ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ CAO KIÊN

BÀI TỐNỔN ĐỊNH HỮU HẠN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC
THÁI NGUN – 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


Thái Ngun, tháng 5 năm 2013
Người viết Luận văn
Lê Cao Kiên
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Lời cảm ơn
Để hồn thành được luận văn một cách hồn chỉnh, tơi ln nhận được sự
hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát (Viện Tốn
học Việt Nam). Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và
xin gửi lời tri ân nhất của tơi đối với những điều thầy đã dành cho tơi.
Tơi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, q thầy cơ
giảng dạy lớp Cao học K20 (2012- 2014) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học
Thái Ngun đã tận tình truyền đạt những kiến thức q báu cũng như tạo
điều kiện cho tơi hồn thành khóa học.
Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người
đã ln động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tơi trong suốt q trình
học tập và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Ngun, tháng 5 năm 2014
Người viết Luận văn
Lê Cao Kiên
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
Mở đầu 1
Kí hiệu tốn học 1
1 Cơ sở tốn học 2
1.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . 4

trong trường Đại Học Sư Phạm- ĐHTN cũng như các thầy cơ đã giảng dậy
lớp cao học khóa 2012-2014.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng trong luận văn này khơng thể tránh
khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong có được những ý kiến đóng góp của các
thày cơ và các ban.
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Kí hiệu tốn học
R Tập số thực.
R
+
Tập số thực khơng âm.
R
n
Khơng gian véctơ Euclide n chiều.
R
n×n
Khơng gian các ma trận thực.
I Ma trận đơn vị.
A
T
Ma trận chuyển vị của ma trận A.
P > 0 Ma trận xác định dương.
λ(P ) Các giá trị riêng thực của ma trận P .
λ(Q) Các giá trị riêng của ma trận Q.
λ
max
(P ) Giá trị riêng lớn nhất của ma trận P .
λ
min
(P ) Giá trị riêng thực nhỏ nhất của ma trận Q.

−→ R
n
. Nếu vế phải của (1.1) khơng phụ thuộc t thì ta
nói hệ (1.1) là hệ ơtơnơm, ngược lại ta nói hệ là khơng ơtơnơm. Nghiệm của
hệ phương trình vi phân (1.1) là hàm số x(t) khả vi liên tục thỏa mãn:
i) (t, x(t)) ∈ R
+
× R
n
.
ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1).
Khi hàm f(t,x) liên tục trên I × D thì nghiệm x(t) cho bởi dạng tích phân
sau:
x(t) = x
0
+

t
t
0
f(s, x(s))ds.
Định lý sau khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi
phân (1.1).
Định lý 1.1. (Định lý Picard-Lindeloff ). Xét hệ phương trình vi phân (1.1)
trong đó D là tập tất cả những x ∈ R
n
sao cho ||x − x
0
|| < a với a > 0 ,
2

0
, t
0
≥ 0.
(1.2)
trong đó A ∈ R
n×n
và g : [0; +∞) −→ R
n
là hàm liên tục.
Hệ phương trình (1.2) ln có nghiệm (duy nhất) xác định trên [0, +∞)
cho bởi cơng thức Cauchy
x(t) = x
0
e
A(t−t
0
)
+

t
t
0
e
A(t−s)
g(s)ds.
Đối với hệ phương trình vi phân khơng ơtơnơm tuyến tính dạng

˙x(t) = A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0
x(t

φ(t, s)g(s)ds.
Trong đó ma trận nghiệm cơ bản φ(t, s) của hệ tuyến tính trên thỏa mãn hệ
phương trình

d
dt
φ(t, s) = A(t)φ(t, s), t ≥ s ≥ 0
φ(t, t) = I.
Ví dụ 1.1. Xét hệ phương trình vi phân

˙x
1
= 1,
˙x
2
= 2tx
1
+ e
t
, t ≥ 0
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Ta có
A(t) =

0 0
2t 0

, g(t) =

1

0

1 0
t
2
− s
2
1

1
e
t

ds,
với
x(0) =

2
1

.
Vậy nghiệm tổng qt của hệ đã cho được biểu diễn dưới dạng
x(t) =

t + 2
2
3
t
3
+ 2t

4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Nếu t biến thiên trong đoạn hữu hạn t
0
≤ t ≤ T thì từ định lý về sự phụ
thuộc nghiệm theo điều kiện ban đầu ta suy ra rằng nếu điều kiện ban đầu
thay đổi ít thì nghiệm sẽ thay đổi ít. Nhưng nếu t có thể nhận giá trị lớn
tùy ý thì vấn đề đó cần phải xét và đó chính là mục đích của lý thuyết ổn
định. Vào khoảng cuối thế kỷ XIX nhà tốn học Nga A. M. Lyapunov đã
đưa ra định nghĩa khái niệm ổn định và đã đề ra những phương pháp hữu
hiệu để giải bài tốn ổn định. Xét hệ (1.3) với giả thiết hệ có nghiệm 0 tức là
f(t, 0) = 0, ∀t ≥ 0 và ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1. Nghiệm 0 của hệ (1.3) gọi là ổn định nếu với mọi số
ε > 0, t
0
≥ 0
sẽ tồn tại số δ > 0 phụ thuộc ε và t
0
sao cho bất kỳ nghiệm
x(t), x(t
0
) = x
0
của hệ thỏa mãn ||x
0
|| < δ thì nghiệm đúng bất đẳng thức
||x(t)|| < ε ∀t ≥ t
0
Định nghĩa 1.2. Nghiệm 0 của hệ (1.3) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn
định và tồn tại số δ > 0 sao cho ||x
0

, t ≥ 0.
• Nếu a < 0, thì hệ là ổn định tiệm cận. Thật vậy, theo định nghĩa nếu
||x
0
|| ≤ δ thì ta có ||x(t)|| ≤ ||x
0
e
at
|| ≤ ||x
0
||e
at
. Chọn δ = ε và e
at
≤ 1
ta có ||x(t)|| < ε, hơn nữa vì ||x(t)|| → 0 khi t → +∞
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />• Nếu a = 0 thì hệ là ổn định, khơng ổn định tiệm cận vì ||x(t)|| = ||x
0
||
• Nếu a > 0, hiển nhiên hệ khơng ổn định.
Xét hệ phương trình vi phân có dạng

˙x(t) = f (x(t)), t ≥ 0,
f(0) = 0.
(1.4)
Định nghĩa 1.4. Hàm khả vi liên tục V (x) : R
+
−→ R, gọi là hàm Lyapunov
của hệ (1.4) nếu

V (x(t)) ≤ −c||x(t)||,
với mọi nghiệm x(t).
Định lý 1.2. [4] Nếu hệ (1.4) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định.
Ví dụ 1.3. Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân

˙x
1
= −x
4
2
x
1
t ≥ 0
˙x
2
= x
4
1
x
2
.
Lấy hàm Lyapunov V (x) = x
4
1
+ x
4
2
, ta có
D
f

1
= −x
2
− x
3
1
, t ≥ 0
˙x
2
= x
1
− x
3
2
.
.
Lấy hàm Lyapunov V (x) = x
2
1
+ x
2
2
ta có
D
f
V (x) = 2x
1
˙x
1
+ 2x

f
V (x) < −2||x|| < 0, ∀x ∈ R
+
\{0}.
khi đó ta có tính ổn định tiệm cận của hệ đã cho.
1.2.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân.
Trong thực tế người ta thường gặp bài tốn xét dáng điệu nghiệm cân bằng
hệ phương trình vi phân khơng trên tồn bộ [0; +∞] mà chỉ trên đoạn hữu
hạn [0; T ]. Nói cách khác tính bị chặn của nghiệm thay đổi như thế nào khi
nhiễu các giá trị ban đầu cũng bị chặn bởi một số cho trước. Đây cũng là nội
dung chính của khái niệm ổn định hữu hạn [3]. Xét hệ phương trình vi phân
dạng:

˙x = f(t, x(t)), t ∈ [0; T ]
x(0) = 0.
(1.5)
Định nghĩa 1.5. Cho c
1
> 0, c
2
> 0, c
1
< c
2
, ma trận đối xứng xác định
dương R, và thời gian T > 0. Hệ (1.5) gọi là ổn định hữu hạn (f inite −time stable)
đối với (c
1
, c
2

là x(t) = e
−at
x
0
. Hệ là ổn định Lyapunov và cũng ổn định hữu hạn đối với
(c
1
, c
2
, T, I), với mọi c
1
, c
2
, c
1
< c
2
, T > 0.
Ví dụ 1.7. Xét hệ phương trình vi phân mà nghiệm x(t) liên tục tuyệt đối
được xác định bởi
x(t) =

sint + 1 0 ≤ t ≤ π,
e
−(t−π)
t > π.
Ta thấy x(t) → 0, khi t → +∞ như vậy hệ ổn định Lyapunov nhưng hệ
khơng ổn định hữu hạn đối với (
3
2

n×n
đối xứng xác định dương sao cho các điều kiện
sau thỏa mãn:
A
˜
Q +
˜
QA
T
− α
˜
Q < 0 (2.2)
λ
max
(Q)
λ
min
(Q)
<
c
2
c
1
e
−αT
, (2.3)
trong đó
˜
Q = R
−

A + A
T
˜
Q
−1
)x(t), x(t) − αV (x(t)) + αV (x(t))
= (A
T
˜
Q
−1
+
˜
Q
−1
A − α
˜
Q
−1
)x(t), x(t) + αV (x(t)).
(2.4)
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Từ (2.2) suy ra
A
T
˜
Q
−1
+
˜

R
1
2
0
0 I

, z =

x
0

.
Từ
˙
V (x(t))
V (x(t))
< α
ta có
z
T
(t)MP Mz(t) < z
T
(0)MP Mz(0)e
αt
(2.7)
Ta có
z
T
(t)MP Mz(t) = x
T

αt
≤ λ
max
(Q
−1
)x
T
(0)Rx(0)e
αt
≤ λ
max
(Q
−1
)c
1
e
αt
. (2.9)
suy ra
z
T
(0)MP Mz(0) ≤ λ
max
(Q
−1
)c
1
e
αt
(2.10)

2

, A =

a
1
0
0 a
2

.
Xét
AQ + QA
T
− Q < 0
hay

a
1
0
0 a
2

·

q
1
0
0 q
2

1
− q
1
0
0 2a
2
q
2
− q
2

.
Theo điều kiện (2.2) của định lý ta có

2a
1
q
1
< q
1
, ∀q
1
> 0
2a
2
q
2
< q
2
, ∀q

Khi đó λ
max
(Q) = 2, λ
min
(Q) = 1 và c
2
= 3, c
1
= e
−1
. Khi đó hệ

˙x
1
(t) =
1
3
x
1
(t)
˙x
2
(t) =
1
4
x
2
(t)
ổn định hữu hạn đối với (e
−1

a
2
0 a
3

·

2 0
0 5

+

2 0
0 5

·

a
1
0
a
2
a
3

−

2 0
0 5


1
=
1
4
⇔



a
1
< 0, 5
5a
2
2
> 1 −5a
3
a
1
=
1
4



a
1
=
1
4
a

4
x
1
(t)
˙x
2
(t) = 2x
1
(t) + 5x
2
(t)
ổn định hữu hạn đối với (2e
−1
, 6, 1, I)
2.1.1 Sự ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân có nhiễu
Xét hệ phương trình tuyến tính
˙x(t) = Ax(t) + Gw(t), x(0) = x
0
, (2.11)
˙w(t) = F w(t), w(0) = w
0
, (2.12)
trong đó
A ∈ R
n×n
, G ∈ R
n×r
, F ∈ R
r×r
.

tại số α ≥ 0, và số thực λ
i
i = 1, 2, 3, 4 và hai ma trận đối xứng xác
định dương Q
1
∈ R
n×n
và Q
2
∈ R
r×r
sao cho thỏa mãn điều kiện sau

A
T
˜
Q
1
+
˜
Q
1
A − α
˜
Q
1
˜
Q
1
G

I < Q
2
< λ
2
I, (2.15)
λ
4
e
λ
0
−αT
− λ
2
< 0, (2.16)
c
1
λ
1
+ δλ
2
− δe
λ
0
−αT
λ
4
< e
−αT
c
2

0
= min
0≤t≤T
¯
λ
0
t,
¯
λ
0
= λ
min
(F
T
+ F ).
Chứng minh. Lấy V (x(t)) = x
T
(t)
˜
Q
1
x(t) và gọi
˙
V (x(t)) là đạo hàm của V (x)
trong q trình giải hệ (2.11). Khi đó ta có
˙
V (x(t)) = ˙x
T
(t)
˜

˜
Q
1
Gw(t)
=

x(t)
w(t)

T

A
T
˜
Q
1
+
˜
Q
1
A
˜
Q
1
G
G
T
˜
Q
1

−αt
˙
V (x(t)) − e
−αt
αV (x(t)) < αe
−αt
w
T
(t)
˜
Q
2
w(t)
−e
−αt
w
T
(t)(F
T
˜
Q
2
+
˜
Q
2
F )w(t).
Do đó
d
dt

t
0
e
−αs
w
T
(s)
˜
Q
2
w(s)ds
−

t
0
e
−αs
w
T
(s)(F
T
˜
Q
2
+
˜
Q
2
F )w(s)ds
13

˜
Q
2
w(t) + w
T
(0)
˜
Q
2
w(0)
Như vậy ta có
e
−αt
V (x(t)) − V (x(0)) < −e
−αt
w
T
(t)
˜
Q
2
w(t) + w
T
(0)
˜
Q
2
w(0) (2.21)
từ (2.21) ta có
V (x(t)) < e

x(0) + w
T
(0)
˜
Q
2
w(0)

−

e
−αT
w
T
(0) min
0≤t≤T
(e
F
T
t
˜
Q
2
e
F t
)w(0)

e
αT
chú ý rằng

R
1
2
x(t) < e
αT
[x
T
(0)R
1
2
Q
1
R
1
2
x(0) + w
T
(0)R
1
2
Q
2
R
1
2
w(0)]
−e
αT
[e
−αT

1
2
λ
max
(Q
2
)]
−e
αT
[e
−αT
λ
min
(Q
2
)λ
min
( min
0≤t≤T
(e
(F
T
+F )t
))R
1
2
w(0)].
Từ điều kiện (2.14) và (2.15) kéo theo
λ
3

Q
1
R
1
2
x(t)
< e
αT
[c
1
λ
1
+ (λ
2
− e
λ
0
−αT
λ
4
)w
T
(0)Rw(0)]
< e
αT
[c
1
λ
1
+ δ(λ

−αT
λ
4
)]. (2.22)
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Mặt khác
λ
min
(Q
1
)x
T
Rx(t) ≤ x
T
(t)R
1
2
Q
1
R
1
2
x(t), (2.23)
từ (2.22) và (2.23) ta có
x
T
(t)Rx(t) ≤
e
αT
[c

˙x(t) = Ax(t) + Gw(t).
Lấy R = I, α = 1, T = 1, chọn R = I khi đó
˜
Q
1
= Q
1
,
˜
Q
2
= Q.Giả sử
Q
1
=

1 0
0 3

, A =

a
1
0
a
2
a
3

.


a
1
0
a
2
a
3

−

1 0
0 3

=

2a
1
− 1 3a
2
3a
2
6a
3
− 3

.
Theo điều kiện (2.13) của định lý ta có



.
Khi đó lấy
A =

−2 0
3 −3

.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />lấy λ
1
= 4, λ
3
= 0, 5. Ta đi tìm ma trận F . Gọi
Q
2
=

3 0
0 4

, F =

f
1
0
f
2
f
3


·

f
1
0
f
2
f
3

−

3 0
0 4

=

6f
1
− 3 4f
2
4f
2
8f
3
− 4

.
Theo điều kiện (2.13) của định lý ta có

f
1
= −3
.
Khi đó lấy lấy
F =

−3 0
3 −1

.
¯
λ
0
= −4 −
√
13 suy ra λ
0
= −4 −
√
13, λ
2
= 5, λ
4
= 2, và chọn
G =

−2 0
−5 −1



˙w
1
(t) = −3w
1
(t)
˙w
2
(t) = 3w
1
(t) − w
2
(t)
Ví dụ 2.4. Xét hệ phương trình
˙x(t) = Ax(t) + Gw(t).
Lấy R = I, α = 2, T = 1, chọn R = I khi đó
˜
Q
1
= Q
1
,
˜
Q
2
= Q.Giả sử
Q
1
=


a
3
a
2
a
4

·

1 0
0 5

+

1 0
0 5

·

a
1
a
2
a
3
a
4

− 2


4
− 1) − (5a
3
+ a
1
)(a
2
+ 5a
3
) > 0
a
1
= −2
⇔







a
1
= −2
a
2
= 1
a
3
= 1

3

.
Xét
F
T
Q
2
+ Q
2
F − 2Q
2
< 0
có

f
1
f
2
0 f
3

·

2 0
0 4

+

2 0

Theo điều kiện (2.13) của định lý ta có



4f
1
< 4
2(f
1
− 1)(f
3
− 1) > f
2
2
f
1
= −2
⇔



f
1
= −2
f
3
= −3
f
2
= 4

= δ = 1 và chọn được c
2
= 920. Khi đó hệ

˙x
1
(t) = −2x
1
(t) + x
2
(t) − 3w
1
(t)
˙x
2
(t) = x
1
(t) − x
2
(t) − 4w
1
(t) − w
2
(t)
ổn định hữu hạn đối với (1, 1, 920, 2, I)
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />2.1.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân có trễ
Xét hệ phương trình sau
˙x(t) = Ax(t) + A
1

Định lý 2.3. Hệ (2.24) là ổn định hữu hạn đối với (c
1
, c
2
, T, R) nếu tồn tại
số α > 0 và hai ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q > 0 sao cho các
điều kiện sau thỏa mãn

A
T
P + P A − αP P A
1
A
T
1
P −Q

< 0, (2.26)
λ
max
(
¯
P ) + τλ
max
(
¯
Q)
λ
min
(

Chứng minh. Xét hàm
V (x(t)) = e
αt
P x(t), x(t) + e
αt

t
t−τ
Qx(s), x(s)ds
lấy đạo hàm theo t hai vế ta có:
˙
V (x(t)) = e
αt
[(A
T
P + P A + Q − αP )x(t), x(t) + 2P A
1
x(t − τ), x(t)]
−e
αt
[Qx(t − τ), x(t − τ)] + αV (x(t)).
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Ta có
˙
V (x(t)) = e
αt

x(t)
x(t − τ)


= x
T
(t)R
1
2
R
−
1
2
P R
−
1
2
R
1
2
x(t). (2.29)
Đặt
¯
P = R
−
1
2
P R
−
1
2
ta có
V (x(t)) ≥ x
T

¯
Q = R
−
1
2
QR
−
1
2
. Theo định nghĩa nếu
max
−τ≤t≤0
Ψ
T
(t)RΨ(t) ≤ c
1
thì từ (2.30) và (2.31) ta có
λ
min
(
¯
P )x
T
Rx(t) ≤ V (x(t)) ≤ V (x(0))e
αt
≤ [λ
max
(
¯
P ) + τλ

2
.
Định lý được chứng minh.
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />