KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Hàm số mũ
• y=a
x
; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x
−∞ 0 +∞
x
−∞ 0 +∞
y
+∞
1
−∞
y
+∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=3^x
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7

1
2
3
x
y
x
y






=
3
1
II. Hàm số lgarit
• y=log
a
x, ĐK:



≠<
>
10
0
a
x
; D=(0;+∞)

-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
y=x
y=3
x
y=log
3
x
f(x)=ln(x )/ln(1/3)
f(x)=(1/3 )^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6

Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
a
n
a
m
=a
n+m
;
mn
m
n
a
a
a
−
=
;(
n
a
1
=a
−
m
; a
0
=1; a
−
1
=
a

n
m
n
m
aa =
.
2. Công thức logarit : log
a
b=c⇔a
c
=b (0<a≠1; b>0)
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x
1
, x
2
>0;
α
∈R ta có:
log
a
(x
1
x
2
)=log
a
x
1
+log
a

x;
1
xx
a
a
log
1
log
α
α
=
;(log
a
a
x
=x); log
a
x=
a
x
b
b
log
log
;(log
a
b=
a
b
log




=
>
bxf
b
a
log
0
.
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a
x
(t>0), để đưa về một phương trình đại số
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2
3±
), (7
4 3±
),… Nếu trong một phương trình có chứa {a
2x
;b
2x
;a
x
b
x
} ta
có thể chia hai vế cho b
2x

a 10
+log
a
f(x)= log
a
g(x)⇔
( ) ( )
[ ]
( ) ( )





=
>>
≠<
xgxf
xgxf
a
00
10
.
Đặt ẩn phụ.
2. Bất phương trình mũ−logarit
a. Bất phương trình mũ :
 a
f(x)
>a
g(x)

* Nếu a>1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
⇔ f(x)>g(x);
a
f(x)
≥a
g(x)
⇔ f(x)≥g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
⇔ f(x)<g(x);
a
f(x)
≥a
g(x)
⇔ f(x)≤g(x).
b. Bất phương trình logarit :
log
a
f(x)>log
a
g(x)⇔
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]


0,0
10
xgxfa
xgxf
a
.
Đặt biệt:
+ Nếu a>1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x) ⇔
( ) ( )
( )



>
>
0xg
xgxf
;
+ Nếu 0<a<1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x) ⇔
( ) ( )
( )


. Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
( )
( )
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1x x x= + −
.
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:
( )
3 3 3
log 2log 2 1 1 .log 0x x x
 
− + − =
 
.
Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi
thành tích.
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình:
9 2( 2)3 2 5 0
x x
x x+ − + − =
. Đặt t = 3
x
(*), khi đó ta có:
( )
2
2 2 2 5 0 1, 5 2t x t x t t x+ − + − = ⇒ = − = −

ab
aFbF
cF
−
−
='
. Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì
( ) ( ) ( )
; : ' 0 ' 0c a b F c F x∃ ∈ = ⇔ =
có nghiệm thuộc (a;b).
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm
thuộc D.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
log
2.3 3
x
x
+ =
.
Hướng dẫn:
2 2
log log
2.3 3 2.3 3
x x
x x
+ = ⇔ = −
, vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương
trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình:

α α α
−
−
 
= ⇔ + − = ⇔ = =
 
 
, thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của
phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− + = −
. Viết lại phương trình dưới dạng
2
1 2
2 1 2
x x x
x x x
− −
+ − = + −
, xét hàm số
( )
ttf
t
+= 2

y
e
y
x
e
x

= −

−



= −

−

có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.
HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số
( )
2
2007
1
x
x
f x e
x
= + −
−
.

1 1
2 2
ln 2 ln 2
2 2
a b
a b
a b
a b
b a
a b
   
+ +
 ÷  ÷
   
   
⇔ + ≤ + ⇔ ≤
 ÷  ÷
   
. Xét hàm số
( )
1
ln 2
2
x
x
f x
x
 
+
 ÷

 
 
= + ⇔ = + ⇔ = +
 ÷
 ÷
 
 
.
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
Ví dụ 1: Giải phương trình
( )
4
2 2
5
6
log ( 2 2) 2log 2 3x x x x− − = − −
.
Đặt t = x
2
– 2x – 3 ta có
( )
6 5
log 1 logt t+ =
.
Ví dụ 2: Giải phương trình
( )
6
log
2 6
log 3 log

x
x
+
=
. Đặt
( )
7
log 3 7 3
t
t x x= + ⇒ = +
, phương trình tương
đương
4 1
4 7 3 3. 1
7 7
t t
t t
   
= − ⇔ + =
 ÷  ÷
   
.
Ví dụ 2: Giải phương trình
( )
42
5log
3
+=
+
x

, với
,d ac e bc
α β
= + = +
Ph ương pháp: Đặt
log ( )
s
ay b dx e+ = +
rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương
trình một ta được:
ax b ay b
s acx s acy
+ +
+ = +
. Xét
( )
at b
f t s act
+
= +
.
Ví dụ: Giải phương trình
1
7
7 6log (6 5) 1
x
x
−
= − +
. Đặt


= − +
= −
 
⇔ ⇒ + = +
 
− = −
= −




. Xét hàm số
( )
1
7 6
t
f t t
−
= +
suy ra x=y, Khi
đó:
1
7 6 5 0
x
x
−
− + =
. Xét hàm số
( )

− −
= + = + >
.
Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ:
8 1 18
.
u v u v
u v u v

+ =

+


= +

Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.
( )
2
1
2
1 1
x
x x
−
− + =
b.
( )

( ) ( )
2 3 2 3 4 0
x x
+ + − − =
d.
( ) ( )
3
3 5 16 3 5 2
x x
x+
+ + − =
e.
( ) ( )
7 4 3 3 2 3 2 0
x x
+ − − + =
f.
( ) ( )
2 3 2 3 4
x x
− + + =
g.
3.16 2.8 5.36
x x x
+ =
h.
1 1 1
2.4 6 9
x x x
+ =

3 (3 10)3 3 0
x x
x x
− −
+ − + − =
g.
21
)1(22
2
−=+−
−−
x
xxx
h.
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x
− + + + + +
+ = +
i.
xxxx
3526 +=+
j.
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
k.
x
x

=−+−
−
xx
xx
s.
( )
( )
12232. −+−=
xx
xxx
t.
0155
312
=+−−
+
x
xx
u.
( )
2
322
2133
2
−−=−
−−
x
xxx
v.
2974 +=+ x
xx

=

b.
2
3 2 77
3 2 7
x y
x y

− =


− =


d.
2 2 12
5
x y
x y

+ =


+ =


e.
2
2 4

−
+ =
.
Bài 6: Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm:
( 4).9 2( 2).3 1 0
x x
m m m− − − + − =
.
Bài 7: Giải các bất phương trình sau:
a.
6
2
9 3
x
x+
<
b.
1
1
2 1
3 1
2 2
x
x
−
+
≥
c.
2
1 5 25

+
− > −
.
Bài 8: Giải các bất phương trình sau:
a.
−
+ − <
x x
3 9.3 10 0
b.
+ − ≤
x x x
5.4 2.25 7.10 0
c.
+
≥
− −
x 1 x
1 1
3 1 1 3
d.
+
+ < +
2 x x 1 x
5 5 5 5
e.
− + >
x x x
25.2 10 5 25
f.

x R∀ ∈
.
Bài 11: a. Giải bất phương trình :
2 1
2
1 1
9. 12
3 3
x x
+
   
+ >
 ÷  ÷
   
(*)
b. Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất phương trình:
( )
2
2 2 2 3 0x m x m+ + + − <
Bài 12: Giải các phương trình sau:
a.
( ) ( )
5 5 5
log log 6 log 2x x x= + − +
b.
5 25 0,2
log log log 3x x+ =

c.
( )

c.
0,04 0,2
log 1 log 3 1x x+ + + =
d.
16 2
3log 16 4 log 2log
x
x x− =
e.
2
2
log 16 log 64 3
x
x
+ =
.
Bài 14: Giải các phương trình sau:
a.
3 9
1
log log 9 2
2
x
x x
 
+ + =
 ÷
 
b.
( ) ( )

2 2
lg lg 3
1 1
x x
x x
−
− = −
h.
2
3 3
log log
3 162
x x
x+ =
Bài 15: Giải các phương trình sau:
a.
( )
( )
2
lg 6 4 lg 2x x x x+ − − = + +
b.
( ) ( )
3 5
log 1 log 2 1 2x x+ + + =
c.
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3
2 log 1 4 1 log 1 16 0x x x x+ + + + + − =
d.

29
x y
x y
+ =



+ =


b.
3 3 3
log log 1 log 2
5
x y
x y
+ = +


+ =

c.
( )
( ) ( )
2 2
lg 1 3lg 2
lg lg lg3
x y
x y x y



=


+ = − +

f.
2
2log
log log
4 3
y
x y
x
xy x
y y

=



= +

Bài 17: Giải và biện luận các phương trình sau:
a.
( ) ( )
2
lg 2 3 3 lg 2mx m x m x
 
+ − + − = −

a.
( )
( )
2
3 1
3
log 4 log 2 2 1 0x ax x a+ + − − =
b.
( )
( )
lg
2
lg 1
ax
x
=
+
Bài 19: Tìm a để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
2
3 3
2log log 0x x a− + =
.
Bài 20: Giải bất phương trình:
a.
( )
2
8
log 4 3 1x x− + ≤
b.
3 3

x
x
 
− <
 
 
g.
2 2
log 2.log 2.log 4 1
x x
x >
h.
1
3
4 6
log 0
x
x
+
≥
i.
( ) ( )
2 2
log 3 1 log 1x x+ ≥ + −
j.
8 1
8
2
2log ( 2) log ( 3)
3

log log 1x x+ >
o.
( )
2
2
log 5 6 1
x
x x− + <
p.
( )
2
3
log 3 1
x x
x
−
− >
q.
2
2
3
1
5
log 1 0
2
x
x
x x
+
 

x
>
−
u.
2
3 3 3
log 4log 9 2log 3x x x− + ≥ −
v.
( )
2 4
2 16
1
2
log 4log 2 4 logx x x+ < −
Bài 21: Giải bất phương trình:
a.
2
6 6
log log
6 12
x x
x+ ≤
b.
3
2 2
2 log 2 log
1
x x
x
x

0
16 64
lg 7 lg( 5) 2lg2
x
x x
x x

+
>

− +


+ > − −

b.
( )
( ) ( )
( )
1
1 lg 2 lg 2 1 lg 7.2 12
log 2 2
x x
x
x
x
+

− + + < +


a
x
x a x
+
>
b.
2
1 log
1
1 log
a
a
x
x
+
>
+
c.
1 2
1
5 log 1 log
a a
x x
+ <
− +
d.
1
log 100 log 100 0
2
x a

2
3 3 logx m x m x m x− + + < −
a. Giải bất phương trình khi m = 2.
b. Giải và biện luân bất phương trình.
Bài 27: Giải và biện luân bất phương trình:
( )
( )
log 1 8 2 1
x
a
a x
−
− ≥ −
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
8