BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Phương Anh

PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV
ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Phương Anh

PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV
ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Trần Văn Bằng

Sinh viên
Nguyễn Phương Anh

ii


Mục lục

Lời mở đầu

1

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

3

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Ổn định theo nghĩa Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . .



17

2.1.1

Hệ trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.2

Ổn định Lyapunov của nghiệm 0 . . . . . . . . .

18

2.1.3

Ổn định tiệm cận của nghiệm 0 . . . . . . . . . .

21

Lý thuyết tổng quát cho hệ ô-tô-nôm . . . . . . . . . . .

22

2.2

Tài liệu tham khảo

40


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận
này.
Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế
nên khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác
giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy
cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01/05/2016
Tác giả khóa luận
Nguyễn Phương Anh

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
R

tập số thực

Rn


M là một tập con thực sự của N

M ⊆N

M là một tập con của N

[x1 , x2 ]

đoạn thẳng nối hai điểm x1 và x2

x

chuẩn của x

|x|

giá trị tuyệt đối của x

AT

ma trận chuyển vị của ma trận A

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Hệ phương trình vi phân cấp một


(1.1)

Trong đó, t gọi là biến độc lập, x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), ..., xn = xn (t)
là các hàm phải tìm. Các hàm fi (i = 1, 2, ..., n) xác định trong miền G
dx1 dx2
dxn
của không gian n + 1 chiều.
,
, ...,
là đạo hàm của các hàm
dt dt
dt
cần tìm.
Định nghĩa 1.2. Nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1) là tập hợp
n hàm khả vi x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), ..., xn = xn (t) trên khoảng (a, b) nào
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

đó sao cho chúng thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ (1.1).
Bài toán Cauchy
Cho hệ phương trình vi phân (1.1).
Yêu cầu tìm nghiệm x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), ..., xn = xn (t) thỏa mãn
điều kiện ban đầu x1 (t0 ) = x01 , x2 (t0 ) = x02 , ..., xn (t0 ) = x0n , trong đó
t0 , x01 , x02 , ..., x0n là các giá trị cho trước tùy ý.
Định lý 1.1. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Hệ phương trình vi phân thường có dạng
dxj
= fj (t, x1 , x2 , ..., xn ), (j = 1, 2, ..., n)
dt
trong đó t là biến độc lập ( thời gian) , x1 , ..., xn là các hàm cần tìm, fj
là các hàm xác định trong một bán trụ
T = It+ × Dx , It+ = {t0 < t < +∞}
và Dx là một miền mở thuộc Rn .
Định nghĩa 1.4. (Nghiệm tổng quát) Hệ n hàm khả vi liên tục theo t,
phụ thuộc n hằng số tùy ý C1 , C2 , ..., Cn





x1 = ϕ1 (t, C1 , C2 , ..., Cn )






x2 = ϕ2 (t, C1 , C2 , ..., Cn )

(1.2)




....................................

C2 = ψ2 (t0 , x01 , ..., x0n )

(1.3)




..................................






Cn = ψn (t0 , x01 , ..., x0n ).
• Hệ hàm (1.2) nghiệm đúng hệ phương trình (1.1) với C1 , C2 , ..., Cn
xác định từ (1.3).
Định nghĩa 1.5. (Tích phân tổng quát) Hệ hàm




φ1 (t, x1 , x2 , ..., xn ) = C1






φ2 (t, x1 , x2 , ..., xn ) = C2

Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một
a) Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

dy1


= p11 (x)y1 + p12 (x)y2 + ... + p1n (x)yn



dx



dy

 2 = p21 (x)y1 + p22 (x)y2 + ... + p2n (x)yn
dx



...........................................................





dy

 n = pn1 (x)y1 + pn2 (x)y2 + ... + pnn (x)yn .



dy

 n = pn1 (x)y1 + pn2 (x)y2 + ... + pnn (x) + fn (x) .
dx

(1.6)

Hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp một
Một hệ phương trình vi phân được cho là phi tuyến nếu nó không
phải là một hệ tuyến tính.

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Nguyễn Phương Anh

Ổn định theo nghĩa Lyapunov

Trong lý thuyết định tính phương trình vi phân, tính ổn định rất quan
trọng. Có nhiều khái niệm khác nhau về ổn định. Phần này ta trình bày
một số khái niệm và tiêu chuẩn ổn định Lyapunov.
Xét hệ phương trình phi tuyến có mô hình thay đổi theo thời gian,
hay còn gọi là hệ không dừng:
x˙ = f (x, t), t ≥ 0,

y(t0 ) < δ
thì
y(t) < ε, ∀t ≥ t0 .
Định nghĩa 1.9. Nghiệm x(t) của (1.7) gọi là ổn định tiệm cận nếu
nó ổn định Lyapunov và với mọi t0 > 0 tồn tại β = β(t0 ) sao cho mọi
nghiệm y(t) với y(t0 ) − x(t0 ) < β đều có tính chất
lim

t→+∞

y(t) − x(t) = 0.

Như vậy ổn định tiệm cận tức là ổn định kèm theo điều kiện. Đặc
biệt, nghiệm tầm thường x(t) = 0 ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và
lim

t→+∞

y(t) = 0

khi y(t0 ) < β.
Định nghĩa 1.10. Nếu các số δ, β trong các Định nghĩa 1.8 và Định
nghĩa 1.9 không phụ thuộc vào thời điểm ban đầu t0 thì ta có các khái
niệm ổn định đều và ổn định tiệm cận đều.

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học



Ổn định mũ

Định nghĩa 1.11. Nghiệm x = 0 của hệ x˙ = f (x) được gọi là ổn định
mũ nếu tồn tại các hằng số dương β, γ, c sao cho với mọi nghiệm x(t)
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

của hệ thỏa mãn
x(0) < β
kéo theo x(t) < ce−γt với t > 0.
Ví dụ 1.3.1. Xét phương trình vi phân ( hệ một phương trình)
x˙ = −x.
Hệ có nghiệm tổng quát x = Ae−t . Tồn tại β = 2, γ = 1, c = 2 sao
cho mọi nghiệm x(t) của hệ thỏa mãn
x(0) < β ⇔ |A| < β
Thay số ta được x(0) < 2 ⇔ |A| < 2. Ta có
x(t) = |x(t)| = Ae−t < 2e−t = ce−t , ∀t > 0.
Vậy nghiệm x = 0 là ổn định mũ.

1.4

Hàm liên tục Lipschitz địa phương

Định nghĩa 1.12.
Cho hàm f : Rn −→ Rn

A + A ...
2!
3!

nếu chuối đó hội tụ. Tổng riêng của chuỗi về phải là ma trận cấp n × n
và chuỗi hội tụ nếu từng phần tử của ma trận tổng riêng hội tụ, trong
trường hợp đó eA là ma trận cấp n × n. Thực tế, chuỗi hội tụ với mọi
ma trận A, vì với mọi r:
I + A + ... +

1 r
A
r!

1 + A + ... +

1
A r,
r!

và khi r → ∞ chuỗi vế phải luôn hội tụ tới eA . Ta có:
1. eA ≤ e

A

.

2. e0 = I , 0 là ma trận không.
3. eA eB = eA+B khi AB = BA.
4. e−A = (eA )−1 (do đó e±A không suy biến).

C = [c1 , c2 , ..., cn ] .

14

(r =


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

Khi đó
AC = A [c1 , cn , .., cn ]
= [Ac1 , Acn , .., Acn ]
= [λc1 , λcn , .., λcn ]
= [c1 , cn , .., cn ] D
= CD

Trong đó D là ma trận chéo


λ 0
 1

 0 λ2
D=

 ... ...

0 0

∞

r

−1 r

∞

r r

A t
CD C t
D t
−1
x = eAt =
=C
r! =
r!
r! C
r=0
r=0
 r=0
r r
λ t /r!
0
...
0

 1




λ
t
2
 0 e
... 0  −1
C ,
=C


 ... ... ... ... 


λn t
0
0 ... e

là ma trận cơ bản Φ(t) thỏa mãn Φ(0) = CIC −1 = I.

16


Chương 2
Phương pháp hàm Lyapunov đối với
hệ phương trình vi phân cấp một
2.1
2.1.1

Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ 2 chiều

tự như họ đường tròn ở bài toán trên. Giả sử V(x,y) = α, α > 0 là một
họ các đường cong đóng, bao quanh điểm gốc, hội tụ đến điểm gốc (liên
tục) khi α → 0 .
Định nghĩa 2.1. Trong lân cận liên thông N của gốc. Giả sử V(x,y)
thỏa mãn
1. V(x,y) là liên tục,
∂V ∂V
,
∂x ∂y
là liên tục, có thể trừ ra tại điểm gốc.
2. V(0,0) = 0 và V(x,y) > 0 trong N .
3. Tồn tại giá trị µ > 0 sao cho với mọi giá trị của tham số α trong
khoảng 0 > α < µ, phương trình V(x,y) = α với (x, y) ∈ N xác
định duy nhất một đường cong đơn đóng Tα trong N bao quanh
gốc. Khi đó họ các đường cong V(x,y) = α, 0 < α < µ được gọi là
hệ trắc địa trong Nµ , trong đó Nµ là lân cận liên thông của gốc xác
định bởi V (x, y) < µ, với Nµ ⊂ N .
2.1.2

Ổn định Lyapunov của nghiệm 0

Xét hệ ô-tô-nôm có dạng

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh


. Ta có
dt
∂x
∂y
∂x
∂y
• Nếu V˙ (x, y) > 0 ở điểm P, P hướng ra ngoài T ;
• Nếu V˙ (x, y) < 0 ở điểm P, P hướng vào trong T ;
• Nếu V˙ (x, y) = 0 ở điểm P, P tiếp xúc với T .
Chúng ta gọi V(x,y) là hàm Lyapunov cho hệ (2.1).
Định lý 2.1. Cho Tα là đường cong trắc địa trong Nµ , xác định bởi
V (x, y) = α < µ, và giả sử rằng V˙ (x, y)

0 trong Nµ .

Cho H là nửa quỹ đạo bắt đầu từ điểm P ở trên, hoặc ở bên trong Tα .
Khi đó H không bao giờ thoát khỏi vùng này.
Chứng minh. Cho B là điểm bên ngoài bất kỳ đến Tα . Từ đó α < µ, tồn
tại α1 với α < α1 < µ, sao cho đường cong trắc địa Tα1 nằm giữa Tα và
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Phương Anh

điểm B. Để đạt được đến B, điểm P phải đi ra ngoài Tα1 , trái vời giả
thiết V˙ (x, y)

0. Vậy H không bao giờ thoát khỏi Tα .

Lyapunov. Ngoài ra, δ không phụ thuộc vào t0 nên nghiệm 0 là ổn định
đều.

20