ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
———————————————–

PHẠM THỊ HUỆ

ỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên-2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
———————————————–

PHẠM THỊ HUỆ

ỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH.VŨ NGỌC PHÁT


7
10
12
14

2 Ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến
tính
2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . .
2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ . . . . . . . .
2.3 Ứng dụng giải bài toán ổn định hóa hữu hạn thời gian .

15
15
31
34

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

39


ii

KÍ HIỆU TOÁN HỌC

R


ma trận A xác định dương, tức là Ax, x > 0,

∀x ∈ Rn , x = 0
A>B

nghĩa là A − B xác định dương

λ(A)

tập hợp tất cả các giá trị riêng của ma trận A

λmax (A)

λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin (A)

λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

A
K

A =

λmax (AT A)

tập hợp các hàm liên tục tăng chặt

a(.) : R+ → R+ , a(0) = 0

trình vi phân, trong đó có phương pháp hàm Lyapunov. Trong khuôn
khổ của luận văn này, luận văn đề cập đến ổn định hữu hạn thời gian
hệ phương trình vi phân tuyến tính, trong đó có sử dụng phương pháp
hàm Lyapunov cho bài toán ổn định Lyapunov đối với hệ phương trình


2

vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ.
Luận văn gồm hai chương.
Chương 1 "Cơ sở toán học", chương này giới thiệu các kiến thức cơ
bản về hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ và điều
kiện cho sự tồn tại nghiệm của nó. Từ đó giới thiệu bài toán bài toán ổn
định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân
có trễ. Bài toán về ổn định hữu hạn thời gian và các bổ đề liên quan
đến việc chứng minh tính ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi
phân tuyến tính ở chương sau.
Chương 2 "Ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến
tính", nội dung của chương này trình bày các kết quả về tính ổn định
hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương
trình vi phân tuyến có trễ, ứng dụng giải bài toán ổn định hữu hạn thời
gian, đưa ra các ví dụ minh họa cho các bài toán ổn định.
Bản luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.
TSKH. Vũ Ngọc Phát. Mặc dù bản thân đã cố gắng nhưng do thời gian
có hạn, trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn
bè đồng nghiệp.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát,
người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn, truyền đạt cho tôi kiến thức trong
suốt quá trình hoàn thành luận văn.


(1.1)

trong đó f (t, x(t)) : R+ × Rn → Rn với t ≥ t0 , x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng
thái.
Định nghĩa 1.1. Nghiệm x(t) của phương trình vi phân (1.1) là hàm
số x(t) khả vi liên tục thỏa mãn
i) (t, x(t)) ∈ R+ × Rn ;


4

ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1).
Giả sử hàm f (t, x(t)) liên tục thì nghiệm của hệ phương trình vi phân
(1.1) cho bởi dạng tích phân sau
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.

(1.2)

t0

1.1.2

Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân

Định nghĩa 1.2. Hàm f : R × Rn → Rn , được gọi là Lipschitz đối với

Khi đó với mọi x0 ∈ Rn , tồn tại duy nhất nghiệm x(t, x0 ) trên khoảng
[0, ∞).
Nếu vế phải của hệ (1.1) không phụ thuộc t thì ta nói hệ (1.1) là
ôtônôm, ngược lại ta nói hệ không ôtônôm.
Xét hệ phương trình vi phân tuyên tính ôtônôm:

x(t)
˙
= Ax(t) + g(t), t ≥ 0;
(1.3)
x(t0 ) = x0 ,
t0 ≥ 0.
trong đó A là ma trận hằng số cấp n × n, g : [0, +∞) → Rn là hàm
liên tục, thì hệ có nghiệm duy nhất xác định trên [0, +∞) cho bởi công
thức Cauchy
t

eA(t−s) g(s)ds.

x(t) = eA(t−t0 ) x0 +
t0

Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng

x(t)
˙
= A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0;
(1.4)
x(t0 ) = x0 ,
t ≥ 0,

của trạng thái tại cùng một thời điểm. Song trên thực tế, các quá trình
xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan tới quá khứ. Vì vậy khi
mô tả quá trình này, chúng sẽ được biểu diễn bằng các phương trình vi
phân có trễ.
Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ (0 ≤ h ≤ +∞).
Với x(.) là một hàm liên tục trên R+ , nhận giá trị trong Rn , chúng ta
xây dựng hàm xt ∈ C : C([−r, 0], Rn ) như sau

xt (s) = {x(t + s), ∀s ∈ [−r, 0]}.
Như vậy xt là một đoạn quỹ đạo trên [t − r, t] của hàm x(.). Khi đó
hệ phương trình có trễ mô tả sự phụ thuộc của vận tốc thay đổi tại
thời điểm t vào trạng thái của hệ thống trong khoảng thời gian trước
đó [t − r, t] được cho dưới dạng tổng quát

x(t)
˙
= f (t, xt ),

t ≥ 0,

(1.5)

trong đó f (.) : R+ × C → Rn . Một nghiệm x(.) của hệ (1.5) đi qua
điểm (t0 , φ) ∈ R+ × C được kí hiệu x(t0 , φ). Khi đó hàm giá trị ban
đầu của nghiệm này trong khoảng [t0 − r, t0 ] chính là hàm φ, tức là
xt0 (t0 , φ)(s) = x(t0 + s) = φ(s), ∀s ∈ [−r, 0].
Tương tự như phương trình vi phân thường ta cũng có công thức
nghiệm dạng tích phân của hệ (1.5) là

x(t0 + s) = φ(s),

a
dr
= ∞.
lim
a→∞
η(r)
0

Khi đó hệ (1.5) có nghiệm x(t, φ) xác định trên khoảng [0, ∞).

1.2
1.2.1

Bài toán ổn định Lyapunov
Ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân

Một phương pháp hữu hiệu để xác định tính ổn định của hệ phương
trình vi phân là phương pháp hàm Lyapunov. Với hệ không trễ ta xây
dựng một hàm Lyapunov V (t, x(t)) mà dựa vào một số tính chất đặc
thù của nó ta có thể đánh giá được tính ổn định nghiệm của hệ phương
trình vi phân thông qua công thức nghiệm của hệ.
Ta xét hệ phương trình ôtônôm:

x(t)
˙
= f (x(t)),

t ≥ t0 ,

(1.6)


(ii) Df V (x) =

(iii) ∃c > 0 : Df V (x) ≤ −c x ,

∀x ∈ Rn \{0} của hệ (1.6).

Định lý 1.8. Nếu hệ (1.6) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định. Hơn
nữa, nếu hàm Lyapunov là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận.
Đối với hệ phương trình vi phân không ôtônôm có dạng

x˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0;
f (t, 0) = 0,
∀t,

(1.7)

thì hàm Lyapunov được định nghĩa theo hai biến V (t, x(t)) như sau
Định nghĩa 1.9. Hàm V : R+ × Rn → R+ , khả vi liên tục, thỏa mãn
V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.7) nếu:
(i) Hàm V (t, x) là hàm xác định dương:

∃a ∈ K :
(ii) Df V (t, x(t)) =

V (t, x) ≥ a( x ),

∀(t, x) ∈ R+ × Rn .

∂V

Df V (x) =

= 0.
Vậy hệ tồn tại hàm Lyapunov ổn định, nhưng không ổn định tiệm cận.
Ví dụ 1.12.
Xét tính ổn định của hệ sau bằng phương pháp hàm Lyapunov

x˙ 1 = x2 − 4x31 ;
x˙ 2 = −x1 − 4x32 .
1
1
Chọn hàm V (x) = x21 + x22 . Dễ thấy V (x) là hàm khả vi liên tục trên
2
2
R2 và thỏa mãn điều kiện (i).
Xét điều kiện (ii)
∂V
f (x) = x1 x˙ 1 + x2 x˙ 2
∂x
= x1 (x2 − 4x31 ) + x2 (−x1 − 4x32 )

Df V (x) =

= −4(x41 + x42 ) < 0.
Do đó Df V (x) < 0, ∀x ∈ R2 \{0}. Vậy hệ ổn định tiệm cận.


10

1.2.2

Định lý 1.13. Giả sử f (.) : R+ × C → Rn , và u, v, w : R → R
là những hàm liên tục không giảm, thêm vào đó u(s), v(s) là dương
khi s > 0, u(0) = v(0) = 0. Nếu tồn tại một hàm khả vi liên tục
V (.) : R+ × C → R+ sao cho

u( φ(0) ) ≤ V (t, φ) ≤ v( φ ),

∀(t, xt ) ∈ R+ × C,

và

V˙ (t, φ) ≤ −w( φ(0) ),
thì nghiệm tầm thường của (1.8) là ổn định. Nếu w(s) > 0 với s > 0
thì nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận.
Định lý sau cho một dạng kiểm tra hàm Lyapunov tường minh theo
nghiệm của hệ.
Định lý 1.14. Giả sử f (.) : R+ × C → Rn . Nếu tồn tại một hàm liên
tục V : R+ × C → R, sao cho:


11

i) ∃λ1 > 0, λ2 > 0 :

λ1 x(t)

2

≤ V (t, xt ) ≤ λ2 xt 2 , ∀(t, xt ) ∈ R+ × C;



1
V (xt ) = x2 (t) + σ
2

x2 (θ)dθ,

σ > 0,

(1.10)

t−r

Dễ thấy rằng:

1
V (xt ) ≥ x2 (t).
2
Lấy đạo hàm theo t của hàm V (xt ) dọc theo quỹ đạo nghiệm của hệ
(1.9) ta được
V˙ (xt ) = x(t)x(t)
˙ + σx2 (t) − σx2 (t − r)
= −(a − σ)x2 (t) − bx(t)x(t − r) − σx2 (t − r)


b
x(t)
a − σ 2 
= − x(t) x(t − r) .  b
.

nào khi nhiễu các giá trị ban đầu cũng bi chặn bởi một số cho trước.
Đây cũng là nội dung chính của khái niệm ổn định hữu hạn thời gian.
Xét hệ không ôtônôm

x˙ = f (t, x(t)), t ∈ [0, T ],
(1.11)
x(0) = x0 .
Định nghĩa 1.16. Cho các số dương c1 , c2 , với c1 < c2 , ma trận đối
xứng xác định dương R và thời gian T > 0. Hệ (1.11) được gọi là ổn
định hữu hạn thời gian (Finite-time stability(FTS)) tương ứng với bộ
(c1 , c2 , T, R) nếu
xT0 Rx0 ≤ c1 ,
suy ra

x(t)T Rx(t) < c2 ,

∀t ∈ [0, T ].

Nhận xét 1.17. Ổn định Lyapunov (Lyapunov Stability(LS)) và FTS
là hai khái niệm độc lập. Một hệ là FTS có thể không là LS, ngược lại
một hệ LS có thể không thể là FTS.
Để làm rõ điều này ta xét một vài ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.18.


13

Xét các hệ phương trình vi phân sau

x(t)

1
Hệ (1.12c) có nghiệm x(t) = sint + x0 là FTS ứng với bộ c1 = , c2 =
2
3π
nhưng hệ (1.12c) không là LS.
2, T =
2
Ví dụ 1.19.
Xét hệ phương trình vi phân có trễ sau

x(t)
˙
= −1.2x(t) +

t+2
x(t − 1),
t+1

t ≥ 0,

(1.13)

t
x(t − 1), t ≥ 0,
(1.14)
t+6
Hệ (1.13) là LS, hệ không là FTS với bộ c1 = 1, c2 = 1.25, T = 10.
Ngược lại (1.14) là FTS với bộ c1 = 1, c2 = 1.5, T = 10 nhưng không là
LS mặc dù mọi nghiệm khác không của (1.14) đều tiến tới vô cùng khi
thời gian tiến tới vô cùng. Quỹ đạo trạng thái của hệ (1.13) và (1.14)


Bổ đề 1.21. Cho M ∈ Rn×n là ma trận đối xứng xác định dương, khi
đó
i) λmin (M ) > 0, λmax (M ) > 0.
ii) λmin (M ) x

2

≤ xT M x ≤ λmax (M ) x 2 ,

∀x ∈ Rn .


15

Chương 2
Ổn định hữu hạn thời gian hệ
phương trình vi phân tuyến tính
Trong chương này trình bày các kết quả về tính ổn định hữu hạn thời
gian cho một số lớp hệ phương trình vi phân: hệ phương trình vi phân
tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ, ứng dụng giải
bài toán ổn định hóa. Nội dung trong chương này được trình bày từ tài
liệu [3], [4], [6].

2.1

Hệ phương trình vi phân tuyến tính

Xét hệ tuyến tính ôtônôm


trong đó Q
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov dạng

V (x(t)) = x(t)T Qx(t),
Ta có

t ≥ 0.

V (x(0)) = xT0 Qx0
1

1

1

1

= xT0 R 2 R− 2 QR− 2 R 2 x0
1
˜ 21 x0
= xT0 R 2 QR

(2.3)

˜ T0 Rx0
≤ λmax (Q)x
˜ 1.
≤ λmax (Q)c
Hơn nữa ta có



1

V (x(t)) =xT (t)R 2 R− 2 QR− 2 R 2 x(t)
1
˜ 21 x(t)
= xT (t)R 2 QR
˜ T (t)Rx(t).
≥ λmin (Q)x
Từ (2.3) và (2.4) ta có được

˜ T (t)Rx(t) ≤ eαT V (x0 ) ≤ eαT λmax (Q)c
˜ 1.
λmin (Q)x
Vậy ta có từ điều kiện (2.2) của định lý:

xT (t)Rx(t) ≤ eαT

˜
λmax (Q)
c ≤ c2 .
˜ 1
λmin (Q)

Điều phải chứng minh.
Tiếp theo, ta đưa ra ví dụ cho các kết quả của lý thuyết.
Ví dụ 2.2.
Xét hệ phương trình

x(t)

0 q2
0 a2
0 a2
0 q2
0 q2
=

2a1 q1 − q1
0
.
0
2a2 q2 − q2


18

Theo điều kiện (2.2) của định lý ta có


 2a q < q , ∀q > 0
 a < 0, 5,
1 1
1
1
1
⇔
 2a2 q2 < q2 , ∀q1 > 0
 a2 < 0, 5,

∀q1 > 0,

w(t)
˙
= F w(t),

x(0) = x0 ,

w(0) = w0 ,

(2.5)
(2.6)

trong đó A ∈ Rn×n , G ∈ Rn×r và F ∈ Rr×r .
Định nghĩa 2.3. Hệ tuyến tính (2.5)-(2.6) được gọi là bị chặn hữu hạn
(Finite time boundedness(FTB)) tương ứng với bộ (c1 , δ, c2 , T, R) nếu

xT0 Rx0 ≤ c1 ;

w0T Rw0 ≤ δ,

suy ra

xT (t)Rx(t) < c2 ,

∀t ∈ [0, T ].

(2.7)

Định lý sau cho ta một kiện đủ cho tính bị chặn hữu hạn của hệ (2.5)
- (2.6).
Định lý 2.4. Hệ (2.5) - (2.6) là FTB tương ứng với bộ (c1 , δ, c2 , T, R),

c1 λ1 + δλ2 − δeλ0 −αT λ4 < e−αT c2 λ3 ,

(2.12)

trong đó

˜ 1 = R− 21 Q1 R− 12 ,
Q
λ0 = min λ0 t,
0≤t≤T

˜ 2 = R− 21 Q2 R− 21 ;
Q
λ0 = λmin (F T + F ).

Chứng minh. Xét hàm Lyapunov dạng V (x(t)) = xT (t)Q˜1 x(t), ta có

V˙ (x(t)) = x˙ T Q˜1 x + xT Q˜1 x˙
= xT [AT Q˜1 + Q˜1 A]x + wT GT Q˜1 x + xT Q˜1 Gw
=

x
w

T

x
A Q˜1 + Q˜1 A Q˜1 G
.
.

Lấy tích phân hai vế của (2.15) từ 0 đến t, với t ∈ [0, T ], ta có:

e

−αt

t

V (x(t)) − V (x(0)) < α

e−αs wT (s)Q˜2 w(s)ds

0
t

−

e−αs wT (s)(F T Q˜2 + Q˜2 F )w(s)ds

0
t

=α

(2.16)

e−αs wT (s)Q˜2 w(s)ds

0
t

1
2

˜ 1 = R Q1 R và Q
˜ 2 = R Q2 R , thì
Nhận thấy rằng Q
1

1

1

1

1

1

xT (t)R 2 Q1 R 2 x(t) < eαT xT (0)R 2 Q1 R 2 x(0) + wT (0)R 2 Q2 R 2 w(0)
− e−αT wT (0) min

0≤t≤T

Tt

1

1

eF R 2 Q2 R 2 eF


λ4 < λmin (Q2 ), λmax (Q2 ) < λ2.
Khi đó
1

1

xT (t)R 2 Q1 R 2 x(t) < eαT c1 λ1 + λ2 − eλ0 −αT λ4 wT (0)Rw(0)
< eαT c1 λ1 + δ λ2 − eλ0 −αT λ4 .
(2.18)
Mặt khác
1

1

λmin (Q1 )xT (t)Rx(t) ≤ xT (t)R 2 Q1 R 2 x(t).

(2.19)

Do đó, từ (2.18) và (2.19) suy ra

eαT c1 λ1 + δλ2 − δeλ0 −αT λ4
x (t)Rx(t) ≤
.
λ3
T

Điều kiện (2.12) đảm bảo xT (t)Rx(t) < c2 .
Tiếp theo, ta đưa ra một vài ví dụ minh họa cho định lý.
Ví dụ 2.5.

1 0
a1 a3
1 0
1 0
a1 a2
.
+
.
−2
a2 a4
0 5
0 5
a3 a4
0 5
=

2a1 − 2 5a3 + a2
.
a2 + 5a3 10a4 − 10

(2.20)