Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti
Shortlink: />1. Định nghĩa:
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:
(1) (hay )
trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục, cho trước.
Nếu q(x) ≡ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Nếu q(x) ≠0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
2. Cách giải:
2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:
Nhân 2 vế của (1) với thừa số
Ta được:
(*)
ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số . Vậy
ta viết lại phương trình (*) như sau:
Lấy tích phân hai vế ta được:
.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:
Lưu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bằng 1.
Ví dụ: Giải phương trình
Nhân 2 vế của phương trình với thừa số .
Ta đươc:
Hay:
Lấy tích phân 2 vế ta được:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli (pp tìm nghiệm dưới dạng tích)
Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm
nghiệm của phương trình dưới dạng tích:
Ta có:
Thế vào phương trình ta có:
Hay: (*)
Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v