0
).
Những xấp xỉ tiếp theo được xác định tương tự nhờ các phương trình
tuyến tính sau
P

(x
n
)(x
n
− x) = p(x
n
), n = 0, 1, 2,
20
Giả sử x
n+1
là nghiệm của phương trình đó. Và giả sử tồn tại [P

(x
n
)]
−1
thì
x

n+1
= y
n
− [P

(y
0
)]
−1
P (y
n
), n = 0, 1, 2, , y
0
≡ x
0
. (1.27)
Phương pháp xây dựng dãy như trên gọi là phương pháp Newton-
Kantorovich cải biên. Sau đây chúng ta nêu một số điều kiện đủ để
dãy (1.26) hoặc (1.27) hội tụ.
Định lý 1.4. Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
1. Toán tử P được xác định trong S(x
0
, r) và có đạo hàm cấp hai P

liên tục trong S(x
0
, r);
2. Hàm số ϕ(u), (u
0
≤ u ≤ u

0
ϕ(u
0
);
6. τ
0
P

(x) ≤ c
0
ϕ

(u), x − x
0
 ≤ u − u
0
≤ r;
21
7. Phương trình
ϕ(u) = 0 (1.28)
có ít nhất một nghiệm trong đoạn [u
0
; u

].
Khi đó dãy xấp xỉ theo phương pháp Newton-Kantorovich cải biên (1.27)
hội tụ tới nghiệm của phương trình (1.25). Tốc độ hội tụ được xác định
bởi công thức
y
n

] thì phương trình (1.25) có nghiệm duy
nhất.
Định lý 1.6. Giả sử các điều kiện của Định lý 1.4 được thỏa mãn. Khi
đó các xấp xỉ của phương pháp Newton-Kantorovich (1.25) hội tụ đến
nghiệm của phương trình (1.25). Tốc độ hội tụ được xác định bởi công
thức
x
n
− x
∗
 ≤ u − u
n
trong đó u là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (1.28) còn u
n
được xác
định bởi công thức
u
n
= u
n−1
+ c
n−1
ϕ(u
n−1
), u
0
= u
0
(1.31)
22


(x) ≤ k, x ∈ S.
Khi đó nếu
h = kµ ≤
1
2
, r ≥ r
0
=
1 −
√
1 −2h
h
thì phương trình (1.25) có nghiệm và nghiệm đó là giới hạn của dãy các
xấp xỉ (1.26) và (1.27).
Nếu khi r < r
1
=
1 +
√
1 −2h
h
µ khi h <
1
2
; r ≤ r
1
thì nghiệm của
phương trình (1.25) là duy nhất. Tốc độ hội tụ được xác định bởi công
thức