Chuyờn 3
Chuyờn 3
HM S LY THA, HM S M
V HM S LễGART
HBM Toỏn An Giang- Ti liu tham kho ễn tp thi TN-2013
H THNG Lí THUYT:
Hm s ly tha:
Tớnh cht ca ly tha:
V c s; khi xột ly tha
a

:
+
:

ẻ Ơ

a

xỏc nh a
Ă
.
+
:

-
ẻ Â

a

xỏc nh khi a 0

. .
m
m m
a b a b=

m
m
m
a a
b
b
ổử
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.

( 0; , ; 0)
m
n
m
n
a a a m n n= > >ẻ Â

2k


-
= > ẻ Ă
( )
/
1
1
( , 2, 0 , 0 )
.
khi n chẵn khi n lẻ
n
n
n
x n n x x
n x
-
= >ẻ ạƠ
;
( )
/
/
1
( , 2, 0 , 0 )
.
khi n chẵn khi n lẻ
n
n
n
u
u n n u u

x
ng bin trờn
Ă
.
Khi 0 < a < 1 hm s y = a
x
nghch bin trờn
Ă
.
a
0
= 1

a

0 , a
1
= a.
(V th ca hm s trong hai trng hp a > 1 v
0 1a< <
nh cỏc tớnh
cht)
Trang 21
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN-2013
◙ Hàm số logarit:
 Chú ý: Khi xét
log
a
x
phải chú ý điều kiện

a
1 = 0;
log 1
a
a =
.
▪ log
a
(x
1
.x
2
) = log
a
x
1
+ log
a
x
2
;
1
2
log
a
x
x
= log
a
x

log
log
log
b
a
b
x
x
a
=
hay log
a
x = log
a
b.log
b
x
▪ log
a
b =
1
log
b
a
và
log .log 1
a b
b a =
.
▪ Hàm số y = log

log (0 1)
b
a
b a a= < ¹
◙ Phương trình, bất phương trình mũ:
▪ Phương trình a
x
= b có nghiệm ⇔ b > 0.
▪ a
f(x)
= a
g(x)
⇔ f(x) = g(x) (0 < a ≠ 1)
▪ Nếu a > 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) > g(x).
▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) < g(x).
▪ a
f(x)
= b

ï
ï
ê
í
ê
ï
Î
ï
î
ê
ê
ì
>
ï
ê
ï
í
ê
ï
> > < < <
ê
ï
î
ë
¡

Trang 22
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN-2013

◙ Phương trình, bất phương trình logarit:

f x g x
f x
 =
= ⇔

>


▪ log
a
f(x) ≥ log
a
g(x) ⇔
( ) ( ) 0 1
0 ( ) ( ) 0 1
khi
khi
f x g x a
f x g x a
ì
> >³
ï
ï
í
ï
< < <£
ï
î
log 15 log 3.5 log 3 log 5 1 log 5 a= = + = + =
 Mà
3
5
1
log 5
log 3
=
vậy
3
log 5
là cầu nối giữa hai số cần tính.
 Hướng dẫn học sinh xây dựng chương trình giải: Tính
3
log 5
theo a sau đó
thay vào tính
25
log 15
.
● Loại chứng minh:
▪ Ví dụ 1: Chứng minh
4 2 3 4 2 3 2x = + - - =
.
 Cách 1: Phân tích (dễ thấy x > 0)
2
2 4x x= =Û
do trong biểu thức
chứa căn bậc hai nên ta sẽ bình phương hai vế; nếu chứa căn bậc ba thì có thể lập
phương.

ù
ớ
ù
= -
ù
ợ
T ú ta phõn tớch
2
4 2 3 3 2 3 1 ( 3 1)+ = + + = +
cũn
4 2 3-
tớnh tng t. T ú ta
chng minh c bi toỏn.
Vớ d 2: Cho cỏc s dng a, b, c trong ú c 1. Chng minh
log log
c c
b a
a b=
p dng tớnh cht
log log
m m
x y x y= =
nờn ta ly logarit c s m dng
khỏc 1 v trỏi v chng minh nú bng logarit c s m ca v phi.

( )
( )
log
log
log log .log

Phng phỏp lụgarit húa: lm cho n khụng nm s m ta cú th lụgarit
theo cựng mt c s c hai v ca mt phng trỡnh.
Phng phỏp t n ph: Khi bin i phng trỡnh, bt phng trỡnh v dng
( )
( )
u x
f a b=
,
( )
( )

u x
f a b
n gin trong thao tỏc ta t
( )u x
t a=
chỳ ý iu kin
ca tham s t.
Phng phỏp s dng tớnh n iu ca hm s: Phng phỏp ny da vo tớnh
ng bin, nghch bin v th ca hm s.
Chỳ ý l phi nhn xột xem trong bi toỏn cú bao nhiờu c s. Phi lu ý hc sinh
trc khi gii phng trỡnh phi tỡm iu kin xỏc nh.
Vd: + Phng trỡnh 2
x + 3
= 5
x
cú th a v mt c s bng cỏch bin i
3
2
2 5 8 1

+ Phương trình
3 4 5
x x x
+ =
chứa ba cơ số không thể rút gọn cơ số nên
phải dùng tính đơn điệu của hàm số để giải.
+ Phương trình
1 1
2.4 9 6
x x x+ +
+ =
có thể biến đổi thành
8.4 9 6.6
x x x
+ =
nhận xét rằng 4 = 2
2
, 9 = 3
2
và 6 = 2.3 nên PT trở
thành
( ) ( )
2 2
8 2 3 6.2 .3
x x x x
+ =
chia hai vế cho
2 .3
x x
sẽ đưa pt về một cơ số.

▪ Nếu a > 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) > g(x).
▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) < g(x).
▪ Nếu
1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a f x g x f x g x> > >Û
▪ Nếu
0 1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a f x g x f x g x< < > <Û
 Ví dụ: + Giải bất phương trình:
2 3 7 3 1 (1)
6 2 .3
x x x+ + -
<
.
Gợi ý để học sinh phân tích đề: Mũ là một nhị thức bậc nhất → đưa về số mũ là
x sau đó biến đổi cơ số.

3 3
x
æö æö
÷ ÷
ç ç
<
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

 x > 4 (Chú ý cho học sinh là cơ số nhỏ hơn 1).
+ Giải bất phương trình:
4
1 3
log 0
1
x
x
æ ö
+
÷
ç
³
÷
ç
÷
ç
è ø

sau đó quy đồng và xét dấu hoặc
dùng phương pháp khoảng.
Trang 25
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN-2013
+ Có thể biến đổi trực tiếp

2
2
0,8 0,8
1 2 5
log ( 1) log (2 5)
2 5 0
x x x
x x x
x
ì
ï
+ + > +
ï
+ + < + Û
í
ï
+ >
ï
î
.
● Loại giải hệ phương trình: (Chương trình nâng cao)
+ Nhắc lại các phương pháp giải hệ như phương pháp thế, phương pháp cộng, sử
dụng máy tính bỏ túi; các hệ đặc biệt như đối xứng…
+ Đầu tiên cần quan tâm đến đặt điều kiện nghiệm.

è ø
ï
í
ï
ï
ï
=
ï
ï
î
 Biến đổi (1) thành
2 2x y= -
và (2) thành
3
y
x =
. Ta được hệ:
2 2
0
3
x y
y
x
ì
ï
- =-
ï
ï
ï
í

-
=
vì học sinh hay hiểu và sử dụng sai như
( )
/
1
2 .2
x x
x
-
=
Ví dụ: + Tìm đạo hàm của hàm số
x
y x
π
π
=
.
 Sau khi yêu cầu học sinh phân tích đề: Hàm số cần tìm đạo hàm có dạng (u.v)
/
= u
/
v + uv
/
với
x
u
π
=
;

phương trình
2 2
5 3
log ( 2 2) log ( 2 )x x x x+ + = +
 Đặt
2
3
log ( 2 )x x t+ =
thì ta có
2
2 3
t
x x+ =
; thay vào phương trình đã cho ta
được
5
log (3 2)
t
t+ =
biến đổi thành
3 1
3 2 5 2 1
5 5
t t
t t
æö æö
÷ ÷
ç ç
+ = + =Û
÷ ÷


log log log log
A
x x x x
= + + + +
với x = 2000!
4) Rút gọn biểu thức
4
2 4
: ( 0)B x x x x
π π
= >
.
5) Vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
2
x
y =
b)
2
logy x=
c)
1
2
x
y
æö
÷
ç
=

æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø
; c)
1
3
3 2
x
x
y
-
æ ö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø
-
.
7) Chứng minh rằng
( )

2 5
log 3 log 3íiv
.
c)
5 8
7 11
7 3
log log
9 4
íiv
.
d)
4 5
log 5 log 6íiv
11) Giải các phương trình sau:
Trang 27
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN-2013
a)
5
3 7
x-
=
, b)
|3 4| 2 2
3 9
x x- -
=
c)
( )
3

2 1 2 1 2
25 9 34.15
x x x x x x- + - + -
+ =
h)
( ) ( )
5(7 2) 6 5(7 2 7
x x
- + + =
i)
( ) ( )
5 1
5
log 1 log 2 0x x- - + =
j)
( ) ( )
9 3
log 8 log 26 2x x+ - + =-
k)
log 5 4 log 1 2 log0,18x x- + + = +
l)
3 9 27
11
log log log
2
x x x+ + =
. m)
( )
2
3 3

1 2
x
x
>
+
. b)
2 2
2log ( 1) log (5 ) 1x x- > - +
.
c)
3
4 2
log log 2x x- >
. d)
1 4
5
log log 1x x+ ³
e)
6.9 13.6 6.4 0
x x x
- + £
.
13) Giải các hệ phương trình:
a)
log 1
log (3 5 ) 2
x
y
y
y x

+
- -
ì
ï
=
ï
í
ï
=
ï
î
d)
log log 2
15
x y
x y
ì
+ =
ï
ï
í
ï
- =
ï
î
e)
3 3 3
3
log log 2 log 2
log ( ) 2

ï
ï
î
 Các bài toán trong đề thi TN.THPT
2006 (Phân ban): Giải phương trình:
2 2
2 9.2 2 0
x x+
− + =
2007 (Phân ban): Giải phương trình:
( )
4 2
log log 4 5x x+ =
2008 (Phân ban): Giải phương trình:
2 1
3 9.3 6 0
x x+
− + =
2009: Giải phương trình:
25 6.5 5 0
x x
− + =
2010: Giải phương trình:
2
2 4
2log 14log 3 0x x− + =
2011: Giải phương trình:
2 1
7 8.7 1 0
x x+