BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN BÁ TRUNG
Sự KẾT HỢp PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ
NEWTON-KANTOROVICH GIẢI HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CAP MỘT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60
46 01 02
Người hướng dẫn khoa học PGS.
TS. Khuất Văn Ninh
HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS Khuất Văn Ninh, người
thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này.
Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Khuất Văn
Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách
nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình.
Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo dậy cao học
chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, phòng Sau đại học Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Đồng thời tác giả cũng chân
thành cảm ơn Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu, Tổ Tự nhiên 3 Trường THPT Xuân
Giang đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận
văn.Và qua đây cũng cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đã động viên giúp đỡ để
tác giả hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 1 năm 20lị Tác
giả
Nguyễn Bá Trung
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà

Phương pháp Newton-Raphson, phương pháp Newton-Kantorovich
PHƯƠNG PHÁP NEWTON-RAPHSON
PHƯƠNG PHÁP NEWTON-KANTORO'V IC
H
MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT
Phương pháp sai phân giải bài toán Cauchy đối với hệ phương
trình vi phân cấp một
Phương pháp Newton-Kantorovich giải bài toán Cauchy đối với
hệ phương trình vi phân cấp một
1.2.1.
1.2.2.
1.3.
1.4.
16
1.4.1.
1.4.2.
25
2.2.
23
2.1.
23
Chương 2.
1
6
1
9
Giải hệ phương trình vi phân cấp một bằng sự kết hợp hai phương
pháp
Kết luận

5. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan. Áp dụng một số phương pháp của Giải
tích cổ điển, Giải tích hàm, Giải tích số, Phương trình vi phân.
6. Đóng góp mới của luận văn
Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu. Áp dụng giải một số hệ phương trình vi phân cụ
thể bằng phương pháp sai phân, phương pháp Newton- Kantorovich và sự kết hợp
của hai phương pháp đó.
Chương 1 MỘT số KIẾN THỨC
CHUẨN BỊ
1.1. Phương trình, hệ phương trình vi phân
1.1.1. Một số khái niệm
a. Phương trình vi phân
Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa các biến độc lập, hàm phải tìm
và đạo hàm hay vi phân của hàm phải tìm. Phương trình vi phân cấp N

là một hệ
thức có dạng:
(1.1)
Trong đó X

là biến độc lập, Y

là hàm số cần tìm, Y '

:

Y",Y

là các đạo hàm của hàm
số Y

f
x
= h M ■ h (V)
dy
Jl ầ
=
I
ỉ l { x ) d x + c
'
Ỉ2

(Y

)
ở đây c là hằng số tùy ý.
Phương trình thuần nhất
= /(|Wo.
X
Đặt U — —

ta có
y
d u
- tí ^
=

ỉ{u)
- “•
Giả sử / (lí) Ỷ


b. Phương trình tuyến tính cấp một
Ỳ~ + p(
x
)y = Q(
x
)
Q (X

) 7^ 0 thì (1.5) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần
nhất cấp một.
Q (X

) = 0 thì (1.5) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp một.
Công thức nghiệm tổng quát
c. Phương trình Bernoulli
Dạng tổng quát là
^ + pí.rịy = q{x)ý'.
Nếu A

= 0 thì (L6) là phương trình tuyến tính.
• Nếu A =

1 thì (1.6) là phương trình tuyến tính thuần nhất.
Nếu a / 0 và a / 1 thì (1.6) chia cả hai vế cho Y

a
, đặt khi đó
phương trình (1.6) trở thành phương trình tuyến tính thuần nhất
mà đã biết cách giải.
d. Phương trình vi phân toàn phần

0
) = Y

0

trong đó X

0
, Y

0

là các giá trị tùy ý cho trước và ta gọi là các giá trị ban
đầu.
Điều kiện nghiệm phải tìm Y

= Y (X

) nhận giá trị Y = Y

0 khi đó gọi là điều
kiện ban đầu và ký hiệu là
y(
x
o) = Vo-
• Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Cho phương trình vi phân Y '

= F (X ,Y


Ữ

tồn
tại duy nhất một nghiệm Y

= Y (X )

của bài toán Cauchy,
b. Bài toán Cauchy với phương trình vi phân cấp n
Phương trình vi phân cấp N

là phương trình có dạng
(1.10)
trong đó X

là biến độc lập, Y

là biến phải tìm, Y ',Y ",

là các đạo
hàm của hàm phải tìm. Nếu từ phương trình (1.10) ta giải được đối với Y ^

ta
được phương trình
y
{n)
= /(z,2/,2/
/
,2/"
J

1 ]
(1.12)

trong đó X

Ữ

,Y

Ữ

,Y '

0

,

là các giá trị cho trước tùy ý gọi là các giá
trị ban đầu.
• Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Cho phương trình vi phân cấp N

(1.11) và các giá trị ban đầu
/ (ra-1)
X 0, y 0, y
0
, - - - , y
0
■
Giả sử hàm / có các đạo hàm riêng:


,VQ

71
€ D

(là một điểm thuộc D

) khi đó
trong một lân cận nào đó của điểm X

0

: \X

— x
0
| < Ổ

tồn tại duy nhất
một nghiệm Y

= Y (X )

của phương trình (1.12) và thỏa mãn các điều kiện
ban đầu (1.12)
c. Bài toán Cauchy với hệ phương trình vi phân
Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm của hệ phương trình
X '(T) = F (X (T )


ở đây ta hiểu nghiệm theo nghĩa cổ điển và địa phương, tức là nghiệm
của (1.13)-(1.14) là một hàm khả vi X (T

) trên, [0; A ]A <

1 sao cho X '{T )
= T )

trên [0; a] và x(0) = Xo-
Cùng với bài toán (1.13) ta cũng xét trường hợp hàm F (X ,T

) là tuyến tính, tức
là F(X

, T

) = B(T )X+G (T

) trong đó BỊ T )

là ma trận cấp NX N , G {T )

là hàm
vectơ N

chiều, tức là hệ tuyến tính
X '(T)

= B(T )X +



n
< dx
Nếu Y — Y (X

) là nghiệm của phương trình (1.16) thì
Vi = y(x), V2 = y'(x),y
n
= y
{n 1]
(x)
là nghiệm của phương trình (1.17). Ngược lại, nếu Y I (X ),Ĩ J

2(X ), ,Y

N

(X

)
là nghiệm của (1.17) thì hàm Y (X

) = YI (X

) cho ta nghiệm của phương
trình (1.16). Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.16) thỏa mãn
điều kiện ban đầu
y{x o) =

yo,y'{x

) = y'
ữ
, ,y
n
{x
0
) = y
{
Q~
l )
.
1.2. Sai phân
1.2.1. Định nghĩa Sãi phân
Giả sử Y

= F (X

) là hàm số xác định trên tập X

, H

là hằng số lớn hơn 0. Biểu
thức
A/(z) = F (X + H)~ F {X )

được gọi
là sai phân cấp 1 của F (X

) tại điểm X . Biểu thức:
Д

• [Д‘[/(х) ± p(x)] = A*f(x) ± à.
k
g(x)\
.

Д

4ß.f(x)] = ßA
l
f(x);
• A
n
\p
n
(x)] = const, A
m
\p
n
(x)] = 0 khi m > n,P(x) là đa thức cấp
9
n Cùa x ;
• f{x + nh) = Y,l-a C'
n
&'f{z);
• A"/(*) = E“=o (-l)‘C'
n
A‘f[x +(n- i)hị
1.3. Đạo hàm Eréchet
Cho X, Y


Định lý 1.1.

Một toán tử được định nghĩa trên một tập con mở của
một không gian Banach là khả vi Fréchet tại một điểm thì nó liên
tục tại điểm đó.
CH ỨN G M I N H .

Cho íỉ là một tập con mở của không gian Banach X.

Toán
tử / :—> Y.

Lấy X G và e > 0 thỏa mãn X + H &

ri ở đó \\H \\ < E

thì
||/(x + H )~ F(X )

II = II A(H) + A (X ,

*011 0
khi \\H\\ —>■

0. Điều này chứng tỏ / liên tục tại X .
Định lý 1.2. (

Tính duy nhất của đạo hàm Fréchet) Nếu một toán tử
có đạo hàm thì đạo hàm đó là duy nhất.
CH ỨN G MI N H .


— ttvt;

^ Ỡ
ll^ll ll^ll
khi \\H

II 0.
Nhưng (VA: G X),

(e > 0) ta có
A(k) -

B{k) A(ek) -

B{ek)
ek\\
khi e 0 thì E K

0 nên vế phải dần tới 9

do đó
A(k) = B(k),Vk G X
□
11*
11
hay
A = В.
□
Định lý 1.3. Cho X, Y, z là những không gian Banach thực. Nếu g :

Ax, h £ X, ta có
ф ( х + h ) ~ ф ’( х ) = f ( g ( x + h ) ) - f { g (x )) = f ( g( x + h) - g {x ) )
- f ( g( x )) = f(d + y) - f{y),
trong đó D = G(X

+ H )

— G (X).

Do đó,
\\ф(х+н)-ф'(х)-гш\\ = т\) trong biểu
diễn của IId — G '(X )H

II = 0(||/i||). Suy ra,
||ф(х

+ h) - ф{х) - f'(y)g'(x)h\\ =

0(||Л||)

- 0 (||
d||),

khi đó g liên tục tại X, vì vậy
ф'(а:)(/г) = f ( g ( x) g
/
( x ) (h ) .
□
1.4. Phương pháp Newton-Raphson, phương pháp
Newton-Kantorovich

n
, và

f(x) =
e Æ
n
, ll/ll = Q <

1.
Giải phương trình
f(x) = 0 (1.18)
trong M
n
, giả sử / G ơ
2
(M
n
) và £ là nghiệm của phương trình F (X

) = 0 ta có
F (X ) = 0<Ĩ F (X ) - F (X

0

) = -F(X

o) đạo hàm của hàm
hiểu theo nghĩa đạo hàm Fréchet.
Ta có
f(x) -

trong đó
DỰ ỈN)
D(X
U
X
2
,
,XN )
/ DFI(X
0
)
D FI {X

0

) DF I {X

0

)
ỠXI DX
2
DX
N
DF
2
(X o) DF
2
{X o)
DFĨ{X

1
f (
x
0
) = x
0
-
[/'(a;o)r7(zo
)-
Xét phương
trình
F (X ) -
F (X X )

=
f'{x o) =
(1.20)
(1.21)
(1.22)
(1.23)
(1.24)
-/(zi).
Thay
(1.21)
bởi
phương
trình
xấp xỉ
với nó
ta có

được dãy
*»+1 =

x
n -
ịl'(
x
n)ì
(1.24) được
gọi là thuật
toán
Newton-
Raphson.
Dạng
tường
minh của
phương
pháp
Newton-
Raphson.
Đặt

x
m
=
(x^
m
\x2
{r
n)

dx
n
Ta có
/
/
(m)
(m-

1)
X ị
X i
(m)
(m-1)
x

2
x

2
( m )
d x i dx
2
d f
2
( X m -1) <9/2 (z,n-1)
ỠXi
ôx
2
—1)
d ỉ n (*^m —

_i)
Ta có
X
Q
là điểm nằm trong lân cận đủ nhỏ của £.
1.4.2. Phương pháp Newton-Kantorovich
Xét phương trình toán tử dạng
P{X ) =

0 (1.25)
trong đó p là toán tử phi tuyến, khả vi xác định trong hình cầu s. Các xấp xỉ
liên tiếp được xây dựng như sau.
Lấy XO bất kỳ thuộc s. Giả sử toán tử P

có đạo hàm P \X )

liên tục
trong s. Khi đó phương trình (1.25) tương đương với phương trình
P(z„) - P(x) = P(*
0
).
Giá trị P (X

0
) — P (X

) được thay bởi giá trị gần đúng P'(X

0


X i ) = P{x
0
).
Những xấp xỉ tiếp theo được xác định tương tự nhờ các phương trình tuyến tính
sau
p'{x
n
)(x
n
-

x) =

p(x
n
),n = 0,1,2,
Giả sử X

n+
1 là nghiệm của phương trình đó. Và giả sử tồn tại [P'( X

N

)] 1
thì
X
N + 1

Vn+1 = Vn - [P'{yo)ì
1
P{y
n
),n = 0,1,2,

y
0
= x0.

(1.27)

Phương pháp xây dựng dãy như trên gọi là phương pháp Newton- Kantorovich
cải biên. Sau đây chúng ta nêu một số điều kiện đủ để
dãy (1.26) hoặc (1.27) hội tụ.
Định lý 1.4. Giả sử các điều kiện sau đẫy được thỏa mãn:
ỉ. Toán tử p được xác định trong S(xo,r) và có đạo hàmcấphai P"
liên tục trong S(x
0
,r);
2. Hàm số (p(u), (u
0
< u < u')u' = u
0
+ r) hai lần khả vi liên tục;
3. Tồn tại toán tử tuyến tính liên tục To = [P'(^o)]

_1