1
CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO
MÔN TOÁN
Phương trình hàm có liên quan đến hàm số lũy thừa, hàm
số mũ,hàm số lôgarit
Biên soạn: Nguyễn văn Hóa. Trường THPT chuyên Quốc Học Huế
Mở đầu: Sau khi học xong hàm số lũy thừa,hàm số mũ,hàm số lôgarit học sinh có thể vận dụng
giải một vài bài toán phương trình hàm để làm sâu sắc hơn kiến thức đã học.
Mục đích của bài viết này là đưa ra một vài ví dụ phương trình hàm để giúp học sinh tiếp cận với
vấn đề trên.
1/ Nhắc lại phương trình hàm Cauchy:
Nếu
:f →¡ ¡
và ∀x,y∈ℝ,f(x+y)=f(x)+f(y).
a/ f liên tục tại 0 thì f(x)=ax (a số thực )
b/ f đơn điệu trên ℝ thì f(x)=ax (a số thực )
c/ f bị chặn trên(hoặc dưới) trên đoạn nào đó thì f(x)=ax (a số thực )
2/ Sau đây là 3 bài toán phương trình hàm quen thuộc
Bài toán 1:
Tìm
:f →¡ ¡
liên tục tại 0 và ∀x,y∈ℝ,f(x+y)=f(x)f(y).
Giải:
Cho x=y=0 ta có: f(0)=0 hoặc f(0)=1.
+ Nếu f(0)=0 thì f(x) =f(x+0)=0 hay f là hàm số hằng 0.
+Nếu f(0)=1 :f(x)f(-x)=1 nên f(x) . Vậy f(x)=(f(x/2))
2
>0 .
Cách 1(dùng phương trình hàm Cauchy)
Đặt g(x)=lnf(x) thì g xác định trên và liên tục tại 0.
g(x+y)=g(x)+g(y) suy ra g(x)=bx hay f(x)= a

−
= = = ⇒ ∀ ∈ = = >
−
¤

+Từ f(a+h)=f(a)f(h) suy ra
Do đó f liên tục trên
f(x)=a
x
với moị x hữu tỉ nên f(x) = a
x
với mọi số thực x (a =f(1)>0).
Đáp số: f(x)=0 hoặc f(x)=a
x
(a >0)
Bài toán 2:
Tìm hàm số f sao cho ∀x,y >0,f(xy)=f(x)f(y) và f liên tục tại x=1.
Dùng bài toán 1:
2
+ Cho x=y=1 ta có f(1)=0 hoặc f(1)=1.
+ Nếu f(1)=0 thì f(x)=f(1)f(x)=0.
+Nếu f(1)=1 ,Với mọi x > 0 f(x)f(x
-1
)=1 Vậy f(x) ,
Xét g(x)= f(e
x
) :
+ g(x+y)=f(e
x
.e

f(x)
: thì g(xy )= g(x).g(y) , g liên tục tại 1 nên g(x)=x
a
vậy f(x)=alnx .
+ Nếu a=0 thì f(x)=0
+Nếu a thì đặt: .
f(x)= .
3/ Các ví dụ khác:
Bài toán 1: Cho a >0 .Tìm hàm số f sao cho:
i/ f(x) ∀x
ii/ f(x+y) .
Giải:
Từ i/ ta có f(x) >0,∀x
f(0)≥1 và (f(0))
2
≤f(0)⇒f(0)=1.
Cho y=-x thì 1=f(x-x)≥f(x)f(-x)≥a
x
a
-x
=1. Nếu tồn tại x sao cho f(x)>a
x
thì 1 >1 (mâu thuẩn)
Vậy f(x)= a
x
Bài toán 2:
Tìm hàm số g: sao cho:(a là số thực)
i/ g(x) ,
ii/ g(x+y)
Đặt f(x)=g(x)+1 thì ta có

2
≤f(0)⇒f(0)=1.
nên f(nx)≥f(x)
n
. (n∈ℕ* và x ∈ℝ)
Với mọi x ∈ℝ chọn n
0
sao cho ∀n> n
0
⇒1+ax/n >0 thì

0
x
, ( ) ( ) ( ) 1 a
n n
x x
x n n f x f n f
n n n
   
∀ ∈ ∀ > ⇒ = ≥ ≥ +
 ÷  ÷
   
¡
Cho n→+∞ ta có: f(x)≥e
ax
. Đặt e
a
=b thì f(x)≥b
x
.

− = ⇒ = −
 ÷
 
.Đặt a
1/3
=e
h
thì
( )
kx h
f x e
+
= −
Bài toán 4(VMO –2007)
cho a >0 và a≠1
Tìm f : ℝ→ℝ sao cho ∀x,y∈ ℝ
x
( ) 1 ( ) 1
, , ( ) ( ).3 a (3 )
y
y y
a f y a f y
x y f x y f x a
+ − + −
∀ ∈ + = −
+
¡
Giải:
x
x

+g(0)=1 cho x=0 thì g(y)= 3
g(y)-1
.
Xét phương trình h(t)= 3
t
-3t .h”(t) >0 nên phương trình có không qúa 2 nghiệm.
t=1 là nghiệm, ,h’(t)=0 có nghiệm duy nhất u trên (0,1) và hàm số đạt cực tiểu tại u
h(1)=0,h(0)=1 suy ra h(t)=0 có nghiệm c ∈(0,u)
Vậy g(y)=1 hoặc g(y)=c.
Nếu tồn tại v ,g(v)=c thì 1=g(0)=g(v-v)=g(-v). 3
g(v)-1
=g(-v)g(v)=cg(-v)
Vậy g(-v)=1/c >1 mâu thuẩn với g(-v)=1 hoặc g(-v)=c < 1
Do đó:f(x)=1-a
x
hoặc f(x)=a
x
Bài toán 5(HSG 2010:Thừa Thiên Huế)
Tìm f : ℝ→ℝ
sao cho f liên tục tại 0 và ∀x,y∈ℝ ,(f(x)-1).(f(y)-1).(2-f(x+y))= (2-f(x)).(2-f(y)).(f(x+y)-1)
Giải:
Để ý đến dạng f(x+y)=f(x)f(y) . Ta xét trường hợp có a∈ℝ sao cho f(a)=1
Trong phương trình cho x=y=t/2 thì (f(t/2)-1)
2
(2-f(t))=(2-f(t/2))
2
(f(t)-1)
2
.(*).
Từ f(a)=1 (*) suy ra f(a/2)=1 ,từ đó

=
−
thì g liên tục tại 0 nên g(x)=0 hay
g(x)= b
x
(b > 0).
Vậy f(x)=2,f(x)=1 hoặc
2
( )
1
x
x
b
f x
b
+
=
+
5
Bài toán 6:
Tìm f : ℝ→ℝ
sao cho f liên tục tại 0 và ∀x,y∈ℝ , (f(x+y))(1-f(x)-f(y)+2f(x)f(y)) = f(x).f(y)
Giải:
x=y=t/2 thì
2 2
( ) 1 2 ( ) 2 ( ) ( )
2 2 2
t t t
f t f f f
 

=
+
Bài toán 7: IMO shortlist 2003
Tìm f : ℝ

+
→ℝ
+
sao cho f tăng trên [1;+∞) và
, , 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y z f xyz f x f y f z f xy f zy f xz
∀ > + + + =
Giải:
Cho x=y=z=1 thì 4f(1)=(f(1))
3
⇒f(1)=2
Cho z =xy,thay x bởi x/y và y bởi y/x ta có:
2f(xy)+f(x/y)+f(y/x)=f(1)f(y)f(x) (*).
Cho y=1 thì 3f(x)+f(1/x)=(f(1))
2
f(x)⇒∀x>0 ,f(1/x)=f(x).
(*)⇒f(xy)=f(x)f(y)-f(x/y) (**)
Ta có f(e)≥f(1)=2 vậy tồn tại a ≥0 sao cho f(e)=e
a
+e
-a
Từ (**) ta có f(x
2
) =(f(x))
2
-2,dựa vào hệ thức này quy nạp ta có:

/m,n∈ℕ} trù mật trong ℝ
+
Xét x >0 tồn tại hai dãy (a
n
),(b
n
) trong A sao cho a
n
<x<b
n
và (a
n
),(b
n
) hội tụ về x.
, ( ) ( ) ( ) ( )
x x x
n n n n n n n n
a b a b aa aa ab ab
n e e e f e f e f e e e f e e e
− −
∀ < ⇒ < < ⇒ + < < +
<
Cho n→+∞ ta có:f(e
x
)=e
ax
+ e
-ax
.

g(2x)= 4g(x).Quy nạp ta có ∀n∈ℕ,g(nx)=n
2
g(x) (dùng g(nx+x)=2g(nx)+2g(x)-g((n-1)x))
g(1)=g(q.1/q)=q
2
g(1/q)⇒g(1/q)=g(1)/q
2
,suy ra g(p/q)=g(1)p
2
/q
2
(p,q ∈ℕ)
g liên tục và chẵn trên ℝ nên g(x)=ax
2
(a=g(1))
Vậy
2
( )
ax
f x e
= ±
hoặc f(x)=0
Bài toán 9:
Tìm f : ℝ

+
→ℝ
+
sao cho f bị chặn trên một khoảng nào đó và ∀x,y>0 ,f(xf(y))=yf(x).
Giải:

( )
t
t
f e
g t
e
=
thì g liên tục trên ℝ và g(x+y)=g(x)+g(y)
Vậy
( )
( ) ( ) ( ) ln ( 0)
t
t t
t
f e
g t ct f e e ct f x cx x x
e
= = ⇔ = ⇔ = >
Ngoài ra với x=y ta có:f(x
2
)=2xf(x) hay
2 2 2
( ) ln
( ) ( 0) 0, ( ) ln | |
2 2
f x cx x
f x x x f x cx x
x x
= ≠ ⇒ < = =
Vậy :

2 2 2 2
x /2 (x+y) /2 x /2 /2
( ) ( ) a ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a a a a
a
y
y y
f x f x y f x f y
g x g x y g x g y
+
= ⇒ + = = =
7
G liên tục tại 0 nên g(x)=0 hoặc g(x) =b
x
(b >0)
Vậy f(x)=0 hoặc
2
2
( )
x
kx
f x a
+
=
(trong đó a
k
=b)
Bài toán 12( Nga -1993)
Tìm f : ℝ

x y x y f x f y f f x f y
x y
 
+
∀ ≠ − = +
 ÷
−
 
Giải:
Cho y=0 và x≠0 ta có (f(x)-f(0))f(1)=f(x)+f(0)
Nếu f(1)=0 thì f(x)= -f(0),x≠0.Cho x=1 thì f(0)=0. Vậy f(x)=0 là hàm số thỏa mãn.
Nếu f(1)≠0 . Nếu tồn tại a≠0 sao cho f(a)=0⇒ a≠1
Cho y=a và x≠a thì
( ) ( ) ( ) 0 1
x a x a
f x f f x f x f
x a x a
+ +
   
= ⇒ = ∨ =
 ÷  ÷
− −
   
Vì f(1)≠ 0
1
( ) 1
1
a
f
a

a t t a
t a a
+ +
= ⇒ − = ⇒ = ≠
− −
Vậy f(1)≠0 và f(t)=0 mọi t ≠1.Lúc đó cho x≠1 và y=1 thì
1
( ( ) (1)) ( ) ( ) (1) (1) 0
1
x
f x f f f x f f
x
+
− = + ⇒ =
−
mâu thuẩn.
Do đó f(1)≠0 thì f(x)≠0 với mọi x≠0
Nếu x≠y và f(x)=f(y) thì f(x)=f(y)=0 mâu thuẩn f(x)≠0 với mọi x≠0
Vậy f đơn ánh.
Cho y= 0 và x≠0 ta có f(x)(f(1)-1)=f(0)(f(1)+1) .f đơn ánh nên f không hằng suy ra f(1)=1 và
f(0)=0
+Với x≠0 và y≠1 thì x≠xy .
8
Ta có:
1 ( ) ( )
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( )
1 (1) ( ) ( ) ( ) (1) ( ) 1 ( )
( )
1 (1) ( ) ( ) ( ) (1) ( ) 1 ( )

vơi t >0 . Cho x=2 y=1 ta có phương trình:
6
a
=2
a
+3
a
+1 phương trình có nghiệm duy nhất a =1
Vậy f(t)=t với t >0 ngoài ra f lẻ nên : f(x) =x
Đáp số: f(x) =x hoặc f(x)=0
…………………………………………………………………………………………………
Tài liệu tham khảo:
1/ Phương trình hàm.: Nguyễn văn Mậu
2/Functional Equations E-2007-TiTu Andreescu_Iurie Boreico.