Email:
Phương trình và Hệ phương trình Vi phân

A. Phương trình vi phân cấp 1
1. Phương trình biến số phân ly
+ Dạng: 




+ Cách giải: Lấy tích phân hai vế ta được nghiệm của phương trình
+ Chú ý: 





+ Ví dụ:
a) 


Tích phân hai vế





 













Trong đó 



được xác định bởi công thức


















Công thức nghiệm:  



4. Phương trình Bernoulli
+ Dạng: 



 








+ Cách giải: Đưa về phương trình tuyến tính cấp 1 và áp dụng công thức nghiệm thông qua
hai bước
- Bước 1: Làm mất  ở vế phải
- Bước 2: Đặt 


Cụ thể:
- Kiểm tra   có là nghiệm của phương trình

- Nếu  chia hai vế phương trình cho 




  












Phương trình trở về dạng phương trình tuyến tính cấp 1

5. Phương trình thuần nhất
+ Dạng: 







+ Cách giải:




(Cách nhớ: Đặt 


Đưa về phương trình biến số phân ly)

Email:
6. Chú ý khi giải phương trình vi phân cấp 1
Đây là kinh nghiệm cá nhân

Nếu không giải được thì đưa về dạng 
B. Phương trình vi phân cấp 2
(Tuyến tính với hệ số hằng)

Dạng: 


Dạng:



PT
tuyến
tính
cấp 1
PT
Bernoulli
PT
thuần
nhất
PT
biến
số
phân
ly
PT vi
phân
toàn
phần
Email:

 Nghiệm PTTN: 




 Nghiệm PTTN: 









2. Phương trình không thuần nhất
Dạng: 






Cách giải:
+  Có PTTN tương ứng là 




Khi đó  có công thức nghiệm là:






Trong đó: 



 


 Ta tính được 




Sau đó thế vào 

 của PT



để tìm các hệ số của 


b. TH2: 






Tính 






















Khi đó 







