Hệ phương trình tuyến tính hệ số hằng
Định nghĩa: Hệ ptvp là hệ gồm các ptvp chứa đạo
hàm của các hàm cần tìm
Ví dụ: Các hệ ptvp
Hệ 2 ptvp cấp 1
( , , , , ') 0
( , , , , ') 0
F t x y x y
G t x y x y
′
=


′
=

Trong đó
t là biến độc lập, x(t), y(t) là các hàm cần tìm.
Hệ 3 ptvp cấp 1 dạng chính tắc
( , , , )
( , , , )
( , , , )
x f t x y z
y g t x y z
z h t x y z
′
=


′

dt

= + + + +



= + + + +





= + + + +


Trong đó f
i
(t), i=1,2, …,n là các hàm liên tục trong (a,b)

Hệ pt tuyến tính cấp 1hệ số hằng
Đặt
11 12 1
21 22 2
1 2: : : :

n
n

 
1
2
( )
( )
( )
:
( )
n
x t
x t
X t
x t
 
 
 
=
 
 
 
Thì hpt trên có thể viết thành
( ) (1)
dX
AX F t
dt
= +
Hệ không thuần nhất
(2)
dX
AX

= − +

Ta viết thành
( 2)
( 2)
t
D x y e
x D y t

− − =

− + + =

Sau đó, ta dùng phương pháp khử như đối với hpt
đại số tuyến tính

Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
Ví dụ: Giải hpt
1 1 2
2 1 2
3
2 2
t
x x x e
x x x t

′
= + +

′

Ta giải pt trên
2
2 2 2
5 4 2 3 3
t
D x Dx x e t− + = − +⇔

Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
2 2 2
5 4 2 3 1
t
x x x e t
′′ ′
− + = − +
Thay vào pt
2
1 2
(2)
2 2
x t
x x
′
= − −⇔
4
2 1 2
2 3 11
3 4 16
t t t
x C e C e te t= + − − −
4

1 2 3
1 2 3
( 2) 4 3 0
4 ( 6) 3 0
(1)
(2)
(3)3 3 ( 1) 0
D x x x
x D x x
x x D x
− − − =


+ + + =


− − + − =

Khử x
3
: (1)+(2) và 3*(3)-(D-1)*(2)
Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
1 2
1 2
( 2) ( 2) 0
( 4( 1) 9) ( ( 1)( 6) 9) 0
D x D x
D x D D x
+ + + =


( 3 4) 0D D x+ − =⇔
1 1 1
3 4 0x x x
′′′ ′′
−⇔ + =
2 2
1 1 2 3
t t t
x C e C e C te
− −
+⇒ = +
Thay vào pt (4) để tìm x
2
:
2 2
2 1 4 3
t t t
x C e C e C te
− −
= − + −
Thay vào (1) để tìm x
3
:
2
3 1 2 3 4
1
(4 4 )
3
t t
x C e C C C e

X
1
dY dX
S
dt dt
−
⇒ =
Thay vào hpt trên
1
( )
dY
DY S F t
dt
−
= +
Đây là n-ptvp cấp 1 riêng biệt

Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Ví dụ: Giải hpt
2
1 1 2
2 1 2
2
4 2
x x x t
x x x

′
= − +


DY S F t
dt
−
= +
2
1 1
2
2 2
2 2
3 4
y y t
y y t

′
= + −


′
= − +
⇔


( )
( )
2 2 2
1 1
3 2 3
1 2
( 2)
( 4)

t t
x t t C e C e
x t t C e C e

= − − + + +




= − + + − −

⇔

2 2
1 1
2 3
2 2
1 1 3
2 2 4
1 4 34
3 9 27
t
t
y t t C e
y t t C e

= − − + +




 ÷
= −
 ÷
 ÷
−
 
1 1 1
1 0 1
0 1 2
S
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
−

⇒

1
1 3 1 2 0 0
1
2 2 0 , 0 2 0
2
1 1 1 0 0 4
S D
−
− −
   
 ÷  ÷


2
2
( )
2
t
t
e
F t e
t
−
−
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
−
 

Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Đặt Y=S
-1
X, ta được hpt
2
1 1
2 2
3 3
2
2

t
t
y C e t
y C e
y C e t
−
−

= + −


=

=
⇔


+ +

2 4
1 2 3
1
2 4
2 1 3
3
2 4
2 3
3 3
( )
4 16

− + + +
 
⇔

Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Ví dụ: Giải hpt
2
1 1 2 3
2
2 1 2 3
3 1 2 3
3 2
3 2
2 2
x x x x t
x x x x t
x x x x t

′
= − + + +

′
= − + −


′
= + + +

1 3 2
3 1 2


⇒
÷
−
 
1
1 1 2 0 0 0
1
1 1 2 , 0 4 0
4
2 2 0 0 0 4
S D
−
−
   
 ÷  ÷
= =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
   

Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Đặt Y=S
-1
X, ta được hpt
1
2 2
3 3
4

−

= − +



= − −

=
⇔




X SY=
4 4 2
1 1 2 2
4 4 2
2 1 2 2
4 2
3 1 2
1 1 1
2 4 16
1 1 1
2 4 16
1 1 1
2 4 16
t t
t t
t

y x y t
x y x y t
y x y t
′
= +


′
= +

′
= +


′
= + +

′ ′
+ = + −


′
= + +

Giải các hpt sau
'
1 1 2 3
'
2 1 2 3
'

x x x x t
x x x x

= − + + +


= − − +


= − + +


1 1 2 3
2
2 1 2 3
3 1 3
2 2 2
6. 5 3 3
2
t
x x x x t
x x x x e
x x x
−
′
= − + +


′
= − + −