Hệ phương trình tuyến tính hệ số hằng
Định nghĩa: Hệ ptvp là hệ gồm các ptvp chứa đạo
hàm của các hàm cần tìm
Ví dụ: Các hệ ptvp
Hệ 2 ptvp cấp 1
( , , , , ') 0
( , , , , ') 0
F t x y x y
G t x y x y
′
=


′
=

Trong đó
t là biến độc lập, x(t), y(t) là các hàm cần tìm.
Hệ 3 ptvp cấp 1 dạng chính tắc
( , , , )
( , , , )
( , , , )
x f t x y z
y g t x y z
z h t x y z
′
=


′
=

= + + + +



= + + + +





= + + + +


Trong đó f
i
(t), i=1,2, …,n là các hàm liên tục trong (a,b)
Hệ pt tuyến tính cấp 1hệ số hằng
Đặt
11 12 1
21 22 2
1 2: : : :

n
n
n n nn
a a a
a a a

( )
( )
( )
:
( )
n
x t
x t
X t
x t
 
 
 
=
 
 
 
Thì hpt trên có thể viết thành
( ) (1)
dX
AX F t
dt
= +
Hệ không thuần nhất
(2)
dX
AX
dt
=
Hệ thuần nhất

( 2)
t
D x y e
x D y t

− − =

− + + =

Sau đó, ta dùng phương pháp khử như đối với hpt
đại số tuyến tính
Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
Ví dụ: Giải hpt
1 1 2
2 1 2
3
2 2
t
x x x e
x x x t

′
= + +

′
= + +

Ta viết lại hpt
1 2
1 2

D x Dx x e t− + = − +⇔
Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
2 2 2
5 4 2 3 1
t
x x x e t
′′ ′
− + = − +
Thay vào pt
2
1 2
(2)
2 2
x t
x x
′
= − −⇔
4
2 1 2
2 3 11
3 4 16
t t t
x C e C e te t= + − − −
4
2 2 1
1 1 1 41
( 1)
2 3 4 24
t t t
x C e C e e t t= − + − + +⇔

D x x x
x D x x
x x D x
− − − =


+ + + =


− − + − =

Khử x
3
: (1)+(2) và 3*(3)-(D-1)*(2)
Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
1 2
1 2
( 2) ( 2) 0
( 4( 1) 9) ( ( 1)( 6) 9) 0
D x D x
D x D D x
+ + + =


− − − + − − + − =

Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
Hệ trên tương đương với:
1 2
2

x C e C e C te
− −
+⇒ = +
Thay vào pt (4) để tìm x
2
:
2 2
2 1 4 3
t t t
x C e C e C te
− −
= − + −
Thay vào (1) để tìm x
3
:
2
3 1 2 3 4
1
(4 4 )
3
t t
x C e C C C e
−
= − + +
Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Hệ pt
( )
dX
AX F t
dt

( )
dY
DY S F t
dt
−
= +
Đây là n-ptvp cấp 1 riêng biệt
Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Ví dụ: Giải hpt
2
1 1 2
2 1 2
2
4 2
x x x t
x x x

′
= − +

′
= + −

1 2
1 4
A
−
 
=
 ÷

y y t
y y t

′
= + −


′
= − +
⇔


( )
( )
2 2 2
1 1
3 2 3
1 2
( 2)
( 4)
dt dt
dt dt
y e t e dt C
y e t e dt C
−
∫ ∫
−
∫ ∫

= − +

⇔

2 2
1 1
2 3
2 2
1 1 3
2 2 4
1 4 34
3 9 27
t
t
y t t C e
y t t C e

= − − + +




= + − +

⇔

Ta tính
1
2
2 1
1 1
y

=
 ÷
 ÷
−

⇒

1
1 3 1 2 0 0
1
2 2 0 , 0 2 0
2
1 1 1 0 0 4
S D
−
− −
   
 ÷  ÷
= − − = −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
   
2
1 1 2 3
2
2 1 2 3
3 1 2 3
3 3
3 5 3

 
 ÷
=
 ÷
 ÷
−
 
Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Đặt Y=S
-1
X, ta được hpt
2
1 1
2 2
3 3
2
2
4
t
y y e t
y y
y y t
−

′
= − + +

′
= −


=
⇔


+ +

2 4
1 2 3
1
2 4
2 1 3
3
2 4
2 3
3 3
( )
4 16
3 3
4 16
1 1
2
2 8
t t
t t
t t
C C e C e t
x
x C e C e t
x
C e C e t

x x x x t
x x x x t
x x x x t

′
= − + + +

′
= − + −


′
= + + +

1 3 2
3 1 2
1 1 2
A
−
 
 ÷
= −
 ÷
 ÷
 
2
2
( )
2
t

   
 ÷  ÷
= =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
   
Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Đặt Y=S
-1
X, ta được hpt
1
2 2
3 3
4
4
y t
y y t
y y
′
= −


′
= +


′
= −


4 4 2
1 1 2 2
4 4 2
2 1 2 2
4 2
3 1 2
1 1 1
2 4 16
1 1 1
2 4 16
1 1 1
2 4 16
t t
t t
t
x C C e C e t t
x C C e C e t t
x C C e t t

= + + − − −



= + − − − −



= − + + − −

⇔


′ ′
+ = + −


′
= + +

Giải các hpt sau
'
1 1 2 3
'
2 1 2 3
'
3 1 2 3
4 4
4. 8 11 8 2
8 8 5
t
x x x x e
x x x x t
x x x x

= − − +


= − − +


= − + +

6. 5 3 3
2
t
x x x x t
x x x x e
x x x
−
′
= − + +


′
= − + −


′
= − −

' 2
1 1 2 3
'
2 1 2 3
'
3 1 2 3
4 2 5
5. 6 6 2
8 3 9
x x x x t
x x x x t
x x x x